Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
|
ps:labs:10 [2023/12/13 09:12] ionut.gorgos |
ps:labs:10 [2023/12/20 11:23] (current) constantin.savu1510 |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| ===== Laboratorul 10. ===== | ===== Laboratorul 10. ===== | ||
| + | <hidden> | ||
| ==== Filtre FIR trece bandă și trece-sus, filtre IIR ==== | ==== Filtre FIR trece bandă și trece-sus, filtre IIR ==== | ||
| - | <hidden> | ||
| - | Pentru acest exercițiu vom utiliza metoda proiectării cu fereastră pentru a crea filtre FIR trece-bandă și trece-sus. Precum am văzut la curs, putem folosi același principiu pentru a crea filtre trece-jos, trece-bandă sau trece-sus. Tot ce trebuie să facem este să înmulțim coeficienții filtrelor (adică secvența $h_{ideal}$) cu valorile unei sinusoide de o anumită frecvență (centrul frecvențelor pentru filtrul trece-bandă). | ||
| - | Pentru a crea un filtru trece-bandă cu frecvența centrală $f_B$ ar trebui să procedați în felul următor: | + | În acest laborator vom lucra în Python și vom folosi mediul Google Colab. |
| - | - Generați filtrul în timp $h_{ideal}$ precum în laboratorul 9, ex.2 (creați filtrul în frecvență, treceți în domeniul timp, înmulțiți cu o fereastră precum Blackman sau alta) | + | |
| - | - Înmulțiți $h_{ideal}$ element cu element cu secvența $\cos(\frac{2\pi f_B n}{f_s})$, unde $f_B$ este frecvența din centrul benzii dorite, iar $f_s$ este frecvența de eșantionare. | + | |
| + | Deschideți următorul notebook și creați-vă o copie: ex. //File / Save a copy in Drive//. | ||
| - | Câteva cazuri particulare: | + | https://colab.research.google.com/drive/10HiWnJLtuGFanKGOBm0ux10fiii4OUVa?usp=sharing |
| - | - $f_B = \frac{f_s}{4}$, în acest caz secvența cosinus devine [0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...]. Acesta este un tip de filtru eficient trece-bandă centrat în frecvența $f_s / 4$. | + | |
| - | - $f_B = \frac{f_s}{2}$, în acest caz secvența cosinus devine [1, -1, 1, -1, ...] și obținem un filtru trece-sus. | + | |
| - | + | ||
| - | Acum că știți toate acestea (sperăm că ați reținut și de la curs), aveți de făcut următoarele: | + | |
| - | - Generați o secvență de filtru ideal trece-jos $H_{ideal}$ având N = 256 elemente, reprezentând spectrul de frecvență al unui filtru trece-jos. Folosiți o frecvență de cut-off de fs/16. Adică totul înainte de fs/16 trebuie să treacă, pe când totul mai sus trebuie sa fie oprit (folosiți un dreptunghi care se oprește la fs/16). Observați că trebuie să generați un spectru simetric pentru a obține o secvență reală la următorul pas. Plotați această secvență (folosind //plot//). Notați axa frecvențelor (axa x) ca o funcție de $F_s$, adică de la //0// la //1//. Ar trebui să obțineți ceva precum: | + | |
| - | {{:ps:labs:9.png?300|}} | + | |
| - | * Țineți minte că acest spectru poate fi văzut ca ieșirea din DFT(FFT), adică primul element corespunde frecvenței //0//, pe când următoarele //N/2-1// corespund frecvențelor pozitive, iar ultimele //N/2// componente reprezintă frecvențele negative. | + | |
| - | + | ||
| - | - Acum aplicați inversa DFT (în practică inversa FFT) pentru a obține secvența corespunzătoare în domeniul timp $h_{ideal}$. | + | |
| - | - Trunchiați secvența $h_{ideal}$ prin selectarea a doar $L = 65$ de eșantioane din centru (32 din stânga maximului funcției sinc, maximul funcției, și 32 de eșantioane din dreapta). Aceasta corespunde multiplicării secvenței $h_{ideal}$ cu o fereastră dreptunghiulară centrată în punctul maxim al funcției sinc. Plotați secvența. | + | |
| - | - Aplicați DFT($fft$) pe secvența trunchiată înmulțită cu fereastra dreptunghiulară (care conține doar 1) și plotați spectrul. Rețineți: este important aici, precum și la primul plot pentru filtru trece-jos ideal, să notăm axa frecvențelor (axa x) ca o funcție de Fs, adică de la 0 la 1. | + | |
| - | - Folosiți aceeași secvență trunchiată ca mai sus, dar înmulțiți-o cu o fereastră precum $Blackman$. Aplicați din nou $fft$ și plotați spectrul. | + | |
| - | - Din această secvență puteți obține o secvență corespunzătoare unui filtru trece-bandă cu $f_B = \frac{f_s}{4}$. | + | |
| - | - Obțineți o secvență corespunzătoare unui filtru trece-sus cu $f_B = \frac{f_s}{2}$. | + | |
| - | - Generați trei sinusoide cu frecvențe diferite (ex: $ f = 3 kHz$, $15 kHz$, $30 kHz$, cu $f_s = 64000$ și $N = 64$) și filtrați-le (folosind funcția //np.convolve// din NumPy sau //signal.convolve// din //scipy.signal//) cu filtrele trece-sus și trece-bandă obținute mai sus. Plotați atât input-ul cât și output-ul în același plot folosind //stem// pentru a observa efectele filtrelor. | + | |
| - | + | ||
| - | === Exercițiul 2 -- Proiectarea rapidă de filtre IIR folosind Python === | + | |
| - | [<color red>2p</color>] | + | |
| - | + | ||
| - | Putem descrie un filtru (sistem liniar) cu feedback (IIR având termenii $a_i$ mai jos) sau fără feedback (FIR) folosind o ecuație cu diferențe precum: | + | |
| - | + | ||
| - | $y(n) = b_0 \cdot x(n) + b_1 \cdot x(n-1) + \ldots + b_q \cdot x(n-q) + a_1 \cdot y(n-1) + \ldots + a_p \cdot y(n-p)$ | + | |
| - | + | ||
| - | Putem reprezenta întârzierile $x(n-1)$ ca $z^{-1} \cdot x(n)$, unde $z=e^{j2\pi}$. | + | |
| - | Apoi, obținem o ecuație care depinde doar de $x(n)$ și $y(n)$ și obținem funcția de transfer a filtrului $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$ precum: | + | |
| - | + | ||
| - | $H(z) = \frac{\sum_{k=0}^q b_k \cdot z^{-k}}{1 - \sum_{k=1}^p a_k \cdot z^{-k}}$ | + | |
| - | + | ||
| - | În Python, puteți folosi funcția //signal.butter// din SciPy, pentru a obține coeficienții ($b_i$ și $a_i$) ai unui filtru IIR trece-jos, trece-bandă sau trece-sus. Apoi puteți folosi funcția //signal.lfilter// din SciPy, pentru a filtra orice secvență folosind coeficienții $b_i$ și $a_i$ dați de //signal.butter//. | + | |
| - | + | ||
| - | Pentru acest exercițiu, trebuie să proiectați filtre IIR trece-jos (folosiți cutoff = 0.1), trece-bandă (folosiți cutoff = [0.2, 0.5]) și trece-sus (folosiți cutoff = 0.75). Puteți alege //numtaps = 65//. Apoi folosiți funcția //signal.lfilter// pentru a testa filtrele cu niște sinusoide ca în Exercițiul 1, cu $f=3$ kHz, $15$ kHz, $30$ kHz. Afișați cu stem, în subplot-uri sinusoidele inițiale și pe cele filtrate. | + | |
| - | Pentru răspunsul în frecvență, vă puteți folosi de următorul cod: | + | |
| - | + | ||
| - | <code python> | + | |
| - | freq, H = signal.freqz(b_low, 1, fs=fs) | + | |
| - | plt.figure() | + | |
| - | plt.plot(freq, 20 * np.log10(abs(H))) | + | |
| - | plt.xlabel('Frequency [Hz], from 0 to fs/2') | + | |
| - | plt.ylabel('Amplitude [dB]') | + | |
| - | plt.title('Digital Filter Frequency Response') | + | |
| - | plt.grid() | + | |
| - | plt.show() | + | |
| - | </code> | + | |
| - | , unde b_low sunt coeficienții $b_i$ ai unui filtru FIR trece-jos. | + | |
| </hidden> | </hidden> | ||
| - | |||
