• Definirea structurii și elementelor unui graf neorientat
• Definirea structurii și elementelor unui graf orientat
• Modalitati de parcurgere a grafurilor

Structura laboratorului se gaseste in acest link.

Un graf neorientat este o pereche ordonată de multimi(X,U),unde:

• X este o mulțime finită și nevidă de elemente numite noduri sau vârfuri
• U este o mulțime de perechi neordonate din X,numite muchii

Un graf are următoarele elemente:

• Mulțimea nodurilor X - Mulțimea tuturor nodurilor grafului
• Multimea muchiilor U - Mulțimea tuturor muchiilor grafului
• Gradul nodului - numărul de muchii formate cu ajutorul nodului respectiv
• Nod izolat - Un nod ce nu formează nicio muchie
• Noduri terminale - Un nod ce formează o singură muchie
• Noduri adiacente - Noduri intre care există o muchie
• Nod si muchie incidente - Nodul face parte dintr-o muchie

• Matricea de adiacență - este o matrice a cu n linii și n coloane,în care elementele a[i,j] se definesc astfel:
  • a[i,j] = 1 ,dacă ∃ muchia [i,j] cu i≠j
  • a[i,j] = 0 ,în caz contrar
• Lista de adiacență - este un tablou de liste egal cu numarul de varfuri;dacă există o muchie intre nodul curent si un alt nod,atunci acesta se trece în listă
• Vectorul de muchii - mulțime ce conține toate muchiile grafului

Având lista de adiacentă:

• A:B→C→D
• B:A→D→E
• C:A→D
• D:A→B→C→D→E
• E:B→D

Un graf orientat este o pereche ordonată de multimi(X,U),unde:

• X este o mulțime finită și nevidă de elemente numită mulțimea nodurilor(vârfurilor)
• U este o mulțime de perechi ordonate din X,numită mulțimea arcelor

Într-un graf orientat, distingem:

• gradul interior/intern al unui nod: numărul de arce care intră în nod
• gradul exterior/extern al unui nod: numărul de arce care ies din nod

• Matricea de adiacență - este o matrice a cu n linii și n coloane,în care elementele a[i,j] se definesc astfel:
  • a[i,j] = 1 ,dacă ∃ arcul (i,j) în mulțimea U
  • a[i,j] = 0 ,în caz contrar

• Matricea vârfuri-arce - este o matrice B cu n = |X| linii și m = |U| coloane, în care fiecare element b[i,j] este:
  • 1 ,dacă nodul i este o extremitate inițială a arcului
  • -1 ,dacă nodul i este o extremitate finală a arcului
  • 0,dacă nodul i nu este o extremitate a arcului

Parcurgere (traversal) = metoda de vizitare sistematica a fiecarui varf sau arc din graf.

Tipuri de parcurgeri:

• în lățime/pe nivel - Breadth First Search/Traversal (BFS/T)
• în adâncime - Depth First Search/Traversal (DFS/T)

Parcurgerea in latime (Breadth First Traversal) a unui graf e similara cu parcurgerea pe niveluri a unui arbore cu diferenta ca intr-un graf putem sa avem cicluri. Parcurgerea în lățime (Breadth-First-Search -BFS) este o metodă ce presupune vizitarea nodurilor în următoarea ordine:

• Nodul sursa
• nodul sursă (considerat a fi pe nivelul 0)
• vecinii nodului sursă (reprezentând nivelul 1)
• vecinii încă nevizitați ai nodurilor de pe nivelul 1 (reprezentând nivelul 2)
• ș.a.m.d

Pe masură ce algoritmul avansează,se colorează nodurile în felul următor:

• alb - nodul este nedescoperit încă
• gri - nodul a fost descoperit și este în curs de procesare
• negru - procesarea nodului s-a încheiat Se păstrează informațiile despre distanța până la nodul sursă. Se obține arborele BFS

Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (Q) în care inițial se află doar nodul sursă.Se vizitează pe rând vecinii acestui nod și se pun și ei în coadă.În momentul în care nu mai există vecini nevizitați,nodul sursă este scos din coadă.

Pentru fiecare nod u din graf
{
     culoare[u]=alb
     d[u] = infinit    //in d se retine distanta pana la nodul sursa
     p[u] = null       //
}
 
culoare[sursă]=gri
d[sursă]=0
enqueue(Q,sursă)     //punem nodul sursă în coada Q
 
Cât timp coada Q nu este vidă
{
     v=dequeue(Q)   //extragem nodul v din coadă
     pentru fiecare u dintre vecinii lui v
          dacă culoare[u] == alb
          {
               culoare[u] = gri
               p[u] = v
               d[u] = d[v] + 1
               enqueue(Q,u)   //adăugăm nodul u în coadă
          }
     culoare[v] = negru   //am terminat explorarea vecinilor lui v
}

Aplicatii BFS/T

• Gasirea celui mai scurt drum intre 2 varfuri
• Identificarea arborelui minim de acoperire (ca si DFT)
• Identificarea componentelor conexe (ca si DFT)

Parcurgea în adâncime (Depth-First-Search -DFS) presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine:

• Nodul sursă
• Primul vecin nevizitat al nodului sursă (îl numim V1)
• Primul vecin nevizitat al lui V1 (îl numim V2)
• ș.a.m.d
• În momentul în care am epuizat vecinii unui nod Vn, continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior,Vn-1

Această metoda de parcurgere pune prioritate pe explorarea în adâncime (pe distanțe tot mai mari față de nodul sursă).

Spre deosebire de BFS, DFS utilizează o stivă în loc de o coadă. Putem defini o stivă sau ne putem folosi de stiva compilatorului, prin apeluri recursive.

funcţie pasDFS(curent)
{
	pentru fiecare u dintre vecinii nodului curent
          dacă culoare[u] == alb
          {
               culoare[u] = gri
               p[u] = curent
               d[u] = d[curent] + 1
               pasDFS(u);   //adăugăm nodul u în "stivă" şi începem explorarea
          }
	culoare[curent] = negru   //am terminat explorarea vecinilor nodului curent
	//ieşirea din funcţie este echivalentă cu eliminarea unui element din stivă
}
Pentru fiecare nod u din graf
{
     culoare[u]=alb
     d[u] = infinit    //in d se retine distanta pana la nodul sursa
     p[u] = null
}
culoare[sursă] = gri;
d[sursă] = 0;
 
//se apelează iniţial pasDFS(sursă)

Aplicatii DFS/T

• determinarea unui drum intre 2 varfuri u si v
• daca un graf neorientat este conex sau nu
• daca graful are cicluri
• componente tare conexe in grafuri orientate (OBS spunem ca un graf orientat se numeste tare conex daca exista drum intre oricare doua varfuri)
• daca un graf este bipartit
• pentru determinarea componentelor conexe dintr-un graf neorientat
• pentru generarea unui arbore de acoperire (nu este neaparat unic)

Implementaţi, pentru fiecare cerinţă, câte o funcţie care:

• creează matricea de adiacenţă pentru un graf neorientat cu N noduri, folosindu-se de o listă(sau o matrice cu 2 coloane) de muchii(la alegere - muchiile citite în funcţie sau primite printr-un parametru).
• calculează gradul fiecărui nod. Afişaţi numărul de noduri izolate şi numărul de noduri terminale.
• primeşte un şir de noduri şi verifică dacă acesta poate reprezenta un lanţ.
• primeşte un şir de noduri şi afişează matricea de adiacenţă a subgrafului format cu nodurile respective

OBS - Cerintele 2, 3, 4 se vor folosi de matricea de adiacenţă a grafului de la cerinţa 1.