Responsabili:

• Gabriel Bercaru
• Alexandru-Mihai Stroie
• Cosmin Petrișor

În urma parcurgerii acestui laborator studentul va fi capabil să:

• înțeleagă principiul de funcționare al structurilor de date stivă şi coadă
• implementeze o stivă şi o coadă folosind un vector pentru stocarea elementelor
• transforme o expresie din forma infixată în formă postfixată
• să evalueze o expresie în formă postfixată
• implementeze algoritmul de sortare Radix Sort

O stivă este o instanță a unui tip de date abstract ce formalizează conceptul de colecţie cu acces restricționat. Restricția respectă regula LIFO (Last In, First Out).

Accesul la elementele stivei se face doar prin vârful acesteia.

Operații:

• void push(E element) – adaugă un element (entitate) în stivă. Adăugarea se poate face doar la vârful stivei.
• E pop() – șterge un element din stivă și îl returnează. Ștergerea se poate face doar la vârful stivei.
• E peek() – consultă (întoarce) elementul din vârful stivei fără a efectua nicio modificare asupra acesteia.
• bool isEmpty() – întoarce 1 dacă stiva este goală; 0 dacă are cel puțin un element

O structură de date definește un set de operații și funcționalitatea acestora.
Implementarea efectivă a unei structuri de date poate fi realizată în diverse moduri, cât timp funcționalitatea este păstrată.

O stivă poate fi implementată cu ajutorul unui vector sau cu liste înlănțuite.

În cadrul acestui laborator, ne vom concentra asupra implementării unei stive cu ajutorul unui vector de stocare.

La nivel de implementare, stiva este reprezentată printr-o clasă ce folosește (pe lângă operațiile ce pot fi efectuate asupra ei) un vector de stocare (stackArray) de o dimensiune maximă dată (NMAX) și un indice ce indică vârful stivei(topLevel).

Stack.h

#ifndef __STACK__H__
#define __STACK__H__
 
// Primul argument al template-ului este tipul de date T
// Al doilea argument este dimensiunea maxima a stivei N
template<typename T, int N>
class Stack {
private:
    // Vectorul de stocare
    T stackArray[N];
 
    // Pozitia in vector a varfului stivei
    int topLevel;
 
public:
    // Constructor
    Stack() {
        // TODO: initializari
    }
 
    // Destructor
    ~Stack() {
        // TODO: eliberare resurse, daca este cazul
    }
 
    // Operator de adaugare
    void push(T x) {
        // TODO: verificari, implementare
    }
 
    // Operatorul de stergere
    void pop() {
        // TODO: verificari, implementare
    }
 
    // Operatorul de consultare
    T peek() {
        // TODO: verificari, implementare
    }
 
    // Operatorul de verificare dimensiune
    bool isEmpty() {
        // TODO: implementare
    }
};
 
#endif //__STACK__H__

Forma poloneză inversă este o notație matematică în care fiecare operator urmează dupa toți operanzii săi.

Cel mai simplu exemplu de notație postfixată este cel pentru doi operanzi și un operator:

În cazul în care există mai multe operații, operatorul apare imediat după cel de-al doilea operand:

Avantajul major al formei poloneze inverse este faptul că elimină parantezele din cadrul expresilor:

1. cât timp există elemente de citit
    1.1 citește un element
    1.2 dacă elementul este un număr, afișare (se adaugă la forma 
        postfixată)
    1.3 dacă elementul este o paranteză stângă, adaugă-l în stivă
    1.4 dacă elementul este o paranteză dreaptă, extrage operatorii din
        stivă și adaugă-i la forma postfixată până când vârful stivei
        ajunge o paranteză stângă (care este extrasă, dar nu este 
        adăugată la forma postfixată).

    !!! dacă stiva s-a golit fără să fie găsită o paranteză stângă, 
        înseamnă că expresia inițială avea paranteze greșite
    1.5 dacă elementul este un operator (fie el O1)
        1.5.1 cât timp există un alt operator în vârful stivei (fie el O2)
	      ȘI precedența lui O1 este MAI MICA SAU EGALA decât cea a lui O2, extrage O2
	      din stivă, afișare (se adaugă la forma postfixată)
        1.5.2 adaugă O1 în stivă
2. când nu mai există elemente de citit, extrage toate elementele rămase
   în stivă și adaugă-le la forma postfixată (elementele trebuie să fie 
   numai operatori; dacă este extrasă o paranteză stângă expresia inițială
   avea parantezele greșite).

Fie expresia:

1 - 7 * 2 /(3 + 5)^2^5

1. cât timp există elemente de citit
    1.1 citește un element
    1.2 dacă elementul este o valoare
            1.2.1 pune elementul în stivă
        altfel (elementul este un operator)
            1.2.2 extrage 2 operanzi din stivă
            1.2.3 dacă nu există 2 operanzi în stivă
                EROARE: forma postfixată nu este corectă
            1.2.4 evaluează rezultatul aplicării operatorului asupra celor doi
                  operanzi
            1.2.5 pune rezultatul în stivă
2. dacă există o singură valoare în stivă
        2.1 afișează valoarea ca rezultat final al evaluării expresiei
    altfel
        EROARE: forma postfixată nu este corectă

O coadă este o structură de date organizată după modelul FIFO (First In, First Out): primul element introdus va fi primul eliminat din buffer.

Metode generale disponibile pentru o clasă Queue:

• void enqueue(E element) – adaugă elementul ”element” la sfârșitul cozii. Adăugarea se face doar la sfârșitul cozii.
• E dequeue() – șterge un element din coadă și îl returnează. Ștergerea se poate face doar la începutul cozii.
• E peek() – întoarce primul element din coada fără a-l scoate din aceasta.
• bool isEmpty() – întoarce true dacă coada este goală; false dacă are cel puțin un element

O coadă se poate poate implementa folosind pe post de container lista înlănțuită, array de dimensiune fixă, array circular.

• void enqueue(E element) - echivalent cu operația de addLast() efectuată pe listă. Complexitate: timp constant - O(1)
• E dequeue() echivalent cu operația de removeFirst(). Complexitate: timp constant - O(1)
• E peek() presupune returnarea valorii stocate in `head`-ul listei. Complexitate: timp constant - O(1)
• bool isEmpty() - la fel ca în cazul listei. Complexitate: timp constant - O(1)

Vom avea doi indici (head și tail) ce vor reprezenta începutul, respectiv sfârșitul cozii în cadrul vectorului. Apare însă următoarea problemă din punctul de vedere al spațiului neutilizat: întotdeauna spațiul de la 0 la head-1 va fi nefolosit, iar numărul de elemente ce pot fi stocate în coadă va scădea (având inițial N elemente ce pot fi stocate, după ce se extrage prima oară un element, mai pot fi stocate doar N-1 elemente). Vrem ca întotdeauna să putem stoca maxim N elemente.

Soluția: vector circular.

• void enqueue(E element) - presupune adăugarea noului element la sfârșitul vectorului. Se verifică în prealabil dacă dimensiunea vectorului mai permite adăugarea unui element. Se incrementează tail. Complexitate: O(1)
• E dequeue() - “șterge” și întoarce primul element din vector. Se incrementează head. Complexitate: O(1)
• E peek() - întoarce primul element din vector. Complexitate: O(1)
• bool isEmpty() - true dacă vectorul nu conține niciun element, false în caz contrar. Complexitate: O(1)

La nivel de implementare, coada este reprezentată printr-o clasă template ce folosește (pe lângă operațiile ce pot fi efectuate asupra ei) un vector de stocare (queueArray) de o dimensiune maximă specificată ca al doilea argument al template-ului (N), doi indici ce indică începutul (head) şi sfârşitul cozii (tail). De asemenea, se reţine şi dimensiunea curentă a cozii (size) pentru a putea spune când aceasta este plină sau vidă.

• void enqueue(E element) - adaugă noul element la sfârșitul vectorului. Se incrementează modulo (dimensiune container) indicele tail. Complexitate: O(1)
• E dequeue() - șterge și întoarce primul element din vector. Se incrementează modulo (dimensiune container) indicele head. Complexitate: O(1)
• E peek() - întoarce primul element din vector. Complexitate: O(1)
• bool isEmpty() - la fel ca în celelalte cazuri. Complexitate: O(1)
• bool isFull() - se verifică dacă următorul index după tail (circular) este egal cu head. Dacă da, returnează true, returnează false în caz contrar. Complexitate: O(1)

Queue.h

template <typename T, int N>
class Queue {
private:
    int head;
    int tail;
    int size;
    T queueArray[N];
 
public:
    // Constructor
    Queue() {
        // TODO
    }
 
    // Destructor
    ~Queue() {
        // TODO
    }
 
    // Adauga in coada
    void enqueue(T e) {
        // TODO
    }
 
    // Extrage din coada
    void dequeue() {
        // TODO
    }
 
    // Afla primul element
    T front() {
        // TODO
    }
 
    bool isEmpty() {
        // TODO
    }
};

Într-o coadă obișnuită accesul la elemente este de tip FIFO - elementele sunt introduse pe la un capăt și scoase la celălalt capăt. În cazul unei Dequeue, se permit ambele operații, la ambele capete. Astfel, în capătul head se pot atât introduce, cât și extrage elemente. La fel și în cazul capătului tail. Se observă că cele două structuri prezentate în acest laborator (stiva și coada) sunt particularizări ale structurii de date Dequeue. Dintre cele 4 operații de adaugare/ștergere puse la dispoziție de o dequeue, atât stiva cât și coada folosesc doar 2 (addFront() și removeFront() în cazul stivei, respectiv addRear() și removeFront() în cazul cozii).

Este o coadă în care un dequeue() / peek() va întoarce primul element din acea coadă în funcție de un anumit criteriu. Exemplu: pentru o coadă cu priorități care organizează elementele în funcție de valoarea maximă, un peek() va întoarce valoarea maximă stocată. Similar, în cazul unei cozi cu priorități de minim, peek() va întoarce valoarea minimă stocată.

Radix Sort este un algoritm de sortare care ţine cont de cifre individuale ale elementelor sortate. Aceste elemente pot fi nu doar numere, ci orice altceva ce se poate reprezenta prin întregi. Majoritatea calculatoarelor digitale reprezintă datele în memorie sub formă de numere binare, astfel că procesarea cifrelor din această reprezentare se dovedeşte a fi cea mai convenabilă. Există două tipuri de astfel de sortare: LSD (least significant digit) şi MSD (most significant digit). LSD procesează reprezentările dinspre cea mai puţin semnificativă cifră spre cea mai semnificativă, iar MSD invers.

O versiune simplă a radix sort este cea care foloseşte 10 cozi (câte una pentru fiecare cifră de la 0 la 9). Aceste cozi vor reţine la fiecare pas numerele care au cifra corespunzătoare rangului curent. După această împărţire, elementele se scot din cozi în ordinea crescătoare a indicelui cozii (de la 0 la 9), şi se reţin într-un vector (care devine noua secvenţă de sortat). Exemplu:

Secvenţa iniţială:

170, 45, 75, 90, 2, 24, 802, 66

Numere sunt introduse în 10 cozi (într-un vector de 10 cozi), în funcţie de cifrele de la dreapta la stânga fiecărui număr.

Cozile pentru prima iteraţie vor fi:

  * 0: 170, 090 
  * 1: nimic 
  * 2: 002, 802 
  * 3: nimic 
  * 4: 024 
  * 5: 045, 075 
  * 6: 066 
  * 7 - 9: nimic 

a. Se face dequeue pe toate cozile, în ordinea crescătoare a indexului cozii, şi se pun numerele într-un vector, în ordinea astfel obţinută:

Noua secvenţă de sortat:

170, 090, 002, 802, 024, 045, 075, 066

b. A doua iteraţie:

Cozi:

  * 0: 002, 802 
  * 1: nimic 
  * 2: 024 
  * 3: nimic
  * 4: 045 
  * 5: nimic
  * 6: 066 
  * 7: 170, 075 
  * 8: nimic 
  * 9: 090 

Noua secvenţă:

002, 802, 024, 045, 066, 170, 075, 090

c. A treia iteraţie:

Cozi:

  * 0: 002, 024, 045, 066, 075, 090 
  * 1: 170 
  * 2 - 7: nimic
  * 8: 802 
  * 9: nimic

Noua secvenţă:

002, 024, 045, 066, 075, 090, 170, 802 (sortată)

Schelet

1) [3p] Implementare stivă.

2) [3p] Implementare coadă.

3) [2p] Determinați dacă un șir format din caracterele (, [, {, ), ], } este corect parantezat.

4) [2p] Implementaţi Radix Sort (sortare crescătoare).

5) [2p] Implementaţi problema Turnurilor din Hanoi folosind explicit stive. Jocul este format din trei tije și un număr variabil de discuri, de diferite mărimi, care pot fi poziționate pe oricare din cele trei tije. Jocul începe având discurile așezate în stivă pe prima tijă, în ordinea mărimii lor, astfel încât să formeze un turn. Scopul jocului este acela de a muta întreaga stivă de pe o tijă pe alta, respectând următoarele reguli:

• doar un singur disc poate fi mutat, la un moment dat.
• fiecare mutare constă în luarea celui mai de sus disc de pe o tija și glisarea lui pe o altă tijă, chiar și deasupra altor discuri care sunt deja prezente pe acea tijă.
• un disc mai mare nu poate fi poziționat deasupra unui disc mai mic.

6) [2p] Realizaţi conversia unui număr din baza 10 în baza 2, folosind stive.

7) [2p] Verificaţi dacă un număr este palindrom folosind un deque.

8) [2p] Implementaţi găsirea celui mai dens interval de puncte unidimensionale.

9) [2p] Inversaţi ordinea elementelor într-o coadă. Exemplu: dacă în coadă se află iniţial elementele [4 7 10], după inversare, coada va conţine [10 7 4].

10) [2p] Evaluare expresie aritmetică.

11) [2p] Primul caracter care nu se repetă într-un stream de caractere.

12) [2p] Implementaţi o coadă folosind două stive.

Observaţie Puteţi aborda problema în două feluri:

• unul în care metoda enqueue este mai costisitoare
• unul în care metoda dequeue este mai costisitoare

13) [2p] Implementaţi o stivă folosind două cozi.

Observaţie: Puteţi aborda problema în două feluri:

• unul în care metoda push este mai costisitoare
• unul în care metoda pop este mai costisitoare

Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship, part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.

1. Implementați, folosind un singur vector, 3 stive
2. Scrieți un program cu ajutorul căruia să sortați o stivă. Nu aveți acces decât la operațiile push(), pop(), top() și isEmpty()
3. Adăugaţi structurii de stivă o nouă funcţie numită min, funcţie care returnează cel mai mic element. Push, pop şi min trebuie să aibă complexitate O(1)
4. Descrieți cum este folosită stiva sistemului în cazul transmiterii parametrilor apelului unei funcții
5. Implementaţi operaţiile elementare ale unei stive folosind două cozi . Problema admite două versiuni: una în care operaţia pop este eficientă, iar cealaltă în care operaţia push este eficientă.
6. Implementaţi operaţiile elementare ale unei cozi folosind două stive.
7. Presupunând că avem o coadă ce conţine un număr mare de elemente, coada neputând fi ţinută în memorie. Prezentaţi o modalitate de a implementa operaţiile enqueue şi dequeue.
8. Să se implementeze o coadă ce are şi operaţia findmax, pe lângă operaţiile enqueue şi dequeue. Findmax trebuie să returneze cea mai mare valoare aflată în coadă la momentul respectiv. Oferiţi o implementare eficientă.
9. Cum s-ar implementa o stivă folosind o coadă de priorităţi?
10. De câte cozi este nevoie ca să se poată implementa o coadă de priorităţi?

1. C++ Reference
2. Array Stack Visualization
3. Linked List Stack Visualziation
4. Array Queue Visualization
5. Linked List Queue Visualization
6. Queue STL Implementation
7. Priority Queue STL Implementation
8. CLRS - Introduction to Algorithms, 3rd edition, capitol 10.1 - Stacks and queues