[8p]

Pentru acest exercițiu vom utiliza metoda proiectării cu fereastră pentru a crea filtre FIR trece-bandă și trece-sus. Precum am văzut la curs, putem folosi același principiu pentru a crea filtre trece-jos, trece-bandă sau trece-sus. Tot ce trebuie să facem este să înmulțim coeficienții filtrelor (adică secvența $h_{ideal}$) cu valorile unei sinusoide de o anumită frecvență (centrul frecvențelor pentru filtrul trece-bandă).

Pentru a crea un filtru trece-bandă cu frecvența centrală $f_B$ ar trebui să procedați în felul următor:

1. Generați filtrul în timp $h_{ideal}$ precum în laboratorul 9, ex.2 (creați filtrul în frecvență, treceți în domeniul timp, înmulțiți cu o fereastră precum Blackman sau alta)
2. Înmulțiți $h_{ideal}$ element cu element cu secvența $\cos(\frac{2\pi f_B n}{f_s})$, unde $f_B$ este frecvența din centrul benzii dorite, iar $f_s$ este frecvența de eșantionare.

Câteva cazuri particulare:

1. $f_B = \frac{f_s}{4}$, în acest caz secvența cosinus devine [1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, …]. Acesta este un tip de filtru eficient trece-bandă centrat în frecvența $f_s / 4$.
2. $f_B = \frac{f_s}{2}$, în acest caz secvența cosinus devine [1, -1, 1, -1, …] și obținem un filtru trece-sus.

Acum că știți toate acestea (sperăm că ați reținut și de la curs), aveți de făcut următoarele:

1. Generați o secvență de filtru ideal trece-jos $H_{ideal}$ având N = 256 elemente, reprezentând spectrul de frecvență al unui filtru trece-jos. Folosiți o frecvență de cut-off de fs/16. Adică totul înainte de fs/16 trebuie să treacă, pe când totul mai sus trebuie sa fie oprit (folosiți un dreptunghi care se oprește la fs/16). Observați că trebuie să generați un spectru simetric pentru a obține o secvență reală la următorul pas. Plotați această secvență (folosind plot). Notați axa frecvențelor (axa x) ca o funcție de $F_s$, adică de la 0 la 1. Ar trebui să obțineți ceva precum:

• Țineți minte că acest spectru poate fi văzut ca ieșirea din DFT(FFT), adică primul element corespunde frecvenței 0, pe când următoarele N/2-1 corespund frecvențelor pozitive, iar ultimele N/2 componente reprezintă frecvențele negative.

1. Acum aplicați inversa DFT (în practică inversa FFT) pentru a obține secvența corespunzătoare în domeniul timp $h_{ideal}$.
2. Trunchiați secvența $h_{ideal}$ prin selectarea a doar $L = 65$ de eșantioane din centru (32 din stânga maximului funcției sinc, maximul funcției, și 32 de eșantioane din dreapta). Aceasta corespunde multiplicării secvenței $h_{ideal}$ cu o fereastră dreptunghiulară centrată în punctul maxim al funcției sinc. Plotați secvența.
3. Aplicați DFT($fft$) pe secvența trunchiată înmulțită cu fereastra dreptunghiulară (care conține doar 1) și plotați spectrul. Rețineți: este important aici, precum și la primul plot pentru filtru trece-jos ideal, să notăm axa frecvențelor (axa x) ca o funcție de Fs, adică de la 0 la 1.
4. Folosiți aceeași secvență trunchiată ca mai sus, dar înmulțiți-o cu o fereastră precum $Blackman$. Aplicați din nou $fft$ și plotați spectrul.
5. Din această secvență puteți obține o secvență corespunzătoare unui filtru trece-bandă cu $f_B = \frac{f_s}{4}$. Afișați spectrul.
6. Obțineți o secvență corespunzătoare unui filtru trece-sus cu $f_B = \frac{f_s}{2}$. Afișați spectrul.
7. Generați trei sinusoide cu frecvențe diferite (ex: $ f = 3 kHz$, $15 kHz$, $30 kHz$, cu $f_s = 64000$ și $N = 64$) și filtrați-le (folosind funcția np.convolve din NumPy sau signal.convolve din scipy.signal) cu filtrele trece-sus și trece-bandă obținute mai sus. Plotați atât input-ul cât și output-ul în același plot folosind stem pentru a observa efectele filtrelor.

[2p]

Putem descrie un filtru (sistem liniar) cu feedback (IIR având termenii $a_i$ mai jos) sau fără feedback (FIR) folosind o ecuație cu diferențe precum:

$y(n) = b_0 \cdot x(n) + b_1 \cdot x(n-1) + \ldots + b_q \cdot x(n-q) + a_1 \cdot y(n-1) + \ldots + a_p \cdot y(n-p)$

Putem reprezenta întârzierile $x(n-1)$ ca $z^{-1} \cdot x(n)$, unde $z=e^{j2\pi}$. Apoi, obținem o ecuație care depinde doar de $x(n)$ și $y(n)$ și obținem funcția de transfer a filtrului $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$ precum:

$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^q b_k \cdot z^{-k}}{1 - \sum_{k=1}^p a_k \cdot z^{-k}}$

În Python, puteți folosi funcția signal.butter din SciPy, pentru a obține coeficienții ($b_i$ și $a_i$) ai unui filtru IIR trece-jos, trece-bandă sau trece-sus. Apoi puteți folosi funcția signal.lfilter din SciPy, pentru a filtra orice secvență folosind coeficienții $b_i$ și $a_i$ dați de signal.butter.

Pentru acest exercițiu, trebuie să proiectați filtre IIR trece-jos (folosiți cutoff = 0.1), trece-bandă (folosiți cutoff = [0.2, 0.5]) și trece-sus (folosiți cutoff = 0.75). Puteți alege numtaps = 5. Apoi folosiți funcția signal.lfilter pentru a testa filtrele cu niște sinusoide ca în Exercițiul 1, cu $f=3$ kHz, $15$ kHz, $30$ kHz. Afișați cu stem, în subplot-uri sinusoidele inițiale și pe cele filtrate. Pentru răspunsul în frecvență, vă puteți folosi de următorul cod:

freq, H = signal.freqz(b_low, a_low, fs=fs)
plt.figure()
plt.plot(freq, 20 * np.log10(abs(H)))
plt.xlabel('Frequency [Hz], from 0 to fs/2')
plt.ylabel('Amplitude [dB]')
plt.title('Digital Filter Frequency Response')
plt.grid()
plt.show()

, unde b_low sunt coeficienții $b_i$ și a_low coeficienții $a_i$ ai unui filtru IIR trece-jos. Observați diferențe față de cele FIR?