Show page

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- pa:laboratoare:laborator-02 [2026/03/09 23:39]
radu.nichita [Exerciții]
+++ pa:laboratoare:laborator-02 [2026/03/15 19:10] (current)
aureliu.antonie [Gardurile lui Gigel]
@@ Line 7: / Line 7: @@
 ===== Precizări inițiale =====
 <note>
-Toate exemplele de cod se găsesc pe pagina [[https://github.com/acs-pa/pa-lab/tree/main/demo/lab04|pa-lab::demo/lab04]].
+Toate exemplele de cod se găsesc pe pagina [[https://github.com/acs-pa/pa-lab/tree/main/algorithms/lab02|pa-lab/algorithms/lab02]].
-Exemplele de cod apar încorporate și în textul laboratorului pentru a facilita parcurgerea cursivă a acestuia. **ATENȚIE!** Varianta actualizată a acestor exemple se găsește întotdeauna pe GitHub.
+Exemplele de cod apar încorporate și în textul laboratorului pentru a facilita parcurgerea cursivă a acestuia. ATENȚIE! Varianta actualizată a acestor exemple se găsește întotdeauna pe GitHub.
 </note>
-  * Toate bucățile de cod prezentate în partea introductivă a laboratorului (înainte de exerciții) au fost testate. Cu toate acestea, este posibil ca, din cauza mai multor factori (formatare, caractere invizibile puse de browser, etc.), un simplu copy-paste să nu fie de ajuns pentru a compila codul.
+  * Toate bucățile de cod prezentate în partea introductivă a laboratorului (înainte de exerciții) au fost testate. Cu toate acestea, este posibil ca din cauza mai multor factori (formatare, caractere invizibile puse de browser etc) un simplu copy-paste să nu fie de ajuns pentru a compila codul.
   * Vă rugăm să compilați **DOAR** codul de pe GitHub. Pentru raportarea problemelor, contactați unul dintre maintaineri.
   * Pentru orice problemă legată de conținutul acestei pagini, vă rugam să dați e-mail unuia dintre responsabili.
@@ Line 23: / Line 23: @@
 De asemenea, DP se poate folosi și pentru probleme în care nu căutam un optim, cum ar fi **problemele de numărare**.
-Pentru noțiunile prezentate până acum despre DP, vă rugăm să consultați pagina laboratorului 3.
+Pentru noțiunile prezentate până acum despre DP, vă rugăm să consultați pagina [[pa:laboratoare:laborator-01|laboratorului 01]].
 ===== Exemple clasice =====
@@ Line 61: / Line 61: @@
 == Enunț ==
-Fie un produs matriceal $M = M_1 M_2 ... M_n$. Putem pune paranteze în mai multe moduri și vom obține același rezultat (înmulțire asociativă), dar este posibil să obținem un număr diferit de **înmulțiri scalare**.
+Fie un produs matriceal $M = M_1 M_2 ... M_n$. Putem pune paranteze în mai multe moduri și vom obține același rezultat (înmulțirea este asociativă), dar este posibil să obținem un număr diferit de **înmulțiri scalare**.
 Matricea $M_i$ are (prin convenție), dimensiunile $d_{i-1} d_{i}$.
@@ Line 359: / Line 359: @@
     * $dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-4]) \ \% \  MOD$
     *
-<note> Așa cum am zis în secțiunea de [[http://ocw.cs.pub.ro/courses/pa/laboratoare/laborator-04?&#sfaturireguli|sfaturi și reguli]] vrem să facem o **parționare** după un anumit **criteriu**: în cazul problemei de față, criteriul de parționare este dacă gardul se termină cu o scândură verticală sau orizontală.
+<note> Așa cum am zis în secțiunea de [[http://ocw.cs.pub.ro/courses/pa/laboratoare/laborator-02?&#sfaturireguli|sfaturi și reguli]] vrem să facem o **parționare** după un anumit **criteriu**: în cazul problemei de față, criteriul de parționare este dacă gardul se termină cu o scândură verticală sau orizontală.
-De asemenea, tot în secțiunea [[http://ocw.cs.pub.ro/courses/pa/laboratoare/laborator-04?&#sfaturireguli|sfaturi și reguli]] am precizat că nu vrem **să număram un obiect** (un mod de a construi gardul) **de două ori**. Recurența noastră (dp[i] = dp[i-1] + dp[i-4]) nu ia un obiect de două ori pentru că orice soluție care vine din dp[i-4] e diferită de alta care vine din dp[i-1] pentru că diferă în cel puțin ultima scândură așezată) </note>
+De asemenea, tot în secțiunea [[http://ocw.cs.pub.ro/courses/pa/laboratoare/laborator-02?&#sfaturireguli|sfaturi și reguli]] am precizat că nu vrem **să număram un obiect** (un mod de a construi gardul) **de două ori**. Recurența noastră (dp[i] = dp[i-1] + dp[i-4]) nu ia un obiect de două ori pentru că orice soluție care vine din dp[i-4] e diferită de alta care vine din dp[i-1] pentru că diferă în cel puțin ultima scândură așezată) </note>
 == Implementare recurență ==
@@ Line 409: / Line 409: @@
 De multe ori, este nevoie să folosim câteva tehnici pentru a obține performanța maximă cu recurența găsită.
-În prima parte a laboratorului 3 se menționa tehnica de memoizare. În acesta, ne vom rezuma la cum putem folosi cunoștințele de lucru matriceal pentru a favoriza implementarea unor anumite tipuri de recurențe.
+În prima parte a [[pa:laboratoare:laborator-01|laboratorului 01]] se menționa tehnica de **memoizare**. În acesta, ne vom rezuma la cum putem folosi cunoștințele de lucru matriceal pentru a favoriza implementarea unor anumite tipuri de recurențe.
 ==== Exponențiere pe matrice pentru recurențe liniare ====
@@ Line 498: / Line 498: @@
 $$S_i = S_{k}C^{i -k}$$
+Pentru a aduce un plus de viteză, vom folosi un truc numit [[https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring|exponențiere rapidă]]. Pe scurt, vom ridica o valoare(notată $a$) la puterea n, împărțind  n folosind reprezentarea sa binară.
-În laboratorul 2 (Divide et Impera) am învățat că putem calcula $x ^ n$ în timp logaritmic. Deoarece și înmulțirea matricilor este asociativă, putem calcula $C ^ n$ in timp logaritmic.
+De exemplu, dacă am vrea să calculăm:
+$$ 5^{13} = 5^{1101_2}= 5^8 * 5^4 * 5^1 $$
+Exponentul are exact $\lfloor log_2(n) \rfloor + 1$ cifre în baza 2, deci vom avea nevoie de $O(log(n))$ înmulțiri, fiind condiționați de faptul că trebuie să cunoaștem $a^1, a^2, a^4, etc.$ Din fericire, putem calcula rapid acești factori prin ridicarea la pătrat a elementului precedent.
+În final, putem implementa un algoritm iterativ pentru calcularea rezultatului $a^n$ iterând prin cifrele din baza 2 ale lui n și înmulțind cu ${a^2}^{k}$ atunci când cifra curentă este 1(pentru viteză, vom folosi operații pe biți în loc de o iterare propriu zisă prin cifre).
+Mai jos putem vedea o implementare in C++:
+<code cpp>
+long long pow(long long a, long long n) {
+    long long res = 1;
+    while (n > 0) {
+        // daca cel mai nesemnificativ bit(LSB) din n este 1
+        if (n & 1) {
+            res = res * a;
+        }
+        // calculam urmatorul factor
+        a = a * a;
+        // shiftam la dreapta n cu o pozitie(urmatorul bit va deveni LSB)
+        n >>= 1;
+    }
+    return res;
+}
+</code>
+Acest truc poate fi folosit pentru orice tip de date pentru care înmulțirea este asociativă(inclusiv matrice).
 Obținem astfel o soluție cu următoarele complexități:
@@ Line 641: / Line 669: @@
-===== Exerciții =====
+===== Pool probleme (pentru prezentări) ======
-<note>
-Scheletul de laborator se găsește pe pagina [[https://github.com/acs-pa/pa-lab/tree/main/skel/lab04|pa-lab::skel/lab04]].
-</note>
-=== DP or math? ===
-Fie un șir de **numere naturale strict pozitive**. Câte **subșiruri** (submulțimi nevide) au suma numerelor **pară**?
-<note>
+======= 1) Rectangle Cutting =======
-**subșir** (**subsequence** în engleză) pentru un vector **v** înseamnă un alt vector $u = [v[i_1], v[i_2],..., v[i_k]]]$ unde $i_1 < i_2 < ... < i_k$.
-</note>
+**Enunt:**
+Se dă un dreptunghi de dimensiuni ''a × b''. Se pot face tăieturi doar pe linii paralele cu laturile dreptunghiului, împărțind dreptunghiul în două dreptunghiuri mai mici.
-Task-uri:
+Determinati numărul minim de tăieturi necesare pentru a împărți dreptunghiul în pătrate.
-  * Se cere o **soluție folosind DP**.
-  * Inspectând recurența gasită la punctul precedent, încercați să o înlocuiți cu o **formulă matematică**.
-  * Care este **complexitatea** pentru fiecare soluție (timp + spațiu)? Care este mai bună? De ce? :D
-Deoarece rezultatul poate fi prea mare, se cere **restul împărțirii** lui la $1000000007$ ($10^9 + 7$).
+**Date de intrare:**
+Două numere întregi ''a'' și ''b'' — dimensiunile dreptunghiului.
-Pentru punctaj maxim pentru această problemă, este necesar să rezolvați toate subpunctele (ex. nu folosiți direct formula, găsiți mai întâi recurența DP). Trebuie să implementați **cel puțin** soluția cu DP.
+**Date de ieșire:**
+Se afișează un singur număr întreg — numărul minim de tăieturi necesare.
+Problema se poate testa la:
+https://cses.fi/problemset/task/1744
-<spoiler Exemplu 1>
+======= 2) Removal Game =======
-$n = 3$
-|i|1|2|3|
-|v|2|6|4|
-Răspuns: $7$
+**Enunt:**
+Se dă un șir de ''n'' numere întregi. Doi jucători joacă alternativ. La fiecare mutare, un jucător poate elimina primul sau ultimul element din șir și adaugă valoarea acelui element la scorul său.
+Ambii jucători joacă optim.
-Explicație: Toate subșirurile posibile sunt
+Determinati scorul maxim pe care îl poate obține primul jucător.
-  * $[2]$
-  * $[2, 6]$
-  * $[2, 6, 4]$
-  * $[2, 4]$
-  * $[6]$
-  * $[6, 4]$
-  * $[4]$
-Toate subșirurile de mai sus au suma pară.
-</spoiler>
+**Date de intrare:**
+Pe prima linie se află un număr întreg ''n''.
+Pe a doua linie se află ''n'' numere întregi reprezentând valorile din șir.
-<spoiler Exemplu 2>
+**Date de ieșire:**
-$n = 3$
+Se afișează un singur număr întreg — scorul maxim al primului jucător.
-|i|1|2|3|
-|v|2|1|3|
-Răspuns: $3$
+Problema se poate testa la:
+https://cses.fi/problemset/task/1097/
-Explicație: Toate subșirurile posibile sunt
+======= 3) Array Description =======
-  * $[2]$
-  * $[2, 1]$
-  * $[2, 1, 3]$
-  * $[2, 3]$
-  * $[1]$
-  * $[1, 3]$
-  * $[3]$
-Subșirurile cu sumă pară sunt: $[2]$, $[2, 1, 3]$, $[1, 3]$.
+**Enunt:**
+Se dă un vector de lungime ''n''. Fiecare element este un număr între 1 și ''m''. Unele poziții sunt deja fixate, iar altele au valoarea 0, ceea ce înseamnă că pot fi alese liber.
+Un vector este valid dacă diferența absolută dintre două elemente consecutive este cel mult 1.
-</spoiler>
+Determinati câte vectori valizi pot fi formați respectând valorile deja fixate.
+**Date de intrare:**
+Pe prima linie se află două numere întregi ''n'' și ''m''.
+Pe a doua linie se află ''n'' numere întregi reprezentând vectorul inițial (valorile 0 indică poziții nefixate).
-<spoiler Exemplu 3>
+**Date de ieșire:**
-$n = 3$
+Se afișează un singur număr întreg — numărul de vectori valizi modulo 10⁹+7.
-|i|1|2|3|
-|v|3|2|1|
-Răspuns: $3$
+Problema se poate testa la:
+https://cses.fi/problemset/task/1746/
-Explicație: Toate subșirurile posibile sunt
+======= 4) Student Attendance Record II =======
-  * $[3]$
-  * $[3, 2]$
-  * $[3, 2, 1]$
-  * $[3, 1]$
-  * $[2]$
-  * $[2, 1]$
-  * $[1]$
-Subșirurile cu sumă pară sunt: $[3, 2, 1]$, $[3, 1]$, $[2]$.
+**Enunt:**
+Un elev are un istoric al prezentețor la școală pe parcursul a ''n'' zile. Pentru fiecare zi, status-ul său  poate fi:
+    *  P (present) — prezent
+    * L (late) — întârziat
+    * A (absent) — absent
-</spoiler>
+Un istoric este considerat valid dacă:
+    * conține cel mult o absență (A)
+    * nu conține mai mult de două întârzieri consecutive (L)
-<note>
+Determinati câte istorice de prezență valide de lungime ''n'' există.
-Morala: există probleme pentru care găsim o soluție cu DP, dar pentru care pot exista și alte soluții mai bune (am ignorat citirea/afișarea).
-În problemele de numărat, există o **șansă** bună să putem găsi (și) o formulă matematică, ce poate fi implementată într-un mod mai eficient decât o recurență DP.
+**Date de intrare:**
-</note>
+Un număr întreg ''n'' — numărul de zile.
-<spoiler Hint>
+**Date de ieșire:**
-Câte subșiruri au suma **impară**?
+Se afișează un singur număr întreg — numărul de istorice valide modulo 10⁹+7.
-</spoiler>
-<hidden>
+Problema se poate testa la:
-<spoiler Soluție>
+https://leetcode.com/problems/student-attendance-record-ii/description/
-Problema este preluată de [[https://infoarena.ro/problema/azerah|aici]]. Soluția se găsește [[https://www.infoarena.ro/onis-2015/solutii-runda-1#azerah|aici]].
-</spoiler>
-</hidden>
-=== Expresie booleană ===
+======= 5) Burst Balloons =======
-Se dă o expresie booleană corectă cu n termeni. Fiecare din termeni poate fi unul din stringurile **true**, **false**, **and**, **or**, **xor**.
-Numărați modurile în care se pot așeza paranteze astfel încât rezultatul să fie **true**. Se respectă regulile de la logică (tabelele de adevăr pentru operațiile **and**, **or**, **xor**).
+**Enunt:**
+Se dau ''n'' baloane, fiecare având un număr asociat. Când se sparge balonul ''i'', se câștigă un număr de monede egale cu produsul numerelor de pe balonul ''i'' și baloanele vecine lui în acel moment.
+După spargere, balonul dispare, iar vecinii lui devin adiacenți. La extremități se consideră două baloane imaginare cu valoarea 1.
-Deoarece rezultatul poate fi prea mare, se cere **restul împărțirii** lui la $1000000007$ ($10^9 + 7$).
+Determinati numărul maxim de monede pe care îl puteți obține spargând toate baloanele într-o anumită ordine.
-<note>
+**Date de intrare:**
-În schelet vom codifica cu valori de tip char cele 5 stringuri:
+Un vector de ''n'' numere întregi care reprezintă valorile baloanelor.
-  * **false**: 'F'
-  * **true**: 'T'
-  * **and**: '&'
-  * **or**: '|'
-  * **xor**: '^'
-Funcția pe care va trebui să o implementați voi va folosi variabilele **n** (numărul de termeni) și **expr** (vectorul cu termenii expresiei).
+**Date de ieșire:**
-</note>
+Se afișează un singur număr întreg — numărul maxim de monede ce poate fi obținut.
+Problema se poate testa la:
+https://leetcode.com/problems/burst-balloons/description/
-<spoiler Exemplu 1>
+===== Extra (studiu de caz pentru acasă) =====
-$n = 5$ și $expr = ['T', '&', 'F', '^', 'T']$ (expr = [** true and false xor true**])
+<spoiler Por Costel si Azerath>
+Rezolvati pe infoarena problema [[https://infoarena.ro/problema/azerah|Por Costel si Azerah]].
-Răspuns: $2$
+Hint: Câte subșiruri au suma **impară**?
-Explicație: Există 2 moduri corecte de a paranteza expresia astfel încât să obținem rezultatul **true** (1).
-  * $ T&(F^T) $
-  * $ (T&F)^T $
 </spoiler>
-<spoiler Hint>
+<spoiler Parantezare booleană>
-    Complexitate temporală dorită este $O(n ^ 3)$.
+Rezolvati pe geeksforgeeks problema [[https://www.geeksforgeeks.org/problems/boolean-parenthesization5610/1|Parantezare booleană]].
-    Opțional, se pot defini funcții ajutătoare precum **is_operand**, **is_operator**, **evaluate**.
-</spoiler>
-<note tip>
+Hint: Complexitate temporală dorită este $O(n ^ 3)$.
-Pentru rezolvarea celor două probleme gândiți-vă la ce scrise în secțiunea [[http://ocw.cs.pub.ro/courses/pa/laboratoare/laborator-04?&#sfaturireguli| Sfaturi / Reguli]]. Pentru fiecare dintre cele două probleme facem o **partiționare după un anumit criteriu**.
+Opțional, se pot defini funcții ajutătoare precum **is_operand**, **is_operator**, **evaluate**.
+</spoiler>
-Pentru problema **DP or math?** partiționăm toate subșirurile după critieriul **parității sumei subșirului** (câte sunt pare/impare).\\
-Pentru problema **expresie booleană** partiționăm **toate parantezările posibile după rezultatul lor** (câte dau true/false).
-</note>
-===== Extra (studiu de caz pentru acasă) =====
 <spoiler Extratereștrii>
 Rezolvați problema [[https://www.hackerrank.com/contests/test-practic-pa-2017-v1-plumbus/challenges/test-1-extraterestrii

Diverse

Concursuri și teste practice

Test practic

Laboratoare

Tutoriale

Materiale Suplimentare Test Practic

Crash-course Opțional

pa/laboratoare/laborator-02.1773092364.txt.gz · Last modified: 2026/03/09 23:39 by radu.nichita

Show page Old revisions

Media Manager Back to top