Responsabili
În urma parcurgerii acestui laborator, studentul va fi capabil să:
Un graf este o pereche de mulţimi G = (V, E)
. Mulțimea V
conține nodurile grafului (vertices), iar mulțimea E
conține muchiile sale (edges), fiecare muchie stabilind o relație de vecinătate între două noduri. Mulţimea E
este inclusă în mulţimea VxV
.
Dacă pentru orice element al mulţimii E
, e = (u, v)
, elementul e' = (v, u)
aparţine de asemenea mulţimii E
, atunci spunem că graful este neorientat. În caz contrar, graful este orientat. În cazul grafului orientat, muchiile se mai numesc şi arce.
În funcţie de problemă şi de tipul grafurilor, avem 2 reprezentări: liste de adiacenţă sau matrice de adiacenţă.
Reprezentarea prin liste de adiacenţă constă într-un tablou Adj
cu |V|
liste, una pentru fiecare vârf din V
. Pentru fiecare u
din V
, lista de adiacenţă Adj[u]
conţine referinţe către toate vârfurile v
pentru care există muchia (u, v)
în E
. Cu alte cuvinte, Adj[u]
este formată din totalitatea vârfurilor adiacente lui u
în G
.
Această reprezentare este preferată pentru grafurile rare ( |E|
este mult mai mic decât |V|x|V|
).
Pentru graful de mai sus, lista de adiacenţă este următoarea:
Reprezentarea prin matrice de adiacenţă a unui graf constă într-o matrice A[i][j]
de dimensiune |V|x|V|
astfel încât:
A[i][j] = 1
, dacă muchia (i,j)
aparţine lui E
A[i][j] = 0
, în caz contrar.
Această reprezentare este preferată pentru grafurile dense ( |E|
este aproximativ egal cu |V|x|V|
).
Pentru graful de mai sus, matricea de adiacenţă este următoarea:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
3 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
4 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Parcurgerea în lățime (Breadth-first Search - BFS) presupune vizitarea nodurilor în următoarea ordine:
Caracteristica esențială a acestui tip de parcurgere este, deci, că se preferă explorarea în lățime, a nodurilor de pe același nivel (aceeași depărtare față de sursă) în detrimentul celei în adâncime, a nodurilor de pe nivelul următor.
d[u]
se reține distanța până la nodul sursă (poate fi util în unele probleme) p[u]
.
Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (Q
) în care inițial se află doar nodul sursă. Se vizitează pe rând vecinii acestui nod şi se pun și ei în coada. În momentul în care nu mai există vecini nevizitați, nodul sursă este scos din coadă.
// Inițializări pentru fiecare nod u din V { culoare[u] = alb d[u] = infinit p[u] = null } culoare[sursa] = gri d[sursa] = 0 enqueue(Q,sursa) // Punem nodul sursă în coada Q // Algoritmul propriu-zis cât timp coada Q nu este vidă { v = dequeue(Q) // Extragem nodul v din coadă pentru fiecare u dintre vecinii lui v dacă culoare[u] == alb { culoare[u] = gri p[u] = v d[u] = d[v] + 1 enqueue(Q,u) // Adăugăm nodul u în coadă } culoare[v] = negru // Am terminat de explorat toți vecinii lui v }
Dacă graful are mai multe componente conexe, algoritmul, în forma dată, va parcurge doar componenta din care face parte nodul sursă. Pe grafuri cu mai multe componente conexe se va aplica în continuare algoritmul pentru fiecare nod rămas nevizitat și astfel se vor obține mai mulți arbori, câte unul pentru fiecare componentă.
Parcurgerea în adâncime (Depth-First Search - DFS) presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine:
V1
)V1
(îl vom numi V2
)V2
Vn
, continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior, Vn-1
Așadar, spre deosebire de BFS, acest tip de parcurgere pune prioritate pe explorarea în adâncime (la distanțe tot mai mari față de nodul sursă), în detrimentul celei în lățime (pe același nivel).
tDesc[u]
- momentul descoperirii nodului (și a schimbării culorii din alb în gri)tFin[u]
- momentul în care procesarea nodului s-a încheiat (și culoarea acestuia s-a schimbat din gri în negru) p[u]
.// Inițializări pentru fiecare nod u din V { culoare[u] = alb p[u] = NULL tDesc[u] = 0 tFin[u] = 0 } contor_timp = 0 // Funcţie de vizitare a nodului vizitare(nod) { contor_timp = contor_timp + 1 tDesc[nod] = contor_timp culoare[nod] = gri printeaza nod; } // Algoritmul propriu-zis DFS(nod) { stiva s; viziteaza nod; s.introdu(nod); cât timp stiva s nu este goală { nodTop = nodul din vârful stivei vecin = află primul vecin nevizitat al lui nodTop. dacă vecin există { p[v] = nodTop viziteaza v; s.introdu(v); } altfel { contor_timp = contor_timp + 1 tFin[nodTop] = contor_timp culoare[nodTop] = negru s.scoate(nodTop); } } }
Nodul de pornire este I, iar pentru simplificare vecinii sunt aleși în ordine alfabetică. În stânga nodului este notat tDesc
, iar în dreapta tFin
. Dacă se afișează nodurile, în urma parcurgerii se obține următorul output: I, E, B, A, C, D, G, F, H
Arborele obținut în urma parcurgerii este următorul:
Pentru ambele tipuri de parcurgeri, complexitatea este O(|E|+|V|)
- unde |E|
este numărul de muchii, iar |V|
este numărul de noduri.
Explicație: în cazul cel mai defavorabil, vor fi explorate toate muchiile și toate nodurile (când graful este liniarizat).
O(|E|+|V|)
numai în cazul în care grafurile sunt reținute ca liste de adiacență. În acest caz, lista corespunzătoare nodului x reține numai vecinii nodului x.
În cazul matricei de adiacență, pentru a parcurge vecinii unui nod x, trebuie să parcurgem toate nodurile. Această limitare duce la o complexitate de O(|V|^2)
1) [2p] Implementaţi clasa Graf pentru un graf neorientat, plecând de la antetul definit anterior.
2) [4p] Implementaţi parcurgerea BFS, urmărind paşii descrişi în secţiunea Parcurgerea în lăţime.
3) [4p] Implementaţi parcurgerea DFS, urmărind paşii descrişi în secţiunea Parcurgerea în adâncime.
4) [2p] Implementați parcurgerea DFS, în variantă recursivă.
5) [2p] Implementați, la alegere:
Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship, part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.
Cum multe din companiile mari folosesc date stocate sub formă de grafuri (Facebook Open Graph, Google Social Graph şi Page Rank, etc.) la angajare vor dori să vadă ca ştiţi grafuri:
Puteţi căuta mai multe întrebări pe http://www.careercup.com/ şi pe http://www.glassdoor.com/