This is an old revision of the document!
Structura laboratorului se gaseste in acest link.
Definitie generala
Un arbore poate fi definit ca: structură de date ce conţine noduri şi legături, fără circularitate. Un arbore poate fi văzut ca o extindere de la lista simplu înlănţuită şi necirculară, eliminând condiţia de a exista o singură legătură ce pleacă dintr-un nod, adică maxim un singur nod „următor“.
Radacina(root)
Numim rădăcină primul nod al arborelui(echivalentul capului de listă).
Copil - Părinte(Child - Parent)
Nodul P este părintele nodului C dacă are legătură către C(similar, C este copilul lui P).
Gradul(Degree)
Gradul unui nod este egal cu numărul de copii ai acestuia.
Frunză(Leaf) şi nod intern/extern(internal/external)
Numim frunză un nod fără copii(nod terminal).
Urmaş(Descendant)
Nodul U este urmaşul nodului S dacă putem „coborî“(mergând numai de la părinte la copil) de la S la U.
Strămoş(Ancestor)
Nodul S este strămoşul nodului U dacă U este urmaşul lui S(putem „urca“ de la U la S).
Înălţime(Height)
Definim înălţimea unui nod egală cu numărul de legături pe care „coborâm“ de la acel nod la cea mai îndepărtată frunză.
Adâncime(Depth)
Definim adâncimea unui nod egală cu cu numărul de legături pe care „coborâm“ de la rădăcină la nodul respectiv.
Nivel(Level)
Definim nivelul unui nod egal cu 1 + adâncimea.
Pădure(Forest)
Numim pădure o mulţime de N(de obicei N >= 2) arbori disjuncţi(care nu au noduri comune).
Vector de taţi(Parent array/vector)
Vectorul de taţi reprezintă o soluţie ieftină(d.p.d.v. al memoriei) de reprezentare a unui arbore atunci când nodurile pot avea un număr diferit de legături. În acest caz, ne putem folosi de faptul că fiecare nod-copil are un singur părinte, indiferent de câţi copii are părintele respectiv. Rădăcina arborelui este singura excepţie.
//fie n = nr. de noduri //nodurile sunt numerotate de la 0 la n-1 //fie doua noduri numerotate cu indicii A si B Parent[A] = B; // Parintele nodului A este nodul B //fie Root nodul radacina Parent[Root] = -1; //nu exista nod numerotat cu -1
Un arbore binar este alcătuit din noduri, unde fiecare nod conține un pointer către „stânga“ și un pointer către „dreapta“ și un element de tip dată. Pointer-ul „root (rădăcină)“ reprezintă adresa celui mai de sus nod din arbore.Pointerii din „stânga“ și „drepta“ punctează în mod recursiv, pe fiecare aprte, la subarbori mai mici. Arborii sunt folosiți in general pentru a modela o ierarhie de elemente.Astfel,fiecare element (nod) poate deține un număr de unul sau mai mulți descentenți,iar în acest caz nodul este numit părinte al nodului descendent. Un nod fără descendenți este un nod terminal, sau nod frunză.
Tipuri de cautari
Cautare liniara/secventiala intr-o multime neordonata
Se presupune dat un vector neordonat. Este necesara parcurgerea intregului vector pentru a verifica unde se gaseste elementul.
int search(int v[], int n, int data) { int i; for (i=0; i<n; i++) if (v[i] == data) return i; return -1; }
Cautare binara Se considera vectorul sortat. Cautarea se face impartind, la fiecare pas, domeniul de cautare in doua parti si se selecteaza cel care contine elementul de interes
nt search_bin(int v[], int n, int data) {int r=n-1, l=0; while (r >= l) { int m = (l+r)/2; if (v[m]==data) return m; if (v[m]>data) r=m-1; else l=m+1; } return -1; }
Numim sortare orice aşezare a unor elemente date în aşa fel încât, după aşezare, să existe o ordine completă în funcţie de un atribut(numit cheie) al elementelor.
Pentru a exista o ordine completă, trebuie să alegem o relaţie pe care vrem sa o impunem. Dacă relaţia este valabilă între oricare două elemente pentru care primul element este aşezat la stânga celui de-al doilea, atunci avem o ordine completă.
Exemplu: dacă alegem drept cheie un atribut număr întreg şi relaţia mai mic sau egal(⇐), obţinem ordinea crescătoare.
Vom descrie un algoritm de sortare prin:
Folosim notaţia O(n) pentru a indica:
Fiecare algoritm se bazează pe o metodă de sortare:
3.1 Bubble sort
Descriere : Sortarea prin metoda bulelor se consideră drept una din cele mai puţin efective metode de sortare, dar cu un algoritm mai simplu.
Ideea de bază a sortării prin metoda bulelor este în a parcurge tabloul, de la stânga spre dreapta, fiind comparate elementele alăturate a[i] si a[i+1]. Dacă vor fi găsite 2 elemente neordonate, valorile lor vor fi interschimbate. Parcurgerea tabloului de la stânga spre dreapta se va repeta atât timp cât vor fi întâlnite elemente neordonate.
Implementare
//sortare descrescatoare void bubble(int a[],int n) { int i,schimbat,aux; do { schimbat = 0; // parcurgem vectorul for(i = 0; i < n-1; i++) { // daca valoarea i din vectorul a este mai mica decat cea de pe pozitia i+1 if (a[i] < a[i+1]) { // interschimbare aux = a[i]; a[i] = a[i+1]; a[i+1] = aux; schimbat = 1; } } } while(schimbat); }
3.2 Selection sort
Descriere : Acest algoritm selectează, la fiecare pas i, cel mai mic element din vectorul nesortat(de la poziţia i până la n). Valoarea minimă găsită la pasul i este pusă în vector la poziţia i, facându-se intereschimbarea cu poziţia actuală a minimului. Nu este un algoritm indicat pentru vectorii mari, în majoritatea cazurilor oferind rezultate mai slabe decât insertion sort şi bubble sort.
Implementare
void selectionSort(int a[],int n) { int i,j,aux,min,minPoz; for(i = 0; i < n - 1;i++) { minPoz = i; min = a[i]; for(j = i + 1;j < n;j++) //selectam minimul //din vectorul ramas( de la i+1 la n) { if(min > a[j]) //sortare crescatoare { minPoz = j; //pozitia elementului minim min = a[j]; } } aux = a[i] ; a[i] = a[minPoz]; //interschimbare a[minPoz] = aux; } }
3.3 Insertion sort
Descriere : Spre deosebire de alţi algoritmi de sortare, sortarea prin inserţie este folosită destul de des pentru sortarea tablourilor cu număr mic de elemente.
Sortarea prin inserţie seamană oarecum cu sortarea prin selecţie. Tabloul este împărţit imaginar în două părţi - o parte sortată şi o parte nesortată. La început, partea sortată conţine primul element al tabloului şi partea nesortată conţine restul tabloului. La fiecare pas, algoritmul ia primul element din partea nesortată şi il inserează în locul potrivit al părţii sortate. Când partea nesortată nu mai are niciun element, algoritmul se opreste.
Implementare
void insertionSort(int a[], int n) { int i, j, aux; for (i = 1; i < n; i++) { j = i; while (j > 0 && a[j - 1] > a[j]) { //cautam pozitia pe care sa mutam a[i] aux = a[j]; //interschimbare a[j] = a[j - 1]; a[--j] = aux; } } }
3.4 Merge sort
Descriere : În cazul sortării prin interclasare, vectorii care se interclasează sunt două secvenţe ordonate din acelaşi vector. Sortarea prin interclasare utilizează metoda Divide et Impera: se împarte vectorul în secvenţe din ce în ce mai mici, astfel încât fiecare secvenţă să fie ordonată la un moment dat şi interclasată cu o altă secvenţă din vector corespunzătoare. Practic, interclasarea va începe când se ajunge la o secvenţă formată din două elemente. Aceasta, odată ordonată, se va interclasa cu o alta corespunzătoare(cu 2 elemente). Cele două secvenţe vor alcătui un subşir ordonat din vector mai mare(cu 4 elemente) care, la rândul lui, se va interclasa cu un subşir corespunzător(cu 4 elemente) ş.a.m.d.
Subvectorii sortaţi sunt interclasaţi succesiv, ı̂n ordinea inversă divizarii, obţinând ı̂n final vectorul sortat. Iată un exemplu pentru vectorul [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]:
3.5 Quick sort
Descriere : Quick Sort este unul dintre cei mai rapizi şi mai utilizaţi algoritmi de sortare până în acest moment, bazându-se pe tehnica „Divide et impera“. Deşi cazul cel mai nefavorabil este O(N^2), în practică, QuickSort oferă rezultate mai bune decât restul algoritmilor de sortare din clasa „O(N log N)“.
Algoritmul se bazează pe următorii paşi:
1. Alegeţi un algoritm A(dintre Bubble, Insertion şi Selection) şi un algoritm B(dintre Merge şi Quick). Introduceţi variabile globale cu care să contorizaţi numărul de comparaţii pentru algoritmii A şi B. Comparaţi rezultatele pentru un vector de întregi de lungime n = 20.
2. Implementaţi un algoritm(dintre Bubble, Insertion şi Selection) pentru sortarea unui vector cu n cuvinte de maxim 4 litere fiecare.
3. Implementaţi un algoritm(dintre Merge şi Quick) pentru sortarea unui vector de structuri, unde fiecare structură reprezintă un moment de timp(int ora,min,sec).
4. Considerăm un pachet de cărţi. Extragem random n cărţi. Sortaţi aceste cărţi folosind metoda inserţiei.
5. Scrieţi un program eficient care să afişeze primele k cele mai mari elemente dintr-un vector. Elementele nu sunt ordonate, ci ordinea lor este una aleatoare. De exemplu dat vectorul v = [1, 23, 12, 9, 30, 2, 50], dacă k = 3, vrem cele mai mari 3 elemente care sunt 50, 30, 23