Responsabili:

• Mihai Neacşu
• Cosmin Petrişor

În urma parcurgerii laboratorului, studentul va fi capabil să:

• înţeleagă noţiunea de arbore şi structura unui arbore binar
• construiască, în limbajul C++, un arbore binar
• realizeze o parcurgere a structurii de date prin mai multe moduri
• citească o expresie matematică şi să-i construiască arborele binar asociat
• evalueze o expresie matematică dată printr-un arbore binar.

Matematic, un arbore este un graf neorientat conex aciclic.

În ştiinţa calculatoarelor, termenul de arbore este folosit pentru a desemna o structură de date care respectă definiţia de mai sus, însă are asociate un nod rădăcină şi o orientare înspre sau opusă rădăcinii.

Arborii sunt folosiţi în general pentru a modela o ierarhie de elemente.

Astfel, fiecare element (nod) poate deţine un număr de unul sau mai mulţi descendenţi, iar în acest caz nodul este numit părinte al nodurilor descendente.

Fiecare nod poate avea un singur nod părinte. Un nod fără descendenţi este un nod terminal, sau nod frunză.

În schimb, există un singur nod fără părinte, iar acesta este întotdeauna rădăcina arborelui (root).

Un arbore binar este un caz special de arbore, în care fiecare nod poate avea maxim doi descendenţi:

• nodul stâng
• nodul drept.

În funcţie de elementele ce pot fi reprezentate în noduri şi de restricţiile aplicate arborelui, se pot crea structuri de date cu proprietăţi deosebite: heap-uri, arbori AVL, arbori roşu-negru, arbori Splay şi multe altele. O parte din aceste structuri vor fi studiate la curs şi în laboratoarele viitoare.

În acest laborator ne vom concentra asupra unei utilizări comune a arborilor binari, şi anume pentru a reprezenta şi evalua expresii logice.

Arborii binari pot fi reprezentați în mai multe moduri. Structura din spatele acestora poate fi un simplu vector, alocat dinamic sau nu, sau o structură ce folosește pointeri, așa cum îi vom reprezenta în acest laborator.

BinaryTree.h

#ifndef __BINARY_TREE_H
#define __BINARY_TREE_H
 
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
 
template <typename T>
class BinaryTree
{
public:
    BinaryTree();
    ~BinaryTree();
 
private:
    BinaryTree<T> *leftNode;
    BinaryTree<T> *rightNode;
 
    T *pData;
};
 
#endif // __BINARY_TREE_H

Structura nodului de mai sus este clară:

• pointer către fiul stâng
• pointer către fiul drept
• pointer către date

Pentru a ne reaminti cum alocăm memorie:

BinaryTree<T> *node = new BinaryTree<T>();
delete node;
 
T *pData = new T;
delete pData;

• Se parcurge rădăcina
• Se parcurge subarborele stâng
• Se parcurge subarborele drept

Exemplu:

PreorderTraverse(BinaryTree<T> *node)
{
    Process(node->pData);
    PreorderTraverse(node->leftNode);
    PreorderTraverse(node->rightNode);
}

• Se parcurge subarborele stâng
• Se parcurge rădăcina
• Se parcurge subarborele drept

• Se parcurge subarborele stâng
• Se parcurge subarborele drept
• Se parcurge rădăcina

Se folosește o coadă, iar la fiecare pas se extrage din această coadă câte un nod și se adăugă înapoi în coadă nodul stâng, respectiv drept al nodului scos. Acest algoritm continuă până când coada devine goală.

O expresie matematică este un şir de caractere compus din:

• variabile
• constante
• operatori
• paranteze (eventual).

Fiecărei expresii i se poate asocia un arbore binar, în care:

• nodurile interioare reprezintă operatorii
• frunzele reprezintă constantele şi/sau variabilele.

În terminologia limbajelor formale şi a compilatoarelor, acest arbore se mai numeşte şi Abstract Syntax Tree (AST).

Pentru expresia (a+1)*(b+10)+25/c , arborele asociat este prezentat mai jos:

Următorul pseudo-cod reprezintă în linii mari algoritmului de evaluare a expresiilor reprezentate sub formă de arbori binari:

Evalueaza(Node nod) {
    // Daca nu este nod terminal...
    if (nod->left || nod->right) {
        // Evaluam expresiile subarborilor...
        res1 = Evalueaza(nod->left);
        res2 = Evalueaza(nod->right);
 
        // ... si combinam rezultatele aplicand operatorul
        return AplicaOperator(nod->op, res1, res2);
   } else {
        // Daca nodul terminal contine o variabila, atunci intoarcem valoarea variabilei
        if (nod->var)
            return Valoare(nod->var);
        else // Avem o constanta
            return nod->val;
   }
}

Acest laborator se va realiza pornind de la scheletul de cod.

În cadrul arhivei, aveți la dispoziție un parser pentru expresii logice sub forma normal disjunctivă - DNF:

(Expresie) := (Termen1) | (Termen2) | (Termen3) | ... | (TermenN), N >= 1
(Termen) := (Literal1) & (Literal2) & ... & (LiteralM), M >= 1

Câteva exemple de expresii logice valide: E1 = a & b & !c E2 = a & b | c & !a

În cazul expresiilor logice considerate în forma de mai sus şi ţinând cont de precedenţa convenabilă a operatorilor, arborele expresiilor se generează destul de uşor, de exemplu dupa regulile următoare (folosită în implementarea din laborator - de remarcat ca sunt mai multe posibilităţi de generare a acestui arbore):

Se genereaza un nod pentru prima disjuncţie (|) întâlnită:

• (Termen1) ca subarbore stâng şi restul expresiei ca subarbore drept
• Pentru subarborii dreapta se aplică recursiv regula de la pasul precedent, expandându-se ca subarbori stânga toţi termenii până la (TermenN-1), şi având un singur subarbore dreapta cu (TermenN)

Pentru fiecare subarbore asociat unui termen se generează un nod pentru prima conjuncţie întâlnită (&):

• cu (Literal1) ca subarbore stânga şi restul termenului ca subarbore dreapta, aplicându-se recursiv această regula şi pentru ceilalţi literali, similar cazului disjuncţiilor.

1. [4p] Implementați (și compilați!) următoarele funcții pentru un arbore binar:

• [1p] (BinaryTree.h) Constructor / Destructor (eliberați memorie doar dacă este cazul) (TODO 1.1)
• [1p] (BinaryTree.h) Implementați metoda de a seta datele reținute de un nod, posibilitatea de a returna și a seta arborii. (TODO 1.2)
• [2p] (BinaryTree.h) Implementați metodele de inserare recursivă într-un nod din arbore. Presupuneți că se înserează în subarborele stâng sau drept, în mod aleator. (TODO 1.3)

2. [3p] Implementaţi (şi compilaţi!) următoarele funcţii pentru un arbore binar:

• [1p] (BinaryTree.h) Realizați o parcurgere inordine în displayTree. Puteți să folosiți sau nu variabila de indentare care este dată ca argument. (TODO 2.1)
• [1p] (BinaryTree.h) Calculaţi înălţimea arborelui în getTreeHeight. (TODO 2.2)
• [1p] (BinaryTree.h) Calculaţi numărul de noduri în getNumNodes. (TODO 2.3)

Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship, part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.

• Ce este un arbore?
• Cum poate fi reprezentat un nod dintr-un arbore binar?
• Daţi exemplu de un tip (mai multe tipuri) de parcurgere al arborilor binari. Descrieţi modul de funţionare al acestuia (acestora).
• Daţi exemplu de un mod de utilizare al arborilor binari.
• Ce complexitate medie / worst-case au funcţiile de inserare / ştergere / căutare pentru un arbore binar, BST, AVL, etc. (mai multe despre complexitatea algoritmilor şi structurilor de date veţi învăţa în anul 2: Analiza Algoritmilor şi Proiectarea Algoritmilor).

[1] - Binary Tree

[2] - AVL

[3] - Red-Black Tree

[4] - Splay Tree

[5] - AST

[6] - DNF