Responsabili
În urma parcurgerii acestui laborator, studentul va fi capabil să:
Grafurile sunt utile pentru a modela diverse probleme şi se regăsesc implementaţi în multiple aplicaţii practice:
Se numeşte componentă conexă a unui graf neorientat G = (V, E)
un subgraf G1 = (V1, E1)
în care pentru orice pereche de noduri (A, B)
din V1 există un lanţ de la A
la B
, implicit şi de la B
la A
.
Observaţie Nu există un alt subgraf al lui G
, G2 = (V2, E2)
care să îndeplinească această condiţie şi care să îl conţină pe G1
. În acest caz, G2
va fi componenta conexă, iar G1
nu.
BFS
, cât şi una DFS
, pornind dintr-un nod A, va determina componenta conexa din care face parte A
.G = (V, E)
, se vor parcurge nodurile din V
.BFS
sau DFS
.// Inițializări pentru fiecare nod u din V { stare[u] = nevizitat } componente_conexe = 0 // Funcţie de vizitare a nodului vizitare(nod) { stare[nod] = vizitat printeaza nod } // Parcurgerea în adâncime DFS(nod) { stiva s viziteaza nod s.introdu(nod) cât timp stiva s nu este goală { nodTop = nodul din vârful stivei vecin = află primul vecin nevizitat al lui nodTop. dacă vecin există { viziteaza v s.introdu(v) } altfel { s.scoate(nodTop) } } } // Parcurgerea nodurilor din V pentru fiecare nod u din V { dacă stare[u] == nevizitat { componente_componente = componente_conexe + 1 DFS(u) } }
Dacă toate muchiile au același cost, putem afla distanța minimă între două noduri A
și B
efectuând o parcurgere BFS
din nodul A
și oprindu-ne atunci când nodul B
a fost descoperit. Reamintindu-ne că nivelul unui nod este analog distanței, în muchii, față de sursă, și că BFS
descoperă un nod de pe nivelul N
numai după ce toate nodurile de pe nivele inferioare au fost descoperite, este ușor de văzut că nivelul nodului B
în parcurgere corespunde distanței minime între A
și B
.
Pentru a reține distanța și drumul exact de la A
la B
, se vor reține pentru fiecare nod d[x]
(distanța de la sursă
la x
) și p[x]
(părintele lui x
în drumul de la sursă spre x
). În momentul descoperirii unui nod y
al cărui părinte este x
, se vor face următoarele atribuiri:
d[y] = d[x] + 1 p[y] = x
sursa având d[A] = 0
și p[A] = NULL
.
Observații:
// Inițializări pentru fiecare nod u din V { stare[u] = nevizitat d[u] = infinit p[u] = null } // Distanța între sursă și destinație distanța(sursă, destinație) { stare[sursă] = vizitat d[sursă] = 0 enqueue(Q,sursă) // Punem nodul sursă în coada Q // BFS cât timp coada Q nu este vidă { v = dequeue(Q) // Extragem nodul v din coadă pentru fiecare u dintre vecinii lui v dacă stare[u] == nevizitat { stare[u] = vizitat p[u] = v d[u] = d[v] + 1 enqueue(Q,u) // Adăugăm nodul u în coadă } } return d[destinație] // Dacă este infinit, nu există drum }
Se dă un graf orientat aciclic. Orientarea muchiilor corespunde unei relații de ordine de la nodul sursă către cel destinație. O sortare topologică a unui astfel de graf este o ordonare liniară a vârfurilor sale astfel încât, dacă (u,v)
este una dintre muchiile grafului, u
trebuie să apară înaintea lui v
în înșiruire. Dacă graful ar fi ciclic, nu ar putea exista o astfel de înșiruire (nu se poate stabili o ordine între nodurile care alcătuiesc un ciclu).
Sortarea topologică poate fi văzută și ca plasarea nodurilor de-a lungul unei linii orizontale astfel încât toate muchiile să fie direcționate de la stânga la dreapta (să nu existe nici o muchie înapoi, spre părinte).
// Inițializări pentru fiecare nod u din V { stare[u] = nevizitat p[u] = NULL tDesc[u] = 0 tFin[u] = 0 } contor_timp = 0 // Funcţie de vizitare a nodului vizitare(nod) { contor_timp = contor_timp + 1 tDesc[nod] = contor_timp stare[nod] = vizitat printeaza nod } // Parcurgere în adâncime DFS(nod) { stiva s viziteaza nod s.introdu(nod) cât timp stiva s nu este goală { nodTop = nodul din vârful stivei vecin = află primul vecin nevizitat al lui nodTop. dacă vecin există { p[v] = nodTop viziteaza v s.introdu(v) } altfel { contor_timp = contor_timp + 1 tFin[nodTop] = contor_timp s.scoate(nodTop) } } } // Parcurgere noduri și calculare tDesc și tFin pentru fiecare nod pentru fiecare nod u din V { dacă u nu a fost vizitat { DFS(u) } } // Sortare topologica sortează nodurile din V descrescător în funcție de tFin[nod]
Profesorul Bumstead își sortează topologic hainele înainte de a se îmbrăca.
(u, v
) înseamna că obiectul de îmbrăcăminte u
trebuie îmbrăcat înaintea obiectului de îmbrăcaminte v
. Timpii de descoperire (tDesc)
și de finalizare (tFin)
obținuți în urma parcurgerii DFS sunt notați lângă noduri.tFin
. Observați că toate muchiile sunt orientate de la stânga la dreapta. Acum profesorul Bumstead se poate îmbrăca liniștit. Așa cum se observă din imagine, sortarea topologică constă în sortarea nodurilor descrescător după timpii de finalizare. Demonstrația acestei afirmații se face simplu, arătând că nodul care se termină mai târziu trebuie să fie efectuat înaintea celorlalte noduri finalizate.
Se numește graf bipartit un graf G = (V, E)
în care mulțimea nodurilor poate fi împărțită în două mulțimi disjuncte A
și B
astfel încât V = A U B
şi E este inclus în A x B
(orice muchie leagă un nod din A
cu un nod din B
). Dacă un graf conține noduri izolate, acesta nu este bipartit.
BFS
și atribuirea de etichete nodurilor conform cu paritatea nivelului acestora în parcurgere (A
pentru nodurile de pe nivel par, B
pentru nodurile de pe nivel impar). BFS
fără a apărea această situație), graful este bipartit și nodurile sunt etichetate cu mulțimea din care fac parte.cât timp încă sunt noduri nevizitate { n = primul nod nevizitat. dacă n este izolat { return false } nivel[n] = par enqueue(Q, n) // Punem nodul sursă în coada Q // BFS cât timp coada Q nu este vidă { v = dequeue(Q) // Extragem nodul v din coadă pentru fiecare u dintre vecinii lui v dacă nivel[u] nedefinit { nivel[u] = (nivel[v] == par) ? impar : par enqueue(Q, u) // Adăugăm nodul u în coadă } altfel dacă nivel[u] == nivel[v] { // Două noduri consecutive au acelaşi nivel // Graful nu este bipartit return false } } } // S-a terminat parcurgerea BFS fără să apară două noduri consecutive pe acelaşi nivel // Graful este bipartit return true
Un lanţ hamiltonian într-un graf orientat sau neorientat G = (V, E)
, este o cale ce trece prin fiecare nod din V
o singură dată. Dacă nodul de început şi cel de sfârşit coincid (este vizitat de două ori) vom spune că lanţul formează un ciclu hamiltonian.
Un graf ce conţine un ciclu hamiltonian se numeşte graf hamiltonian.
În cadrul acestui laborator, vom folosi metoda backtracking pentru găsirea unui ciclu hamiltonian. Pentru contruirea soluţiei, se menţine o listă în care sunt adăugate nodurile parcurse:
n
(numărul de noduri din graf), se verifică dacă primul şi ultimul nod din listă sunt adiacente. În caz contrar, s-a găsit un lanţ hamiltonian, dar nu şi un ciclu hamiltonian.// Inițializări număr_noduri = număr de noduri din V // Verifica dacă un nod este nou în lanţ nouÎnLanţ(nod, lanţ) { return !lanţ.conţine(nod) } // Construieste lanţul hamiltonian construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ) { dacă lungime_lanţ == număr_noduri { început = lanţ[0] sfârşit = ultimul element din lanţ // Există muchie între cele 2 noduri dacă muchie(început, sfârşit) { // Lanţul este ciclu afişează ciclul return true } } altfel { pentru orice nod u din V { sfârşit = ultimul element din lanţ dacă muchie(u, sfârşit) şi nouÎnLanţ(u, lanţ) { addLast(lanţ, u) // Adaugă u la lanţ construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ + 1) // Pentru afişarea unui singur ciclu hamiltonian linia anterioară este inlocuită cu: // dacă construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ + 1) == true // return true removeLast(lanţ, u) // Backtrack } } } return false } // Apelează construirea ciclurilor hamiltoniene cicluriHamiltoniene { // Din moment ce ar trebui să formeze un ciclu, lanţul poate incepe cu orice nod sursă = alegem un nod aleator din V addLast(lanţ, sursă) construireLanţ(lanţ, 1) }
1) [3.5p] O problema aleasa de catre asistent din cele mentionate mai sus care sunt prezente pe LambdaChecker (componente conexe, sortare topologica, drum minim, bipartit)
2) [3.5p] O problema aleasa de catre student, diferita de cea de la 1), din cele mentionate mai sus care sunt prezente pe LambdaChecker (componente conexe, sortare topologica, drum minim, bipartit)
3) [1p bonus - max 12p] Pentru fiecare problema in plus pe care o rezolvati pe LambdaChecker, veti primi 1p bonus.
4) [1p bonus - max 12p] Un curier trebuie să livreze pachete în n
orașe. Orașele sunt codificate prin numere de la 0
la n-1
. Se cunosc m străzi bidirecționale, legături între orașe. Se citesc numarul de teste, apoi pentru fiecare test n
, m
și cele m
străzi bidirecționale.
Sediul curieratului se află în orașul 0
. Determinați toate rutele pe care curierul le poate urma astfel încât acesta să efectueze toate livrările și să se întoarcă la sediu, astfel încât el va trece prin fiecare oras o singură data.
Exemplu
5 7 0 1 1 2 0 3 1 3 1 4 2 4 3 4
0 1 2 4 3 0