This is an old revision of the document!
Optimizarea programelor folosind operaţii pe biţi
Obiective
În urma parcurgerii acestui laborator, studentul va fi capabil:
să înțeleagă conceptele legate de operații pe biți
să utilizeze operații pe biți pentru optimizare (când este cazul)
să înteleagă mai multe despre organizarea datelor în memorie
să gestioneze mai bine memoria folosită într-un anumit program C
să implementeze o structură de date in C
Laboratorul curent introduce mai multe noțiuni. Pe multe dintre acestea le veți mai întâlni și la alte cursuri din următorii ani, precum: IOCLA, CN/CN2, AA/PA, PC, PM, SO.
Secțiunile Studiu de caz și Probleme de interviu nu sunt obligatorii, dar recomandăm parcurgerea întregului material pentru o viziune de ansamblu mai bună.
Motivație
În cadrul acestui articol vă vom prezenta câteva metode prin care programele se pot optimiza dacă utilizăm eficient operaţiile pe biţi. Un lucru foarte important de reținut este că nu întotdeauna putem folosi aceste operații pentru optimizare, iar laboratorul are ca scop ilustrarea câtorva cazuri particulare, pe care le puteți întâlni și pe viitor.
Veți învăța în anul 2 la Analiza Algoritmilor despre complexitatea unui algoritm. Vom considera momentan că un algoritm este mai rapid decât altul dacă are mai puțini pași (exemplu un for cu n = 100 de pași este mai rapid decât un for cu 1000 de pași).
În exemplul anterior performanța se referea la timp (dacă executăm mai puține instrucțiuni într-un program, ne așteptăm să se termine mai repede). Acest aspect va fi abordat pe larg la materiile AA și PA.
În acest laborator vom vorbi despre altă metrică de măsurare a performanței unui program, mai exact despre memoria folosită de un program.
De ce este important și acest aspect? Dacă din punct de vedere al timpului de execuție, sunt situații în care putem aștepta mai mult timp pentru a se termina programul, din punctul de vedere al memoriei folosite avem o limitare exactă. Un exemplu simplu este calculatorul nostru, care are 4GB/8GB/16GB. Dacă mașina noastră are X GB RAM, dintre care o parte importantă o ocupă sistemul de operare, asta înseamnă că într-un anumit program nu putem folosi o cantitate nelimitată de RAM (mai multe detalii despre swap veți învăța în cursurile următoare - CN2, SO). Momentan presupunem că programul nostru nu poate rula pe o mașină cu X GB, dacă are nevoie de mai mult de X GB.
Dacă ajungem într-o astfel de situație în mod evident trebuie să schimbăm ceva, însă de multe ori putem păstra algoritmul și să facem câteva modificări în implementare, care exploatează anumite abilități ale limbajului C (ex. operații pe biți).
Dimensiunea tipurilor implicite în C. Calculul memoriei unui program
În laboratorul 2 au prezentate tipurile de date implicite din C și dimensiunea acestora.
Pentru a afla dimensiunea în bytes a unei variabile se poate folosi operatorul sizeof.
Fie codul din următorul cod.
#include <stdio.h>
int main() {
// afiseaza dimensiunea tipurilor si a unor variabile de un anumit tip
char xc;
printf("sizeof(unsigned char) = %ld B\n", sizeof(unsigned char));
printf("sizeof(char) = %ld B\n", sizeof(char));
printf("sizeof(xc) = %ld B\n", sizeof(xc));
short int xs;
printf("sizeof(unsigned short int) = %ld B\n", sizeof(unsigned short int));
printf("sizeof(short int) = %ld B\n", sizeof(short int));
printf("sizeof(xs) = %ld B\n", sizeof(xs));
int xi;
printf("sizeof(unsigned int) = %ld B\n", sizeof(unsigned int));
printf("sizeof(int) = %ld B\n", sizeof(int));
printf("sizeof(xi) = %ld B\n", sizeof(xi));
// afiseaza dimensiunea unor tablouri cu dimensiune cunoscuta
char vc[100];
short int vs[100];
int vi[100];
printf("sizeof(vc) = %ld B\n", sizeof(vc));
printf("sizeof(vs) = %ld B\n", sizeof(vs));
printf("sizeof(vi) = %ld B\n", sizeof(vi));
return 0;
}
În urma executării acestui program pe o arhitectură de 32 biți vom vedea următorul rezultat.
sizeof(unsigned char) = 1 B
sizeof(char) = 1 B
sizeof(xc) = 1 B
sizeof(unsigned short int) = 2 B
sizeof(short int) = 2 B
sizeof(xs) = 2 B
sizeof(unsigned int) = 4 B
sizeof(int) = 4 B
sizeof(xi) = 4 B
sizeof(vc) = 100 B
sizeof(vs) = 200 B
sizeof(vi) = 400 B
Putem afla dimensiunea unui tip de date / variabila de un anumit tip la
compile time folosind operatorul sizeof care returnează dimensiunea în bytes a parametrului dat.
sizeof poate fi folosit și pentru măsurarea dimesiunii unui vector / matrice alocat(a) static.
Memoria totală folosită de un program poate fi calculată ca suma tuturor dimensiunilor ocupate de variabilele din program.
De obicei, ne interesează să știm ordinul de mărime al spațiului de memorie alocat, astfel, de cele mai multe ori, putem contoriza doar tablourile.
Un caz special îl poate reprezenta recursivitatea! Punerea parametrilor pe stivă de un număr foarte mare de ori, este echivalent cu declararea unui tablou de valori pe stivă. Aceste variabile nu pot fi neglijate în calculul memoriei!
Vom descoperi mai multe în următoare laboratoare. :p
Operatori pe biți în C
Operatorii limbajului C pot fi unari, binari sau ternari, fiecare având o precedenţă şi o asociativitate bine definite (vezi lab02).
În tabelul următor reamintim operatorii limbajului C care sunt folosiți la nivel de bit.
| Operator | Descriere | Asociativitate |
| ~ | Complement faţă de 1 pe biţi | dreapta-stânga |
| << si >> | Deplasare stânga/dreapta a biţilor | stânga-dreapta |
| & | ŞI pe biţi | stânga-dreapta |
| ^ | SAU-EXCLUSIV pe biţi | stânga-dreapta |
| | | SAU pe biţi | stânga-dreapta |
| &= și |= | Atribuire cu ŞI/SAU | dreapta-stânga |
| ^= | Atribuire cu SAU-EXCLUSIV | dreapta-stânga |
| <<= şi >>= | Atribuire cu deplasare de biţi | dreapta-stânga |
Trebuie avută în vedere precedenţa operatorilor pentru obţinerea rezultatelor dorite!
Dacă nu sunteți sigur de precendența unui operator, folosiți o pereche de paranteze rotunde în plus în expresia voastră! Nu exagerați cu parantezele, codul poate deveni ilizibil.
Bitwise NOT
Bitwise NOT ( complement față de 1 ) este operația la nivel de bit care următorul tabel de adevăr.
Evident putem extinde această operație și la nivel de număr. Operația se aplică separat pentru fiecare rang binar.
| | $b_2$ | $b_1$ | $b_0$ |
| x = 3 | 0 | 1 | 1 |
| ~x = 4 | 1 | 0 | 0 |
Bitwise AND
Bitwise AND ( ȘI pe biți ) este operația la nivel de bit care următorul tabel de adevăr.
| x | y | x & y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Evident putem extinde această operație și la nivel de număr. Operația se aplică separat pentru fiecare rang binar.
| | $b_2$ | $b_1$ | $b_0$ |
| x = 3 | 0 | 1 | 1 |
| y = 7 | 1 | 1 | 1 |
| x & y = 3 | 0 | 1 | 1 |
Bitwise OR
Bitwise OR ( SAU pe biți ) este operația la nivel de bit care următorul tabel de adevăr.
| x | y | x | y |
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
Evident putem extinde această operație și la nivel de număr. Operația se aplică separat pentru fiecare rang binar.
| | $b_2$ | $b_1$ | $b_0$ |
| x | 0 | 1 | 1 |
| y | 1 | 0 | 1 |
| x & y = 7 | 1 | 1 | 1 |
Bitwise XOR
Bitwise XOR ( SAU-EXCLUSIV pe biți ) este operația la nivel de bit care următorul tabel de adevăr.
| x | y | x | y |
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
Evident putem extinde această operație și la nivel de număr. Operația se aplică separat pentru fiecare rang binar.
| | $b_2$ | $b_1$ | $b_0$ |
| x = 3 | 0 | 1 | 1 |
| y = 5 | 1 | 0 | 1 |
| x ^ y = 6 | 1 | 1 | 0 |
Bit LOGICAL SHIFT
În C sunt definite doar shiftări logice. Acestea pot fi la stânga (<<) sau la dreapta (>>), reprezentând deplasarea in binar a cifrelor și completarea pozițiilor “golite” cu zerouri.
LEFT SHIFT
Efectul unei deplasări la stânga cu un rang binar este echivalent cu înmulțirea cu 2 a numărului din baza 10.
Dacă rezultatul nu are loc pe tipul de date folosit, atunci se pot pierde din biți!
Se poate deduce următoarea relație: $ n << k = n * 2^k $.
Fie un exemplu de deplasarea la stânga, pentru un număr pe 3 biți .
| | $b_2$ | $b_1$ | $b_0$ |
| x = 3 | 0 | 1 | 1 |
| x « 1 = 6 | 1 | 1 | 0 |
| x « 2 = 8 | 1 | 0 | 0 |
RIGHT SHIFT
Efectul unei deplasări la dreapta cu un rang binar este echivalent cu împărțirea întreagă la 2 a numărului din baza 10.
Se poate deduce următoarea relație: $ n >> k = [n / 2^k ] $.
Fie un exemplu de deplasarea la dreapta, pentru un număr pe 3 biți .
| | $b_2$ | $b_1$ | $b_0$ |
| x = 3 | 0 | 1 | 1 |
| x » 1 = 1 | 0 | 0 | 1 |
| x » 2 = 0 | 0 | 0 | 0 |
Lucrul cu măști
Având la dispoziție operațiile prezentate mai sus, putem răspunde la următoarele întrebări.
Cum verificăm dacă bitul i dintr-un număr n este setat ?
Cum setăm bitul i dintr-un număr n?
Cum resetăm bitul i dintr-un număr n?
Pentru a răspunde ușor, pentru fiecare întrebare vom aplica o operație pe biți între n și o valoarea numită mască .
Cum verificăm dacă bitul i dintr-un număr n este setat?
Această întrebare ne oferă valoarea bitului i.
Dacă “valoarea este 1”, atunci vom spune că “bitul este setat”.
Dacă “valoarea este 0”, atunci vom spune că “bitul nu este “setat”.
Pentru a verifica valoarea bitului i din numărul n, practic noi ar trebui să privim numărul astfel:
| | $b_7$ | $b_6$ | … | $b_i$ | … | $b_1$ | $b_0$ |
| n | * | * | … | ? | … | * | * |
unde * înseamnă don't care (de la PL),
iar ? este valoarea pe care o cautăm.
Deci am vrea sa facem, după cum am zis mai sus, o operație de tipul “scoate” doar bitul i din număr, iar în rest lasă 0 (pentru a evidenția bitul nostru).
| | $b_7$ | … | $b_{i+1}$ | $b_i$ | $b_{i-1}$ | … | $b_0$ | |
| n | * | … | * | ? | * | … | * | |
| mask | $m_7$ | … | $m_{i+1}$ | $m_i$ | $m_{i-1}$ | … | $m_0$ | op |
| n op mask | 0 | … | 0 | ? | 0 | … | 0 | |
Să analizăm cine pot fi op și biții din mască ($m_i$).
Dorim ca:
$ ? \ \ op \ \ m_i = \ ? $ : operația op aplicată pe $?$ și $m_i$, va avea mereu ca rezultat pe $?$.
$ * \ \ op \ \ m_j = 0 $ (unde i != j) : operația op aplicată pe orice valoare și $m_j$, va da 0.
Observăm că:
1 este elementul neutru pentru ȘI, ceea ce verifică ? & 1 = ? , oricare are fi ? un bit.
0 este elementul care poate “șterge” un bit prin Și, ceea ce verifică * & 0 = 0 , oricare ar fi * un bit.
Detectarea bitului:
| | $b_7$ | … | $b_{i+1}$ | $b_i$ | $b_{i-1}$ | … | $b_0$ | |
| n | * | … | * | ? | * | … | * | |
| mask | 0 | … | 0 | 1 | 0 | … | 0 | op |
| x | 0 | … | 0 | ? | 0 | … | 0 | |
// is_set
// byte - byte de intrare pentru care vreau sa verific un bit
// i - indexul bitului din byte
// @return - 1, daca bitul este 1
// 0, daca bitul este 0
int is_set(char byte, int i) {
int mask = (1 << i);
return (byte & mask) != 0;
}
...
if (is_set(mybyte, i)) {
printf("bitul %d din byteul %d este setat!\n", i, mybyte);
} else {
printf("bitul %d din byteul %d NU este setat!\n", i, mybyte);
}
...
Cum setăm (valoarea devine 1) bitul i dintr-un număr n?
Dorim să facem următoarea operație: schimba doar bitul i in 1, iar pe ceilalți lasă-i neschimbați.
| | $b_7$ | … | $b_{i+1}$ | $b_i$ | $b_{i-1}$ | … | $b_0$ | |
| n | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | * | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
| mask | $m_7$ | … | $m_{i+1}$ | $m_i$ | $m_{i-1}$ | … | $m_0$ | op |
| n op mask | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | 1 | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
Să analizăm cine pot fi op și biții din mască ($m_i$).
Dorim ca:
$ * \ \ op \ \ m_i = 1 $ : operația op aplicată pe $*$ (orice) și $m_i$, va avea mereu ca rezultat pe $1$.
$ n_j \ \ op \ \ m_j = n_j $ (unde i != j) : operația $op$ aplicată pe orice valoare și $m_j$, va da $n_j$.
Observăm că:
1 esteelementul care poate “umple” un bit prin SAU, ceea ce verifică $ * | 1 = 1 $, oricare ar fi * un bit.
0 este elementul neutru pentru SAU, ceea ce verifică $ n_j | 0 = n_j $, oricare are fi $n_j$ un bit.
Setarea bitului:
| | $b_7$ | … | $b_{i+1}$ | $b_i$ | $b_{i-1}$ | … | $b_0$ | |
| n | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | * | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
| mask | $0 $ | … | $0 $ | $1 $ | $0 $ | … | $0 $ | op |
| n op mask | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | 1 | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
// set
// byte - byte de intrare pentru care vreau sa setez un bit
// i - indexul bitului din byte
// @return - noul byte
char set(char byte, int i) {
int mask = (1 << i);
return (byte | mask);
}
...
mybyte = set(mybyte, i);
...
Cum resetăm (valoarea devine 0) bitul i dintr-un număr n?
Dorim să facem următoarea operație: schimba doar bitul i in 0, iar pe ceilalți lasă-i neschimbați.
| | $b_7$ | … | $b_{i+1}$ | $b_i$ | $b_{i-1}$ | … | $b_0$ | |
| n | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | * | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
| mask | $m_7$ | … | $m_{i+1}$ | $m_i$ | $m_{i-1}$ | … | $m_0$ | op |
| n op mask | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | 0 | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
Să analizăm cine pot fi op și biții din mască ($m_i$).
Dorim ca:
$ * \ \ op \ \ m_i = 0 $ : operația op aplicată pe $*$ (orice) și $m_i$, va avea mereu ca rezultat pe $0$.
$ n_j \ \ op \ \ m_j = n_j $ (unde i != j) : operația $op$ aplicată pe orice valoare și $m_j$, va da $n_j$.
Observăm că:
0 este elementul care poate “șterge” un bit prin ȘI, ceea ce verifică $ * & 0 = 0 $, oricare ar fi * un bit.
1 este elementul neutru pentru ȘI, ceea ce verifică $ n_j | 1 = n_j $, oricare are fi $n_j$ un bit.
Resetarea bitului:
| | $b_7$ | … | $b_{i+1}$ | $b_i$ | $b_{i-1}$ | … | $b_0$ | |
| n | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | * | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
| mask | $1 $ | … | $1 $ | $0 $ | $1 $ | … | $1 $ | op |
| n op mask | $n_7$ | … | $n_{i+1}$ | 0 | $n_{i-1}$ | … | $n_0$ | |
// reset
// byte - byte de intrare pentru care vreau sa resetez un bit
// i - indexul bitului din byte
// @return - noul byte
char reset(char byte, int i) {
int mask = ~(1 << i);
return (byte & mask);
}
...
mybyte = reset(mybyte, i);
...
Exerciții
Precizari:
Arhivele 4, 5, 6 testeaza reuniunea, intersectia respectiv diferenta seturilor.
Intrarea corespunde functiei set_read (n, urmat de n elemente)
Ref corespunde functiei set_print aplicata pe setul obtinut (cardinalul setului, urmat pe urmatoarea linie de elementele din set)
În rezolvarea acestui
laborator nu aveți voie să folosiți operatorii
/, *, % !
Hint: Încercați să folosiți operații pe biți!
Rezolvați împreună cu asistentul, eventual pe tablă, următoarele 3 exerciții.
1. Calcul putere a lui 2 (0p)
Să se scrie o funcție care să calculeze $2^n$, unde $ n <= 30 $.
int pow2(int n);
Răspundeți la întrebarea: are sens să scriem o funcție?
2. Negarea biților unui număr n (0p)
Să se scrie o funcție care să nege biții unui număr n (32 biți).
int flip_bits(int n);
Răspundeți la întrebarea: are sens să scriem o funcție?
3. Afișarea biților unui număr n (0p)
Să se scrie o funcție care să afișeze toți biții unui număr întreg pe 32 biți.
void print_bits(int n);
Implementați invidual următoarea problemă.
4. bitset (10p)
O mulțime de numere întregi poate fi reprezentată astfel: spunem că un număr aparține unei mulțimi S dacă bit-ul al i-lea din vectorul S are valoarea 1.
Pentru e ficientă, vectorul S va conține date de tipul unsigned char.
Presupunem că avem vectorul unsigned char S[3]; , pentru care am initializat deja valorile cu 0, 3, 5.
S[0], S[1], S[2] fiecare reprezintă câte o variabilă pe 8 biți.
| | | | | S[0] | | | | | | | | | | S[1] | | | | | | | | | | S[2] | | | | |
| | $b_0$ | $b_ 1$ | $b_2$ | $b_3$ | $b_4$ | $b_5$ | $b_6$ | $b_7$ | | | $b_0$ | $b_1$ | $b_2$ | $b_3$ | $b_4$ | $b_5$ | $b_6$ | $b_7$ | | | $b_0$ | $b_1$ | $b_2$ | $b_3$ | $b_4$ | $b_5$ | $b_6$ | $b_7$ |
| biti din S | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| numere asociate | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | | | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
Atentie! Bitii au fost desenati invers (stanga-dreapta 0-7) pentru a obtine in desen sirul sortat de numere asociate.
In realitate un byte arata asa: $b_7b_6b_5b_4b_3b_2b_1b_0$
Observați notarea biților! Vom folosi această schema pentru a obține șirul numerelor asociate ca fiind sortat.
Interpretare:
- numărul 3 nu face partea din mulțimea S, pentru că bitul asociat (cel cu numărul / etichete 3 din vector) este 0
- numărul 16 face partea din mulțimea S, pentru că bitul asociat (cel cu numărul / etichepa 16 din vector) este 1
Analog pentru toate numerele de la 0 la 23 (avem doar 24 de biți în acest exemplu), putem verifica dacă numărul i este în vector.
Astfel vectorul S de mai sus reprezintă mulțimea {8, 9, 16, 18}.
Dacă programul nostru va seta bitul cu numărul 15 pe 1, atunci operația este echivalentă cu S = S U {15}. Programul va trebui să își dea seama ca bitul cu numărul 15 este defapt bitul cu numărul 7 din byteul cu numărul 1 (adica din S[1]).
Pentru a folosi cu ușurință același cod facând schimbări minime (de exemplu schimbăm dimensiunea maximă a unei mulțimi), putem să ne definim propriul tip astfel:
#define SET_SIZE 100 // aceasta este o macrodefiniție (momentan o putem privi ca pe O CONSTANTA CARE ARE VALOAREA 100
typedef unsigned char SET[SET_SIZE]; // definesc tipul SET, care este un vector cu maxim 100 de elemente de tip unsigned char
Cele două linii de mai sus vor fi puse imediat dupa includerea directivelor header!
Implementați funcții pentru:
// set_insert(S,n) - adauga numarul n in multimea S
void set_insert(SET S, unsigned int n);
// set_delete(S,n) - scoate numarul n din multime S
void set_delete(SET S, unsigned int n);
// set_has(S,n) - returneaza 1 daca n este in S, 0 altfel
int set_has(SET S, unsigned int n);
// set_delete_all(S) - elimina toate elementele din multime
void set_delete_all(SET S);
// set_card(S) - returneaza cardinalul multimii S
int set_card(SET S);
// set_is_empty(S) - verifica daca multimea este sau nu goala
// returneaza 1 daca este, 0 daca nu este
int set_is_empty(SET S);
// set_read(A) - functia citeste numarul n de elemente care se afla in A
// apoi citeste cele n numere si le insereaza in A
// va returna numarul n citit (numarul de elemente)
int set_read(SET A);
// set_print(A) - functia printeaza elementele multimii A
void set_print(SET A);
Realizati un program care, utilizând metodele de fite anterior, citește 2 mulțimi A (n și B și a fișează: $ A U B, A ∩ B, A - B, B - A $.
Pentru a realiza acest lucru, va trebui să implementați următoarele funcții:
// C = AUB
void set_reunion(SET A, SET B, SET C);
// C = AnB
void set_intersection(SET A, SET B, SET C);
// C = A - B
void set_difference(SET A, SET B, SET C);
În final va trebui sa creați o funcție main și să faceți un program care rezolvă cerința folosind funcțiile implementate. (1p)
Folosiți funcțiile set, reset, is_set definite în laborator.
Implementați funcțiile din enunț în ordinea sugerată.
BONUS
B1. MSB/LSB
Să se scrie o câte o funcție pentru aflarea MSB(Most significant bit), respectiv LSB(Least significant bit), pentru un număr n pe 32 biți.
int get_lsb(int n);
int get_msb(int n);
Analizați reprezentarea în baza 2 a lui n.
B2. Verificare că un număr este putere al lui 2
Să se scrie o funcție care verifică dacă un număr întreg n pe 32 biți este puterea a lui 2. Funcția va returna 1 dacă n este putere a lui 2, 0 altfel.
int is_power2(int n);
Analizați reprezentarea în baza 2 a lui n (ex. n = 16 si n = 5).
Probleme de interviu
Pentru cei interesați, recomandăm rezolvarea și următoarelor probleme, care sunt des întâlnite la interviuri.
Atenție! Problemele din această categorie au un nivel de dificultate ridicat, peste cel cerut la cursul de PC.
Recomandăm totuși rezolvarea acestor probleme pentru cei care doresc să aprofundeze lucrul cu operații pe biți.
Se dă un număr n natural pe 32 de biți. Se cere să se calculeze numărul obținut prin interschimbarea biților de rang par cu cel de rang impar.
Exemplu: n = 2863311530 = > m = 1431655765
Fie un șir cu 2n + 1 numere întregi, dintre care n numere apar de câte 2 ore, iar unul singur este unic.
Să se gasească elementul unic.
Exemplu:
n = 5 și sirul [1, 4, 4, 1, 5]
Numărul unic este 5.
Hint: Încercați să nu folosiți tablouri.
Follow-up 1: Șirul are $2*n + (2 * p + 1)$ numere. Se sție că un singur număr apare de un număr impar de ori (2p + 1), iar celelalte apar de un număr par de ori. Cum găsiți numărul care apare de un număr impar de ori?
Exemplu:
n = 5 și sirul [1, 1, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5]
Răspunsul este 5.
Follow-up 2: Șirul are $2n + 2$ numere, n numere apar de câte 2 ori, iar 2 numere sunt unice. Cum găsiți cele 2 numer unice?
Exemplu:
n = 5 și sirul [1, 4, 4, 1, 5, 6]
Numărele unice sunt 5 și 6.
TODO: sursă
Realizează o funcție de căutare pe binară, utilizând operații pe biți pentru optimizarea acestei implementări.
Follow up: Puteți găsi alt algoritm care să nu se bazeze pe împarțirea vectorului în două și compararea elementului din mijloc cu cel cautat?
Împăratul Gigel a primit cadou 100 de sticle de vin de la un admirator secret. Acesta i-a lăsat și o scrisoare în care îi spune despre faptul că este vin nobil, însă a otrăvit o sticlă. Cine va bea din sticla otrăvită va muri în fix 24h .
Gigel dispune de un număr imens de sclavi (precum număr imens de restanțe in Poli), așa că el își va pune sclavii să guste din vin. Se gândește totuși că nu se mai găsesc sclavi pe toate drumurile, așa ca dorește să folosească un număr minim de sclavi (cei care gustă riscă să moară).
Ajutați-l pe Gigel să găsească numărul minim de sclavi pe care trebuie să îi foloseacă astfel:
pune pe cei n sclavi aleși la masă cu câte un pahar în mână, inițial gol
poruncește bucătarului să toarne vin în pahare, alegând cui și ce să toarne
unui sclav i poate turna în pahat vin din oricâte sticle (chiar și simultan)
după ce s-a turnat în toate cele n pahare, ei vor bea toți simultan
la finalul celor 24h Gigel trebuie să își dea seama care este sticla otrăvită, altfel se va oftica și va pune 100 de sclavi să guste fiecare din câte o sticlă, iar pe cei care rămân în viață îi va împușca oricum pentru că e nervos
P.S. Apreciați faptul că Gigel încearcă să nu omoare foarte mulți oameni degeaba. Ajutați-l să găsească $numărul minim n de sclavi$ care trebuie să guste din vin.
Follow-up: Aceeași problemă, dar pentru n sticle.
TODO: sursă
Hint: Reprezentarea numerelor în baza 2.
Se dau n grămezi, fiecare conţinând un anumit număr de pietre. Doi jucători vor începe să ia alternativ din pietre, astfel: la fiecare pas, jucătorul aflat la mutare trebuie să îndepărteze un număr nenul de pietre dintr-o singură grămadă. Câştigătorul este cel care ia ultima piatră.
Să se determine dacă jucătorul care ia primele pietre are strategie sigură de câştig.
Exemple
n = 4, gramezi = [1 3 5 7], raspuns = NU
n = 3, gramezi = [4 8 17], raspuns = DA
