Laborator 9 - ABC și Heap

Obiective

În urma parcurgerii laboratorului, studentul va fi capabil să:

  • înțeleagă structura și proprietățile unui arbore binar de căutare;
  • construiască, în limbajul C, un arbore binar de căutare;
  • realizeze o parcurgere a structurii de date prin mai multe moduri;
  • realizeze diferite operații folosind arborii binari de căutare;
  • definească proprietățile structurii de heap;
  • implementeze operații de inserare, ștergere și căutare care să păstreze proprietatea de heap;
  • folosească heap-ul pentru a implementa o metodă de sortare eficientă.

Noțiuni teoretice - ABC

Un arbore binar de căutare este un arbore binar care are în plus următoarele proprietăți:

  • cheile stocate în noduri (informația utilă) aparțin unei mulțimi peste care există o relație de ordine totală
  • cheia dintr-un nod oarecare este mai mare decât cheile tuturor nodurilor din subarborele stâng și este mai mică decât cheile tuturor nodurilor ce compun subarborele drept

Arborii binari de căutare permit menținerea datelor în ordine și o căutare rapidă a unei chei, ceea ce îi recomandă pentru implementarea de mulțimi și dicționare ordonate.

O importantă caracteristică a arborilor de căutare, este aceea că parcurgerea inordine produce o secvență ordonată crescător a cheilor din nodurile arborelui.

Valoarea maximă

Valoarea maximă dintr-un arbore binar de căutare se află în nodul din extremitatea dreaptă și se determină prin coborârea pe subarborele drept, iar valoarea minimă se află în nodul din extremitatea stângă, determinarea fiind simetrică.

Căutarea

Căutarea unei chei într-un arbore binar de căutare este asemănătoare căutării binare: cheia căutată este comparată cu cheia din nodul curent (inițial nodul rădăcină). În funcție de rezultatul comparației apar trei cazuri:

  • acestea coincid –> elementul a fost găsit
  • elementul căutat este mai mic decât cheia din nodul curent –> căutarea continuă în subarborele stâng
  • elementul căutat este mai mare decât cheia din nodul curent → căutarea continuă în subarborele drept

Pseudocod:

bool căutare(nod, cheie) {
  if nod == NULL
    return false;
  if nod.cheie == cheie
    return true;
 
  if cheie < nod.cheie
    return căutare(nod.stanga, cheie);
  else
    return căutare(nod.dreapta, cheie);
}

Inserarea

Inserarea unui nod se face, în funcție de rezultatul comparației cheilor, în subarborele stâng sau drept. Dacă arborele este vid, se creează un nod care devine nodul rădăcină al arborelui. În caz contrar, cheia se inserează ca fiu stâng sau fiu drept al unui nod din arbore.

Ștergerea

Ștergerea unui nod este o operație puțin mai complicată, întrucât presupune o rearanjare a nodurilor. Pentru eliminarea unui nod dintr-un arbore binar de căutare sunt posibile următoare cazuri:

  • nodul de șters nu există → operația se consideră încheiată
  • nodul de șters nu are succesori → este o frunză
  • nodul de șters are un singur succesor
  • nodul de șters are doi succesori

În cazul ștergerii unui nod frunză sau a unui nod având un singur succesor, legătura de la părintele nodului de șters este înlocuită prin legătura nodului de șters la succesorul său (NULL în cazul frunzelor).

Eliminarea unui nod cu doi succesori se face prin înlocuirea sa cu nodul care are cea mai apropiată valoare de nodul șters. Acesta poate fi din extremitatea dreaptă a subarborelui stâng (predecesorul; se caută cel mai mare nod din acest subarbore, adică “se merge” în dreapta până se ajunge la un nod cu cel mult un succesor, aflat evident în partea stângă, altfel am putea avansa în adâncime pe dreapta) sau nodul din extremitatea stânga a subarborelui drept (succesorul; se caută cel mai mic nod din acest subarbore, adică “se merge” în stânga până se ajunge la un nod cu cel mult un succesor, aflat evident în partea dreaptă, altfel am putea avansa în adâncime pe stânga).

Complexitatea operațiilor (căutare, inserare, ștergere) într-un arbore binar de căutare este - pe cazul mediu - O(log n).

Noțiuni teoretice - Heap

Mai sus am considerat arborii binari ca fiind o înlănțuire de structuri, legate între ele prin pointeri la descendenții stâng, respectiv drept. Această reprezentare are avantajul flexibilității și a posibilității de a crește sau micșora dimensiunea arborelui oricât de mult, cu un efort minim. Cu toate acestea, metoda precedentă nu poate fi folosită atunci când este nevoie de o reprezentare compactă a arborelui în memorie (de exemplu pentru stocarea într-un fișier), pentru că acei pointeri nu sunt valizi decât în cadrul programului curent.

Din acest motiv, există câteva moduri de a stoca arborii într-o structura liniară de date (vectori), dintre care:

  • Înlocuirea pointer-ilor din structurile asociate nodurilor cu întregi ce reprezintă indici într-un vector de astfel de structuri. Primul element din vector va fi rădăcina arborelui, și va exista un contor curent (la nivelul întregului vector) care indică următoarea poziție liberă. Atunci când un nod trebuie adăugat în arbore, i se va asocia valoarea curentă a contorului, iar acesta va fi incrementat. În nodul părinte se va reține indicele în vector al noului nod, în locul adresei lui în memorie (practic acesta este un mic mecanism de alocare de memorie, pe care îl gestionăm noi).
  • Eliminarea totală a informației legate de predecesori, și folosirea unei formule de calcul a părintelui și a descendenților unui nod pe baza indicelui acestuia în vector.

Pentru un arbore binar, cea de-a doua modalitate se implementează conform figurii de mai jos:

binary_heap_with_array_implementation.jpg

Se consideră că arborele este așezat în vector în ordine (începând de la 0) de la primul nivel până la ultimul, iar nodurile fiecărui nivel se așează de la stânga la dreapta.

Reprezentarea liniara (sub formă de vector) pentru un arbore binar complet devine:

Se constată că poziția nodului rădăcină în vector este 0, iar pentru fiecare nod în parte, părintele și descendenții se pot calcula după formulele:

  • Părinte(i) = (i - 1) / 2, unde i este indicele nodului curent
  • IndexStânga(i) = 2 * i + 1, unde i este indicele nodului curent
  • IndexDreapta(i) = 2 * i + 2, unde i este indicele nodului curent

Proprietăți ale structurii de heap binar. Operații elementare.

În cele ce urmează vom considera un heap ca fiind de fapt un min-heap. Noțiunile sunt perfect similare și pentru max-heap-uri.

Un min-heap binar este un arbore binar în care fiecare nod are proprietatea că valoarea sa este mai mare sau egală cu cea a părintelui său.

Într-o enunțare echivalentă:

Un min-heap binar este un arbore binar în care fiecare nod are proprietatea că valoarea sa este mai mică sau egală decât cea a tuturor descendenților săi.

h[parinte(x)] <= h[x]

h[x] reprezintă valoarea nodului x, din vectorul h asociat arborelui.

În mod similar, un max-heap are semnul inegalității inversat. Astfel, putem defini și recursiv proprietatea de heap pentru orice (sub)arbore:

  • nodul rădăcină trebuie să respecte proprietatea de heap (inegalitatea);
  • cei doi subarbori descendenți sa fie heap-uri.

Pentru a implementa operațiile de inserare, ștergere, etc. pentru un heap, vom avea nevoie mai întâi de două operații elementare:

  • pushDown, care presupune că heap-ul a fost modificat într-un singur nod și noua valoare este mai mare decât cel puțin unul dintre descendenți, și astfel ea trebuie “cernută” către nivelurile de jos, până când heap-ul devine din nou valid.
  • pushUp, care presupune că valoarea modificată (sau adăugată la sfârșitul vectorului, în acest caz) este mai mică decât părintele, și astfel se propagă acea valoare spre rădăcina arborelui, până când heap-ul devine valid.

Operații uzuale asupra heap-ului

Având implementate cele două operații de bază, putem defini operațiile uzuale de manipulare a heap-urilor:

Peek

Operația întoarce valoarea minimă din min-heap. Valoarea se va afla la indexul 0 al vectorului de implementare a heap-ului.

Push (insert)

Adaugă o nouă valoare la heap, crescându-i astfel dimensiunea cu 1.

Algoritmul pentru această funcție este următorul:

  1. introducem elementul de inserat pe prima poziție liberă din vectorul de implementare a heap-ului (în principiu dimVect);
  2. “împingem” elementul adăugat în vector până la poziția în care se respectă proprietatea de heap; veți folosi funcția pushUp.
push(heap, X)
{
    heap[dimVec] = X;
    dimVec++;
    pushUp(heap, dimVec - 1);
}

Pop (extractMin)

Funcția aceasta scoate valoarea minimă din heap (și reactualizează heap-ul). Poate întoarce valoarea scoasă din heap.

Pentru a face operația de pop veți urma pașii:

  1. elementul minim din heap (de pe prima poziție) va fi interschimbat cu elementul de pe ultima poziție a vectorului;
  2. dimensiunea vectorului va fi redusă cu 1 (pentru a ignora ultimul element, acum cel pe care doream să-l înlăturăm)
  3. vom “împinge” nodul care se afla acum în rădăcina heap-ului către poziția în care trebuie sa fie pentru a fi respectată proprietatea de heap; acest lucru se va face cu funcția pushDown.
extractMin(heap)
{
    interschimba(heap[0], heap[dimVec - 1]);
    dimVect--;
    pushDown(heap, 0);
}

Algoritmul Heap Sort

Întrucât operațiile de extragere a minimului și de adăugare/reconstituire sunt efectuate foarte eficient (complexități de O(1), respectiv O(log n)), heap-ul poate fi folosit într-o multitudine de aplicații care necesită rapiditatea unor astfel de operații. O aplicație importantă o reprezintă sortarea, care poate fi implementată foarte eficient folosind heap-uri. Complexitatea acesteia este O(n*log n), aceeași cu cea de la quick sort și merge sort.

Se poate implementa inserând, pe rând, în heap, toate elementele din vectorul nesortat. Apoi într-un alt șir se extrag minimele. Noul șir va conține vechiul vector sortat.

HeapSort(heap) 
{
    heap = ConstruiesteMaxHeap();
    for (i = dimHeap - 1; i >= 1; i--) 
    {
        // Punem maximul la sfarsitul vectorului
        interschimba(heap[0], heap[i]);
        // 'Desprindem' maximul de heap (valoarea ramanand astfel in pozitia finala)
        dimHeap--;
        // Reconstituim heap-ul ramas
        pushDown(heap, 0);
    }
}

ABC vs Heap

Deși la prima vedere nu există mari diferențe între cele două structuri de date, ele sunt complet diferite. Se poate observa că ele diferă atât la nivelul implementării (abc:pointeri către fii vs heap:vector), cât și al complexităților operațiilor specifice. Totuși, deși ambele se pot folosi în rare cazuri pentru același scop (fără a fi la fel de eficiente), ele au întrebuințări diferite.

ABC

  • Se folosește pentru a implementa arbori echilibrați, precum AVL, Red-Black.
  • Prezintă toate avantajele unui vector sortat, venind în plus cu inserare în timp logaritmic.
  • Nu este mereu echilibrat.

HEAP

  • Heap-ul stă la baza implementării cozii de priorități și a algoritmului heapsort.
  • Se poate folosi pentru găsirea eficientă a celui de-al k-lea cel mai mic/mare (minheap/maxheap) element.
  • Este mereu un arbore echilibrat (complet).

Un arbore este echilibrat dacă fiecare subarbore este echilibrat și înălțimea oricăror doi subarbori diferă cu cel mult 1. Această regulă stă la baza implementării unui arbore AVL. Arborii roșu-negru impun alte reguli.

Schelet

Exerciții

Fiecare laborator va avea unul sau două exerciții publice și un pool de subiecte ascunse, din care asistentul poate alege cum se formează celelalte puncte ale laboratorului.

1) [3.5p] ABC

Task1 va testa operațiile de insert, remove și afișarea (în ordine) a elementelor introduse în ABC.

2) [3.5p] Heap

Task2 va abstractiza următoarea problemă:

Avem un clasament în care pot fi introduse echipe - nume + scor.

Trebuie să efectuăm N operații de tipul:

  • 1 - introducem o nouă echipă în clasament
  • 2 - afișăm prima echipă din clasament
  • 3 - eliminăm prima echipă din clasament

La final, vom afișa topul echipelor rămase în joc.

Bibliografie

sd-ca/laboratoare/lab-09.txt · Last modified: 2020/04/30 10:31 by teodor_adrian.mirea
CC Attribution-Share Alike 3.0 Unported
www.chimeric.de Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0