Show page
Recent changes

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

sd-ca:laboratoare:lab-07 [2024/04/14 22:57]
melih.riza 		sd-ca:laboratoare:lab-07 [2025/05/13 13:57] (current)
alexia.oprisan [Exerciţii]
Line 1: Line 1:
-====== Laborator ​7 - Grafuri - Advanced  ​======+====== Laborator ​10 - Grafuri - Basics ​======
  
 Responsabili Responsabili
-  * [[stef.dascalu@gmail.com|Stefan-Teodor Dascalu]] +  * [[alexiaops2014@gmail.com|Oprisan Alexia-Ioana]] 
-  * [[melih.riza03@gmail.com|Melih Riza]]+  * [[-@gmail.com|Macovei Nicolae-Cristian]]
  
 ===== Obiective ===== ===== Obiective =====
  
 În urma parcurgerii acestui laborator, studentul va fi capabil să: În urma parcurgerii acestui laborator, studentul va fi capabil să:
-  * găsească soluțiile unor probleme folosind algoritmii de parcurgere 
-  * să folosească şi să adapteze algoritmii de parcurgere pentru implementarea soluţiilor găsite 
  
-===== Importanţă =====+  * înțeleagă operațiile de parcurgere a grafurilor și diferențele dintre ele. 
 +  * implementeze parcurgerile pe grafuri având la dispoziție structurile de date studiate. 
 +  * evalueze complexitatea parcurgerii grafurilor.
  
-Grafurile sunt utile pentru a modela diverse probleme şi se regăsesc implementaţi în multiple aplicaţii practice:+===== Ce este un graf? =====
  
-  * reţele ​de calculatoare ​(ex: stabilirea unei topologii fără bucle) +Un graf este o pereche ​de mulţimi ''​G = (V, E)''​. Mulțimea ''​V''​ conține nodurile grafului ​(**vertices**),​ iar mulțimea ''​E''​ conține muchiile sale (**edges**), fiecare muchie stabilind o relație de vecinătate între două noduri. Mulţimea ''​E''​ este inclusă în mulţimea ''​VxV''​.
-  * pagini Web (ex: Google PageRank) +
-  ​* rețele sociale ​(ex: calcul centralitate) +
-  ​* hărţi cu drumuri (ex: drum minim) +
-  * modelare grafică (ex: prefuse, graph-cut)+
  
-===== Aplicaţii parcurgeri =====+==== Diferenţa între graf orientat şi graf neorientat ​====
  
-==== Componente conexe ====+Dacă pentru orice element al mulţimii ''​E'',​ ''​e ​= (u, v)'',​ elementul ''​e' ​= (v, u)''​ aparţine de asemenea mulţimii ''​E'',​ atunci spunem că graful este **neorientat**. În caz contrar, graful este **orientat**. În cazul grafului orientat, muchiile se mai numesc şi arce.
  
-Se numeşte componentă conexă a unui graf neorientat ​''​G = (V, E)''​ un subgraf ''​G1 = (V1, E1)''​ în care pentru orice pereche de noduri ''​(A,​ B)''​ din V1 există un lanţ de la ''​A''​ la ''​B'',​ implicit şi de la ''​B''​ la ''​A''​.+{{sd-ca:​laboratoare:​neorientat.png}} {{sd-ca:​laboratoare:​orientat.png}}
  
-**Observaţie** Nu există un alt subgraf al lui ''​G'',​ ''​G2 ​= (V2, E2)''​ care să îndeplinească această condiţie şi care să îl conţină pe ''​G1''​. În acest caz, ''​G2''​ va fi componenta conexă, iar ''​G1''​ nu.+===== Reprezentările grafurilor în memorie =====
  
-=== Algoritm ===+În funcţie de problemă şi de tipul grafurilor, avem 2 reprezentări:​ liste de adiacenţă sau matrice de adiacenţă.
  
-  * Atât o parcurgere ''​BFS'',​ cât şi una ''​DFS'',​ pornind dintr-un nod A, va determina componenta conexa din care face parte ''​A''​. +==== Liste de adiacenţă ====
-  * Pentru a determina toate componentele conexe ale unui graf ''​G ​= (V, E)'',​ se vor parcurge nodurile din ''​V''​. +
-  * Din fiecare nod care nu face parte dintr-o componentă conexă găsită anterior, se va porni o parcurgere ''​BFS''​ sau ''​DFS''​.+
  
-=== Pseudocod ===+Reprezentarea prin liste de adiacenţă constă într-un tablou ''​Adj''​ cu ''​|V|''​ liste, una pentru fiecare vârf din ''​V''​. Pentru fiecare ''​u''​ din ''​V'',​ lista de adiacenţă ''​Adj[u]''​ conţine referinţe către toate vârfurile ''​v''​ pentru care există muchia ''​(u,​ v)''​ în ''​E''​. Cu alte cuvinte, ''​Adj[u]''​ este formată din totalitatea vârfurilor adiacente lui ''​u''​ în ''​G''​.
  
-<​code>​ +Această reprezentare este preferată pentru ​grafurile rare ( ''​|E|''​ este mult mai mic decât ''​|V|x|V|''​).
-// Inițializări +
-pentru ​fiecare nod u din V +
-{ +
-    stare[u] = nevizitat +
-} +
-componente_conexe = 0+
  
-// Funcţie de vizitare a nodului +{{sd-ca:​laboratoare:​undirected_graph.gif}}
-vizitare(nod) +
-{ +
-    stare[nod] = vizitat +
-    printeaza nod +
-}+
  
-// Parcurgerea în adâncime +Pentru graful de mai sus, lista de adiacenţă ​este următoarea:
-DFS(nod) +
-{ +
-    stiva s +
-      +
-    viziteaza nod  +
-    s.introdu(nod) +
-     +
-    cât timp stiva s nu este goală +
-    { +
-        nodTop = nodul din vârful stivei  +
-                +
-        vecin = află primul vecin nevizitat al lui nodTop. +
-        dacă vecin există +
-        { +
-            viziteaza v +
-            s.introdu(v) +
-        }   +
-        altfel +
-        { +
-            s.scoate(nodTop) +
-        } +
-    } +
-}+
  
-// Parcurgerea nodurilor din V +  * **0**: 1->2 
-pentru fiecare nod u din V +  * **1**: 0->​2->​3->​4 
-{ +  * **2**: 0->​1->​3 
-    dacă stare[u] == nevizitat +  * **3**: ​1->​2->​4 
-    { +  * **4**: 1->3
-        componente_componente = componente_conexe + 1 +
-        ​DFS(u) +
-    } +
-} +
-</code>+
  
-=== Exemplu ​===+==== Matrice de adiacenţă ====
  
-Graful din imagine are 4 componente conexe.+Reprezentarea prin matrice de adiacenţă a unui graf constă într-o matrice ''​A[i][j]''​ de dimensiune ''​|V|x|V|''​ astfel încât: 
 +  *''​A[i][j] = 1'',​ dacă muchia ''​(i,​j)''​ aparţine lui ''​E''​ 
 +  *''​A[i][j] = 0'',​ în caz contrar.
  
-{{sd-ca:​laboratoare:​componenteConexe.png}}+Această reprezentare este preferată pentru grafurile dense ( ''​|E|''​ este aproximativ egal cu ''​|V|x|V|''​).
  
-==== Aflarea distanţei minime între două noduri ====+Pentru graful de mai sus, matricea de adiacenţă este următoarea:​
  
-Dacă toate muchiile au același cost, putem afla distanța minimă între două noduri ''​A''​ și ''​B''​ efectuând o parcurgere ''​BFS''​ din nodul ''​A''​ și oprindu-ne atunci când nodul ''​B''​ a fost descoperit. Reamintindu-ne că nivelul unui nod este analog distanței, în muchii, față de sursă, și că ''​BFS''​ descoperă un nod de pe nivelul ''​N''​ numai după ce toate nodurile de pe nivele inferioare au fost descoperite,​ este ușor de văzut că nivelul nodului ''​B''​ în parcurgere corespunde distanței minime între ''​A''​ și ''​B''​.+^ ^0^1^2^3^4^ 
 +^0|0|1|1|0|0| 
 +^1|1|0|1|1|1| 
 +^2|1|1|0|1|0|  
 +^3|0|1|1|0|0|  
 +^4|0|1|0|1|0| ​
  
-Pentru a reține distanța și drumul exact de la ''​A''​ la ''​B'',​ se vor reține pentru fiecare nod ''​d[x]''​ (distanța de la ''​sursă''​ la ''​x''​) și ''​p[x]''​ (părintele lui ''​x''​ în drumul de la sursă spre ''​x''​). În momentul descoperirii unui nod ''​y''​ al cărui părinte este ''​x'',​ se vor face următoarele atribuiri: 
  
-<code> +<note important> 
-d[y] = d[x] + 1 +În general, preferăm reprezentarea prin liste de adiacență deoarece au o complexitate mai bună în cazul parcurgerilor (cea mai comună operație pe grafuri). Totuși, există situații în care alegerea reprezentării prin matrice de adiacență simplifică mult rezolvarea unei probleme. Un exemplu ar fi algoritmul ​[[https://​en.wikipedia.org/​wiki/​Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm|Floyd-Warshall]] care se bazează pe faptul că putem obține ușor distanța dintre două noduri pe baza matricei în care reținem, adițional, și costurile muchiilor. 
-p[y] = x +</note> 
-</code>+ 
 +===== Parcurgerea grafurilor =====
  
-sursa având ''​d[A] ​= 0''​ și ''​p[A] ​= NULL''​.+==== Parcurgerea în lăţime ====
  
-Observații: +Parcurgerea în lățime (**Breadth-first Search - BFS**) presupune vizitarea nodurilor în următoarea ordine: 
-  *dacă parcurgerea BFS se încheie fără ca nodul B să fi fost descoperit, nu există drum între A și B și deci distanța ​între acestea este infinită. +  * nodul sursă (considerat a fi pe nivelul 0) 
-  *Algoritmul funcționează corect numai în situații de cost uniform ​(toate muchiile au același cost). Pentru ​grafuri cu muchii de costuri diferite, sunt necesari algoritmi mai avansați, cum ar fi: Dijkstra, Bellman-Ford sau Floyd-Warshall.+  * vecinii nodului sursă (aceștia constituind nivelul 1) 
 +  * vecinii încă nevizitați ai nodurilor de pe nivelul 1 (aceștia constituind nivelul 2) 
 +  * vecinii încă nevizitați ai nodurilor de pe nivelul 2 
 +  * ş.a.m.d.  
 + 
 +Caracteristica esențială a acestui tip de parcurgere este, deci, că se preferă explorarea **în lățime**, a nodurilor de pe același nivel (aceeași depărtare față de sursă) în detrimentul celei **în adâncime**, a nodurilor de pe nivelul următor. 
 + 
 +=== Pași de execuție === 
 + 
 +  * colorarea nodurilor. Pe parcurs ce algoritmul avansează, se colorează nodurile în felul următor: 
 +    ***alb** - nodul este nedescoperit încă 
 +    ***gri** - nodul a fost descoperit ​și este în curs de procesare 
 +    ***negru** - procesarea nodului s-a încheiat  
 +  * păstrarea informațiilor despre ​distanța ​până la nodul sursă. 
 +    * pentru fiecare nod în ''​d[u]''​ se reține distanța până la nodul sursă (poate fi util în unele probleme)  
 +  * obținerea arborelui BFS. 
 +    * în urma aplicării algoritmului BFS se obține un arbore ​de acoperire ​(prin eliminarea muchiilor pe care nu le folosim la parcurgere). Pentru ​a putea reconstitui acest arbore, se păstrează pentru fiecare nod dat informația despre părintele său în ''​p[u]''​. 
  
 === Pseudocod === === Pseudocod ===
 +
 +Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (''​Q''​) în care inițial se află doar nodul sursă. Se vizitează pe rând vecinii acestui nod şi se pun și ei în coada. În momentul în care nu mai există vecini nevizitați,​ nodul sursă este scos din coadă.
  
 <​code>​ <​code>​
Line 117: Line 97:
 pentru fiecare nod u din V pentru fiecare nod u din V
 { {
-    ​stare[u] = nevizitat+    ​culoare[u] = alb
     d[u] = infinit     d[u] = infinit
     p[u] = null     p[u] = null
 } }
  
-// Distanța între ​sursă ​și destinație +culoare[sursa] = gri 
-distanța(sursă, destinație)+d[sursa] = 0 
 +enqueue(Q,​sursa) ​// Punem nodul sursă ​în coada Q 
 +  
 +// Algoritmul propriu-zis 
 +cât timp coada Q nu este vidă
 { {
- +    ​v = dequeue(Q) ​      ​// Extragem nodul v din coadă 
-    stare[sursă] = vizitat +    pentru fiecare u dintre vecinii lui v 
-    d[sursă] = 0 +        dacă culoare[u] == alb 
-    enqueue(Q,​sursă) ​               // Punem nodul sursă în coada Q +        { 
-  +            ​culoare[u] = gri 
-    // BFS +            p[u] = v 
-    cât timp coada Q nu este vidă +            d[u] = d[v] + 1 
-    { +            enqueue(Q,​u) // Adăugăm nodul u în coadă 
-        ​v = dequeue(Q) ​             // Extragem nodul v din coadă +        } 
-        pentru fiecare u dintre vecinii lui v +    ​culoare[v] = negru   // Am terminat de explorat toți vecinii lui v
-            dacă stare[u] == nevizitat +
-            { +
-                stare[u] = vizitat +
-                p[u] = v +
-                d[u] = d[v] + 1 +
-                enqueue(Q,​u) ​       // Adăugăm nodul u în coadă +
-            } +
-    ​} +
-    return d[destinație]            // Dacă este infinit, nu există drum+
 } }
 </​code>​ </​code>​
  
-==== Sortarea topologică ====+Dacă graful are mai multe componente conexe, algoritmul, în forma dată, va parcurge doar componenta din care face parte nodul sursă. Pe grafuri cu mai multe componente conexe se va aplica în continuare algoritmul pentru fiecare nod rămas nevizitat și astfel se vor obține mai mulți arbori, câte unul pentru fiecare componentă.  
 + 
 +=== Exemplu ​=== 
 + 
 +{{sd-ca:​laboratoare:​bf1.jpg}} 
 +  
 +{{sd-ca:​laboratoare:​bf2.jpg}} 
 + 
 +Arborele obținut în urma execuției este următorul: 
 + 
 +{{sd-ca:​laboratoare:​bf3.jpg}} 
 + 
 +==== Parcurgerea în adâncime ==== 
 + 
 +Parcurgerea în adâncime (**Depth-First Search - DFS**) presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine: 
 +  * nodul sursă 
 +  * primul vecin nevizitat al nodului sursă (îl vom numi ''​V1''​) 
 +  * primul vecin nevizitat al lui ''​V1''​ (îl vom numi ''​V2''​) 
 +  * primul vecin nevizitat al lui ''​V2''​ 
 +  * s.a.m.d. 
 +  * în momentul în care am epuizat vecinii unui nod ''​Vn'',​ continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior, ''​Vn-1'' ​
  
-Se dă un graf orientat aciclic. Orientarea muchiilor corespunde unei relații ​de ordine ​de la nodul sursă către cel destinație. O sortare topologică a unui astfel ​de graf este o ordonare liniară a vârfurilor sale astfel încât, dacă ''​(u,​v)''​ este una dintre muchiile grafului, ''​u''​ trebuie să apară înaintea lui ''​v'' ​în înșiruire. Dacă graful ar fi ciclic, nu ar putea exista o astfel de înșiruire (nu se poate stabili o ordine între nodurile care alcătuiesc un ciclu).+Așadar, spre deosebire ​de BFS, acest tip de parcurgere pune prioritate pe explorarea **în adâncime** (la distanțe tot mai mari față de nodul sursă), în detrimentul celei **în lățime** (pe același nivel). 
  
-Sortarea topologică poate fi văzută și ca plasarea nodurilor ​de-a lungul unei linii orizontale astfel încât toate muchiile ​să fie direcționate ​de la stânga la dreapta ​(să nu existe nici o muchie înapoi, spre părinte).+=== Pași de execuție === 
 + 
 +  * colorarea nodurilor. Pe parcurs ce algoritmul avansează, se colorează nodurile in felul următor: 
 +    ***alb** - nodul este nedescoperit încă 
 +    ***gri** - nodul a fost descoperit ​și este în curs de procesare 
 +    ***negru** ​- procesarea nodului ​s-a încheiat  
 +  * păstrarea informațiilor despre timp. Fiecare nod are două momente ​de timp asociate: 
 +    *''​tDesc[u]''​ - momentul descoperirii nodului ​(și a schimbării culorii din alb în gri) 
 +    *''​tFin[u]''​ - momentul în care procesarea nodului ​s-a încheiat (și culoarea acestuia s-a schimbat din gri în negru)  
 +  * obținerea arborelui DFS. 
 +    * în urma aplicării algoritmului DFS asupra fiecărei componente conexe a grafului, se obține pentru fiecare dintre acestea câte un arbore de acoperire (prin eliminarea muchiilor pe care nu le folosim la parcurgere). Pentru a putea reconstitui acest arbore, păstram pentru fiecare nod dat informația despre părintele său în ''​p[u]''​.
  
 === Pseudocod === === Pseudocod ===
Line 159: Line 164:
 pentru fiecare nod u din V pentru fiecare nod u din V
 { {
-    ​stare[u] = nevizitat+    ​culoare[u] = alb
     p[u] = NULL     p[u] = NULL
     tDesc[u] = 0     tDesc[u] = 0
Line 171: Line 176:
     contor_timp = contor_timp + 1     contor_timp = contor_timp + 1
     tDesc[nod] = contor_timp     tDesc[nod] = contor_timp
-    ​stare[nod] = vizitat +    ​culoare[nod] = gri 
-    printeaza nod+    printeaza nod;
 } }
  
-// Parcurgere în adâncime+// Algoritmul propriu-zis
 DFS(nod) DFS(nod)
 { {
-    stiva s+    stiva s;
            
-    viziteaza nod  +    viziteaza nod;  
-    s.introdu(nod)+    s.introdu(nod);
     ​     ​
     cât timp stiva s nu este goală     cât timp stiva s nu este goală
Line 191: Line 196:
         {         {
             p[v] = nodTop             p[v] = nodTop
-            viziteaza v +            viziteaza v; 
-            s.introdu(v)+            s.introdu(v);
         }  ​         }  ​
         altfel         altfel
Line 198: Line 203:
             contor_timp = contor_timp + 1             contor_timp = contor_timp + 1
             tFin[nodTop] = contor_timp             tFin[nodTop] = contor_timp
-            s.scoate(nodTop) ​  +            ​culoare[nodTop] = negru   
-        }+            ​s.scoate(nodTop);    
 +        }     ​
     }     }
 } }
- 
-// Parcurgere noduri și calculare tDesc și tFin pentru fiecare nod 
-pentru fiecare nod u din V 
-{ 
-    dacă u nu a fost vizitat 
-    { 
-         ​DFS(u) 
-    } 
-} 
- 
-// Sortare topologica 
-sortează nodurile din V descrescător în funcție de tFin[nod] 
 </​code>​ </​code>​
  
 === Exemplu === === Exemplu ===
  
-Profesorul Bumstead își sortează topologic hainele înainte de a se îmbrăca. +{{sd-ca:​laboratoare:​df1.jpg}}
-  * fiecare muchie ''​(u,​ v''​) înseamna că obiectul de îmbrăcăminte ''​u''​ trebuie îmbrăcat înaintea obiectului de îmbrăcaminte ''​v''​. Timpii de descoperire ''​(tDesc)''​ și de finalizare ''​(tFin)''​ obținuți în urma parcurgerii DFS sunt notați lângă noduri. +
-  * același graf, sortat topologic. Nodurile lui sunt aranjate de la stânga la dreapta în ordinea descrescătoare a ''​tFin''​. Observați că toate muchiile sunt orientate de la stânga la dreapta. Acum profesorul Bumstead se poate îmbrăca liniștit. ​+
  
-{{sd-ca:​laboratoare:​topologie.jpg}}+Nodul de pornire este I, iar pentru simplificare vecinii sunt aleși în ordine alfabetică. În stânga nodului este notat ''​tDesc'',​ iar în dreapta ''​tFin''​. Dacă se afișează nodurile, în urma parcurgerii se obține următorul output: **I, E, B, A, C, D, G, F, H**
  
-Așa cum se observă din imagine, sortarea topologică constă ​în sortarea nodurilor descrescător după timpii de finalizare. Demonstrația acestei afirmații se face simplu, arătând că nodul care se termină mai târziu trebuie să fie efectuat înaintea celorlalte noduri finalizate.+Arborele obținut ​în urma parcurgerii este următorul:
  
-==== Graf bipartit ====+{{sd-ca:​laboratoare:​df2.jpg}}
  
-Se numește graf bipartit un graf ''​G ​= (V, E)''​ în care mulțimea nodurilor poate fi împărțită în două mulțimi disjuncte ''​A''​ și ''​B''​ astfel încât ''​V ​= A U B''​ şi ''​E este inclus în A x B''​ (orice muchie leagă un nod din ''​A''​ cu un nod din ''​B''​). Dacă un graf conține noduri izolate, acesta nu este bipartit.+==== Complexitate ====
  
-=== Algoritm ===+Pentru ambele tipuri de parcurgeri, complexitatea este ''​O(|E|+|V|)''​ - unde ''​|E|''​ este numărul de muchii, iar ''​|V|''​ este numărul de noduri.
  
-  ​* Pentru a determina dacă un graf este bipartit sau nu, una din metode constă în efectuarea de parcurgeri ''​BFS''​ și atribuirea de etichete nodurilor conform cu paritatea nivelului acestora în parcurgere (''​A''​ pentru nodurile de pe nivel par, ''​B''​ pentru nodurile de pe nivel impar).  +**Explicație**: în cazul cel mai defavorabil, vor fi explorate toate muchiile ​și toate nodurile ​(când graful este liniarizat).
-  ​* Atunci când se adaugă vecinii nevizitați ai unui nod în coadă, se vor verifica de asemenea etichetele vecinilor deja vizitați: dacă se descoperă că unul din aceștia are aceeași etichetă ca cea atribuită nodului curent, graful are o muchie între noduri de pe același nivel și deci nu poate fi bipartit.  +
-  * În caz contrar ​(s-a realizat parcurgerea ''​BFS''​ fără a apărea această situație), ​graful este bipartit și nodurile sunt etichetate cu mulțimea din care fac parte.+
  
-=== Pseudocod ===+<note important>​ 
 +De remarcat faptul că, pentru ambele tipuri de parcurgeri, complexitatea este cea menționată ''​O(|E|+|V|)''​ **numai în cazul în care grafurile sunt reținute ca liste de adiacență**. În acest caz, lista corespunzătoare nodului x reține numai vecinii nodului x.  
 +În cazul matricei de adiacență,​ pentru a parcurge vecinii unui nod x, trebuie să parcurgem toate nodurile. Această limitare duce la o complexitate de ''​O(|V|^2)''​ 
 +</​note>​
  
-<​code>​ +===== Algoritmul Floyd-Warshall ===== 
-cât timp încă sunt noduri nevizitate +Algoritmul Floyd-Warshall ​este un algoritm folosit pentru căutarea celor mai scurte căi într-un graf orientat ce are cost pe fiecare ​muchie ​(costul poate fi pozitiv sau negativ, dar nu pot exista cicli negativi). 
-{ +Algortimul compară toate căile posibile ​din graf între ​toate perechile de noduri.
-    n = primul nod nevizitat. +
-     +
-    dacă n este izolat  +
-    { +
-        return false +
-    } +
-     +
-    nivel[n] ​= par +
-    enqueue(Q, n)  // Punem nodul sursă în coada Q +
- +
-    // BFS +
-    cât timp coada Q nu este vidă +
-    { +
-        v = dequeue(Q) ​          // Extragem nodul v din coadă +
-        pentru fiecare u dintre vecinii lui v +
-        dacă nivel[u] nedefinit +
-        { +
-            nivel[u] ​= (nivel[v] ​== par) ? impar : par +
-            enqueue(Q, u)    // Adăugăm nodul u în coadă +
-        } +
-        altfel dacă nivel[u] ​== nivel[v] +
-        { +
-            // Două noduri consecutive au acelaşi nivel +
-            // Graful nu este bipartit +
-            return false +
-        } +
-    } +
-} +
- +
-// S-a terminat parcurgerea BFS fără să apară două noduri consecutive pe acelaşi nivel +
-// Graful este bipartit +
-return true +
-</​code>​ +
- +
-=== Exemplu === +
- +
-{{sd-ca:​laboratoare:​bipartit.jpg}} +
- +
-==== Ciclu hamiltonian ==== +
- +
-Un lanţ hamiltonian ​într-un graf orientat ​sau neorientat ''​G = (V, E)'',​ este o cale ce trece prin fiecare ​nod din ''​V''​ o singură dată. Dacă nodul de început şi cel de sfârşit coincid ​(este vizitat de două ori) vom spune că lanţul formează un **ciclu hamiltonian**. +
- +
-Un graf ce conţine un ciclu hamiltonian se numeşte graf hamiltonian. +
- +
-=== Algoritm === +
- +
-În cadrul acestui laborator, vom folosi metoda backtracking pentru găsirea unui ciclu hamiltonian. Pentru contruirea soluţiei, se menţine o listă în care sunt adăugate nodurile parcurse: +
- +
-  * La fiecare pas, vom adăuga unul dintre nodurile care nu se află deja in listă +
-  * Se construieşte recursiv lanţul de lungime_lanţ + 1 +
-  * Dacă dimensiunea listei este ''​n''​ (numărul de noduri ​din graf), se verifică dacă primul şi ultimul nod din listă sunt adiacente. În caz contrar, s-a găsit un lanţ hamiltonian,​ dar nu şi un ciclu hamiltonian. +
-  * Pentru a afla toate ciclurile hamiltoniene,​ la revenirea cu succes din apelul recursiv nu se iese din funcţie la găsirea primei potriviri, ci se încearcă în continuare alte posibilităţi.+
  
 === Pseudocod === === Pseudocod ===
- 
 <​code>​ <​code>​
-// Inițializări 
-număr_noduri = număr de noduri din V 
  
-// Verifica dacă un nod este nou în lanţ +dist[V][V]  ​  // Matricea de distanțe minime, inițializate cu INFINIT 
-nouÎnLanţ(nod, lanţ) +pentru fiecare ​nod v 
-{ +  dist[v][v] = 0
-    return !lanţ.conţine(nod) +
-}+
  
-// Construieste lanţul hamiltonian +pentru fiecare pereche de noduri ​(u, v) 
-construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ) +  dist[u][v] = cost(u, v)
-{ +
-    dacă lungime_lanţ == număr_noduri +
-    { +
-        început = lanţ[0] +
-        sfârşit ​= ultimul element din lanţ+
  
-        // Există muchie ​între ​cele 2 noduri +pentru k între ​0 și |V| – 1 
-        dacă muchie(început,​ sfârşit) +  pentru ​i între 0 și |V| – 1 
-        { +  ​   pentru j între 0 și |V| – 1 
-            // Lanţul este ciclu +  ​      dacă (dist[i][k] ​+ dist[k][j]) < dist[i][j] ​ 
-            afişează ciclul +          ​dist[i][j] ​= dist[i][k] + dist[k][j]
-            return true +
-        } +
-    } +
-    altfel +
-    { +
-        ​pentru ​orice nod u din V +
-        { +
-            sfârşit = ultimul element din lanţ +
-            dacă muchie(u, sfârşit) şi nouÎnLanţ(u,​ lanţ) +
-            { +
-                addLast(lanţ,​ u)    // Adaugă u la lanţ +
-                 +
-                construireLanţ(lanţ,​ lungime_lanţ + 1) +
- +
-                // Pentru afişarea unui singur ciclu hamiltonian linia anterioară este inlocuită cu: +
-                // ​dacă construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ ​+ 1) == true +
-                // ​      ​return true +
-                 +
-                removeLast(lanţ,​ u) // Backtrack +
-            } +
-        } +
-    } +
-    return false +
-} +
- +
-// Apelează construirea ciclurilor hamiltoniene +
-cicluriHamiltoniene +
-{ +
-    // Din moment ce ar trebui să formeze un ciclu, lanţul poate incepe cu orice nod +
-    sursă ​= alegem un nod aleator din V +
-    addLast(lanţ,​ sursă) +
-    construireLanţ(lanţ,​ 1) +
-}+
 </​code>​ </​code>​
  
- 
-=== Exemplu === 
- 
-{{sd-ca:​laboratoare:​hamilton.png}} 
  
 ===== Schelet ===== ===== Schelet =====
Line 363: Line 257:
 Daca folositi **Github Classroom**,​ va rugam sa va actualizati scheletul cu cel de mai jos. Cel din repo-ul clonat initial nu este la cea mai recenta versiune. Daca folositi **Github Classroom**,​ va rugam sa va actualizati scheletul cu cel de mai jos. Cel din repo-ul clonat initial nu este la cea mai recenta versiune.
 </​note>​ </​note>​
- +{{:​sd-ca:​laboratoare:​lab6_skel_v2.zip|Scheletul de laborator}} 
-{{:​sd-ca:​laboratoare:​lab07_2023_v2.zip|Scheletul de laborator}} +===== Exerciţii =====
- +
-===== Exerciții =====+
  
 <​note>​ <​note>​
-Trebuie să vă creați cont de [[https://​lambdachecker.io | Lambda Checker]], dacă nu v-ați creat deja, pe care îl veți folosi la SD pe toată durata semestrului. Aveti grija sa selectati contestul corect la submit, si anume **[[https://​beta.lambdachecker.io/​contest/​34 |SD-CA-LAB-07 Grafuri (Advanced) ​]]**+Trebuie să vă creați cont de [[https://​lambdachecker.io | Devmind]], dacă nu v-ați creat deja, pe care îl veți folosi la SD pe toată durata semestrului. Aveti grija sa selectati contestul corect la submit, si anume **[[https://​beta.lambdachecker.io/​contest/​72/​problems?​page=1 ​|SDA-Lab-10]]**
 </​note>​ </​note>​
  
-1) [**3.5p**] ​O problema ​**aleasa de catre asistent** din cele mentionate mai sus care sunt prezente ​pe LambdaChecker (componente conexe, sortare topologica, drum minim, bipartit)+1) [**2.5p**] ​Implementați,​ plecând de la scheletul de cod, graful reprezentat prin matrice de adiacență (**Graph implementation using list** pe Devmind).
  
 +2) [**2.5p**] Implementați,​ plecând de la scheletul de cod, graful reprezentat prin liste de adiacență (**Graph implementation using matrix** pe Devmind).
  
-2) [**3.5p**] O problema ​**aleasa de catre student**, diferita de cea de la 1), din cele mentionate mai sus care sunt prezente ​pe LambdaChecker (componente conexe, sortare topologica, drum minim, bipartit)+3) [**1p**] Implementați parcurgerea in adâncime (DFS) a unui graf implementat cu matrice de adiacență (**DFS** pe Devmind).
  
-3) [**2p bonus - max 12p**] Implementati ​**[[https://​beta.lambdachecker.io/​problem/​102/​34 |Courses II ]]** pe LambdaChecker.+4) [**1p**] Implementați parcurgerea in lățime (BFS) a unui graf implementat cu listă de adiacență (**BFS** pe Devmind).
  
-4) [**1p bonus - max 12p**] Veti primi 1p bonus pentru fiecare problema rezolvata in plus pe LambdaChecker,​ sau pe care o trimiteti asistentului din lista de bonusuri: [[https://​infoarena.ro/​problema/​muzeu |Muzeu ]], [[https://​leetcode.com/​problems/​number-of-islands/​ |Insule ]]+5) [**2p - bonus**] ​Implementați algoritmul Floyd-Warshall ​pe un graf reprezentat printr-o matrice ​de adiacență. 
 +===== Interviu =====
  
 +Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship,​ part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.
  
-===== Bibliografie =====+Cum multe din companiile mari folosesc date stocate sub formă de grafuri (Facebook Open Graph, Google Social Graph şi Page Rank, etc.) la angajare vor dori să vadă ca ştiţi grafuri: ​
  
-    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Connected_component_(graph_theory) | Componente conexe ]] +  * cum se reprezintă grafurile 
-    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Shortest_path | Distanţa minimă ]] +  * cum funcţionează şi cum se implementează parcurgerile ​(BFS, DFS) 
-    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Topological_sorting | Sortare topologică ]] + 
-    - [[https://en.wikipedia.org/wiki/​Bipartite_graph | Graf bipartit ]] +Puteţi căuta mai multe întrebări pe https://leetcode.com/, http://www.careercup.com/ şi http://www.glassdoor.com/ 
-    - [[https://​en.wikipedia.org/​wiki/​Hamiltonian_path | Lanţ hamiltonian si ciclu hamiltonian ]] + 
-    - [[http://en.wikipedia.org/wiki/​Dijkstra%27s_algorithm | Dijkstra ]] +===== Bibliografie =====
-    - [[http://en.wikipedia.org/wiki/​Bellman-ford | Bellman-Ford ]] +
-    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm | Floyd-Warshall ]] +
-    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​A*_search_algorithm | A* ]]+
  
 +    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Breadth-first_search | BFS]]
 +    - [[http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Depth-first_search | DFS ]]
 +    - [[https://​en.wikipedia.org/​wiki/​Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm | Algoritmul Floyd-Warshall ]]

Laboratoare

Laboratoare din anii trecuti

Teme

Temele vor fi comune la toate seriile, urmariti meta-cursul SDA CA+CB+CC+CD

Resurse

sd-ca/laboratoare/lab-07.1713124623.txt.gz · Last modified: 2024/04/14 22:57 by melih.riza
Show pageOld revisions
Media ManagerBack to top
CC Attribution-Share Alike 3.0 Unported
www.chimeric.de Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0