Show page

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- sda-ab:laboratoare:10 [2020/12/24 13:04]
ruben_gilian.udroiu
+++ sda-ab:laboratoare:10 [2021/04/26 09:58] (current)
ruben_gilian.udroiu [1. Obiectivele laboratorului]
@@ Line 1: / Line 1: @@
-===== Laboratorul 10: Grafuri - Drumuri de cost minim =====
+===== Laboratorul 9: Grafuri - Drumuri de cost minim =====
+====== 1. Obiectivele laboratorului ======
+  *Înțelegerea ideii de cost și de drum minim într-un graf
+  *Prezentarea algoritmilor care calculează drumul de cost minim
+  *Înțelegerea aplicațiilor practice ( de exemplu: gasirea drumului minim intre doua locatii, rutarea in cazul retelelor de calculatoare)
+Structura laboratorului se gaseste in **[[https://github.com/sda-ab/lab-09-tasks|acest link.]]**
+====== 2. Notiuni teoretice ======
+=== 2.1. Costul unei muchii ===
+La fel ca la arbori de acoperire, presupunem că fiecare muchie are un cost de **parcurgere**.
+=== 2.2. Costul unei drum (drumul de cost minim) ===
+Într-un graf, orice drum este definit de o succesiune de muchii (cu proprietatea că, pentru oricare două muchii consecutive din succesiune, nodul destinaţie/de sosire al primei muchii este acelaşi cu nodul sursa/de plecare al celei de-a doua muchii).
+Costul unui drum va fi definit ca **suma costurilor muchiilor** ce compun acel drum.
+Fie un nod **sursă**(S) şi un nod **destinaţie**(D). Pot exista mai multe drumuri de la S la D(drumuri care au S = primul nod, D = ultimul nod), iar drumul de cost minim de la S la D va fi cel mai **ieftin**(cu **costul cel mai mic**) dintre acestea. (**OBS** - pot exista mai multe drumuri de cost minim de la S la D).
+=== 2.3. Legatura muchii-arce ==
+<note tip>Orice **graf neorientat** este echivalent cu un **graf orientat** dacă înlocuim fiecare **muchie** cu **două arce**(de acelaşi cost, câte un arc pentru fiecare sens).
+Algoritmii următori pot fi folosiţi(în limita observaţiilor finale) pe grafuri orientate la fel ca pe grafuri neorientate.</note>
+====== 3. Drumuri de cost minim cu sursa unica ======
+Următorii algoritmi caută drumurile de cost minim de la un singur nod(sursă) la toate celelalte noduri. Rezultatul acestor algoritmi este un arbore cu drumuri de cost minim, unde:
+  *nodul sursă(S) este rădăcina arborelui;
+  *toate nodurile din graf sunt în arbore;
+  *pentru orice nod destinaţie(D), costul drumului din arbore de la rădăcina S la D este drum de cost minim(de la S la D) în graf.
+Algoritmi:
+  *Algoritmul lui **Dijkstra**
+  *Algoritmul **Bellman-Ford**
+=== 3.1 Algoritmul lui Dijkstra ===
+Un algoritm pentru determinarea celei mai scurte cai de la un varf la oricare alt varf e algoritmul lui Dijkstra. (**OBS** - acesta nu functioneaza pentru grafuri cu circuite negative(in cazul in care exista circuite de cost negativ, costum minim pentru orice varf care apartine circuitului, ar putea fi considerat -INF, iar algoritmul nu detecteaza aceste circuite)
+Algoritm:
+  *iniţial, toate nodurile sunt neexplorate şi vom construi arborele, începând de la nodul S;
+atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul infinit);
+  *la fiecare pas, alegem cel mai bun candidat dintre nodurile neexplorate, urmând să îl explorăm(să îi evaluăm vecinii), iar acel candidat va rămâne în arbore;
+  *la fiecare explorare(evaluare a vecinilor), dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţa muchiilor folosite, actualizăm şi nodul părinte al vecinului respectiv.
+<note important>OBS: atunci cand evaluam vecinii unui nod - pentru fiecare nod vecin(V) al lui C, noul cost posibil va fi costul drumului S-V(de la S la V) care trece prin C, mai exact - suma dintre **costul drumului S-C** şi **costul muchiei (C,V)**.</note>
+{{ :sda-ab:laboratoare:dijkstra_animation.gif?400 |}}
+<note tip>Construind astfel algoritmul, este **garantat** că, în momentul în care explorăm un nod(C), estimarea pentru costul drumului S-C este chiar **costul minim**.</note>
+Pasii:
+<code c>
+. Declarăm două mulţimi:
+	mulţimea nodurilor neexplorate(MN), iniţial MN conţine toate nodurile;
+	mulţimea nodurilor explorate(ME) ce compun arborele, iniţial ME = vidă;
+. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului:
+pentru nodul sursă(S);
+	infinit pentru toate celelalte;
+. Cât timp există noduri în MN
+. Alegem, din MN(nodurile neexplorate), nodul cu cel mai mic cost estimat
+	 îl numim C(nodul curent)
+. pentru fiecare din vecinii lui C care se află în MN
+. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-C) + cost(muchia (C,V));
+. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-V):
+	 dacă noul cost e mai bun
+. actualizăm cost(drumul S-V) = noul cost;
+. actualizăm parinte(V) = C; (pentru păstrarea muchiei folosite)
+	 altfel păstrăm vechiul cost
+. Marcăm nodul C ca explorat: îl eliminăm din MN şi îl adăugăm în ME.
+	 (Nu va mai fi verificat)
+</code>
+<note tip>**OBS** - algoritmul nu salveaza si calea de la nodul sursa spre celalalte varfuri. Pentru a putea face acest lucru, se poate introduce un vector pred (predecesor) care stocheaza predecesorul pentru fiecare varf adaugat in ME.</note>
+=== 3.2 Algoritmul Bellman-Ford ===
+Algoritmul Bellman-Ford determina drumurile de cost minim de la un varf **sursa** la fiecare dintre celalalte varfuri, identificand eventualele circuite de cost negativ.
+Pasii sunt similari ca cei ai algoritmului Dijkstra:
+  *vom construi arborele, începând de la nodul S;
+  *atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul infinit);
+  *la fiecare evaluare, dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţa muchiilor folosite, actualizăm şi nodul părinte.
+  *funcţia de estimare a costului este definită la fel ca la algoritmul lui Dijkstra(costul drumului de la S la nodul respectiv)
+<note tip>Diferenta care apare este cea la alegerea nodurilor pentru care facem evaluarea :
+  *Algoritmul nu are preferinţe pentru anumite noduri şi nu extrage, la fiecare pas, cel mai bun candidat.
+  *În schimb, acest algoritm evaluează toate muchiile la un pas. (presupunand ca nu se repeta muchii lungimea oricărui drum de la S la alt nod va fi maxim **N-1**, unde N = numarul de noduri din graf)
+</note>
+<code c>
+. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului:
+pentru nodul sursă(S);
+	infinit pentru toate celelalte;
+. Executăm de N-1 ori:
+. Pentru fiecare pereche (u, v) a.i. există muchie de la u la v
+. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-u) + cost(muchia (u,v));
+. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-v):
+		 dacă noul cost e mai bun
+. actualizăm cost(drumul S-v) = noul cost;
+. actualizăm parinte(v) = u; (pentru păstrarea muchiei folosite)
+		 altfel păstrăm vechiul cost
+. Dupa executare, pentru identificarea circuitelor de cost negativ, se verifica fiecare pereche (u,v) a.i exista muchie de la u la v cu conditia ca noul cost sa fie mai bun.  In cazul in care exista, se va returna valoarea 0 si 1, in caz contrar.
+</code>
+====== 4. Drumul de cost minim intre oricare 2 noduri ======
+Algoritmul **Floyd-Warshall**, caută cel mai scurt drum de la **orice nod sursă(S)** la **fiecare nod destinaţie(D)**.
+Rezultatul algoritmului este o matrice **N x N**(unde N = |V|, numărul de noduri), iar valorea din matrice de la poziţia [i][j] va fi costul minim pentru drumul i-j. Fie această matrice numită **dist**.
+<code c>
+. Declarăm matricele:
+	dist, matrice N x N şi o iniţializăm dist[i][j] = infinit, pentru orice i şi j
+	next, matrice N x N în care vom salva prima muchie din drumul i-j de cost minim
+	//next este necesar doar în cazul în care ne interesează muchiile folosite
+//pasul k = 0
+. Pentru fiecare nod v
+. dist[v][v] = 0;
+. Pentru fiecare pereche (u,v) a.i. există muchie de la u la v
+. dist[u][v] = costMuchie(u,v);
+. next[u][v] = v; //pentru urmărirea muchiilor ce compun drumul
+//am terminat pasul k = 0
+. Pentru fiecare pas k (de la 1 la N)
+. Pentru fiecare nod i (de la 1 la N)
+. Pentru fiecare nod j (de la 1 la N)
+. calculăm costul nou = dist[i][k] + dist[k][j];
+. comparăm costul nou cu costul vechi = dist[i][j]
+			 dacă e mai bun costul nou:
+. dist[i][j] = costul nou;
+. next[i][j] = next[i][k]; //pentru urmărirea muchiilor
+			 altfel păstrăm costul vechi
+</code>
+Pentru simplitate, algoritmul numerotează nodurile de la 1 la N şi foloseşte următoarea construcţie:
+**costMinim(i,j,k)** = cel mai ieftin drum care pleaca din i, ajunge in j, iar nodurile parcurse intermediar fac parte din {1,2,3...k} (primele k noduri).
+<note tip>
+  ***costMin(i,j,0)** = costMuchie(i,j) (dacă există muchie de la i la j) sau infinit(altfel);
+  ***costMin(i,j,N)** = drumul de cost minim de la i la j
+</note>
+**OBS** - Pentru obţinerea nodurilor ce formează drumul de cost minim de la u la v, putem folosi următoarea secvenţă:
+<code c>
+funcţie afişareDrum(u, v)
+. dacă u == v
+. print(v); STOP
+. print(u);
+. afişareDrum(next[u][v], v);
+</code>
+<note tip>OBS: Algoritmul Floyd-Warshall poate detecta cicluri cu cost negativ: putem verifica, la fiecare pas, dacă avem o valoare negativă pe diagonala matricei **dist**. Dacă găsim **cel puţin** o valoare negativă, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ</note>
+====== 5. Observatii finale ======
+<note important>Cei trei algoritmi functioneaza bine atunci cand **toate muchiile** au **cost pozitiv**</note>
+<note warning>
+Drumul de cost minim **NU** este **bine definit** atunci când există cicluri cu cost negativ.
+  *putem ajunge de la un nod la acelaşi nod, folosind acelaşi ciclu de oricâte ori ⇒ (costMinim = -infinit);
+  *în aceste cazuri, nu putem pune problema găsirii drumurilor de cost minim.
+</note>
+<note important>O muchie cu cost negativ este echivalentă cu 2 arce cu cost negativ şi implică existenţa unui ciclu cu cost negativ.</note>
+<note warning>Algoritmii **Bellman-Ford** şi **Floyd-Warshall** funcţionează pe grafurile cu **arce cu cost negativ**, atâta timp cât drumurile de cost minim sunt **bine definite**(fără cicluri cu cost negativ)</note>
+====== 6. Exercitii propuse ======
+  - Daţi un exemplu de graf orientat cu un singur arc cu cost negativ pentru care algoritmul lui Dijkstra dă rezultate greşite.
+  - Cum putem folosi algoritmul lui Dijkstra sau algoritmul Bellman-Ford pentru a obţine aceleaşi rezultate ca algoritmul Floyd-Warshall(drumul de cost minim pentru toate perechile de noduri)? (**OBS ** -Ne limităm la grafurile pe care merg toţi cei trei algoritmi.
+  - Implementaţi unul din algoritmi pentru a calcula drumurile de cost minim de la un nod sursă la toate celelalte noduri într-un graf cu toate muchiile/arcele cu cost pozitiv.
+  - Verificaţi dacă un graf conţine cicluri negative.
+  - Cum găsiţi(mai rapid decât cu cei 3 algoritmi prezentaţi) drumul de cost minim de la S la D într-un graf în care toate muchiile au acelaşi cost(1)? Cum adaptaţi soluţia în cazul în care toate muchiile au costul 1 sau 2?

Informatii generale SDA

Cursuri

Laboratoare

Teme

Resurse

sda-ab/laboratoare/10.1608807866.txt.gz · Last modified: 2020/12/24 13:04 by ruben_gilian.udroiu

Show page Old revisions

Media Manager Back to top