Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
|
ps:labs:03 [2021/10/16 20:27] ionut.gorgos |
ps:labs:03 [2023/10/12 22:12] (current) constantin.savu1510 old revision restored (2022/11/08 14:55) |
||
|---|---|---|---|
| Line 2: | Line 2: | ||
| /*<hidden>*/ | /*<hidden>*/ | ||
| ==== Semnale în domeniul frecvență ==== | ==== Semnale în domeniul frecvență ==== | ||
| + | Prezentarea PowerPoint pentru acest laborator poate fi găsită aici: [[https://docs.google.com/presentation/d/1cbNT4X6ZHE3rTQZ1Y5ZNJytpakJHXCmd/edit?usp=share_link&ouid=110538702824281541719&rtpof=true&sd=true|aici]] | ||
| Materiale ajutătoare: | Materiale ajutătoare: | ||
| - | - [[http://www.ece.rice.edu/~dhj/courses/elec241/col10040.pdf|D. Johnson's book]] | + | - {{:ps:labs:fundamentals-of-electrical-engineering-i-9.72.pdf|Cartea lui Don Johnson}} |
| - Secțiunile 4.2 (Exercițiul 1), 4.5 (Exercițiul 2), 4.6 (Exercițiul 3) | - Secțiunile 4.2 (Exercițiul 1), 4.5 (Exercițiul 2), 4.6 (Exercițiul 3) | ||
| - | === Exercițiul 1 - seria Fourier [4p] === | + | === Exercițiul 1 - seria Fourier === |
| + | [<color red>4p</color>] | ||
| În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu seria Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta. | În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu seria Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta. | ||
| - | Orice semnal periodic de perioada $T$ se poate descompune într-o sumă de semnale de bază. Această descompunere poartă numele de seria Fourier și ne arată cum se descompune orice semnal periodic într-o sumă de sinusoide. | + | Orice semnal periodic de perioada $T$ se poate descompune într-o sumă de semnale de bază. Această descompunere poartă numele de seria Fourier și ne arată cum se descompune orice semnal periodic într-o sumă de sinusoide: |
| - | + | ||
| - | Forma clasică a seriei Fourier: | + | |
| - | + | ||
| - | \begin{equation} | + | |
| - | s(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}{a_k \cos( \frac{2 \pi kt}{T} ) } + \sum_{k=1}^{\infty}{b_k \sin( \frac{2 \pi kt}{T} ) } | + | |
| - | \end{equation} | + | |
| - | + | ||
| - | Folosind formula lui Euler: $e^{jt} = \cos(t) + j \sin(t)$ și folosind coeficienții complecși $c_k \in \mathbb{C}$ | + | |
| - | , unde $c_k = \frac{a_k - b_k}{2}$ pentru $k > 0$, $c_k = \frac{a_k + b_k}{2}$ pentru $k < 0$ și $c_k = \frac{a_k}{2}$ pentru $k = 0$ obținem formularea echivalentă: | + | |
| \begin{equation} | \begin{equation} | ||
| Line 45: | Line 38: | ||
| Principalii paşi pentru asta sunt: | Principalii paşi pentru asta sunt: | ||
| - | - Creaţi semnalul original. Utilizaţi, de exemplu $T = 100$ şi $A = 3$ şi generaţi un semnal cu amplitudinea $3$ peste primele 50 de eşantioane şi $-3$ peste ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100). Ajustaţi limita verticală a plot-ului, folosind funcţia //ylim// (e.g. $[-A-1, A+1]$). [1p] | + | - Creaţi semnalul original. Utilizaţi, de exemplu $T = 100$ şi $A = 3$ şi generaţi un semnal cu amplitudinea $3$ peste primele 50 de eşantioane şi $-3$ peste ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100). Ajustaţi limita verticală a plot-ului, folosind funcţia //ylim// (e.g. $[-A-1, A+1]$). [<color red>1p</color>] |
| - | - Calculaţi coeficienţii Fourier $c_{k}$ pentru $k = [-k_{max}, k_{max}]$. De exemplu pentru $k_{max} = 3$, avem $k = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$. Reprezentaţi grafic coeficienţii $c_k$ şi observaţi simetria lor în jurul lui $k = 0$. Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia //stem// (nu mai folosim //plot//). De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia //abs//. [1p] | + | - Calculaţi coeficienţii Fourier $c_{k}$ pentru $k = [-k_{max}, k_{max}]$. De exemplu pentru $k_{max} = 3$, avem $k = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$. Reprezentaţi grafic coeficienţii $c_k$ şi observaţi simetria lor în jurul lui $k = 0$. Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia //stem// (nu mai folosim //plot//). De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia //abs//. [<color red>1p</color>] |
| - | - Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula: $s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. [1p] | + | - Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula: $s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. [<color red>1p</color>] |
| - | - Reprezentaţi grafic noul semnal reconstruit și comparați-l cu originalul. [1p] | + | - Reprezentaţi grafic noul semnal reconstruit și comparați-l cu originalul. [<color red>0.5p</color>] |
| - | - Folosiţi diferite valori pentru $k_{max}$ (de exemplu, 1, 5, 11, 49) și observaţi diferenţa. Vedeţi cum, folosind din ce în ce mai mulţi coeficienţi, ne permitem să construim mai bine semnalul original. | + | - Folosiţi diferite valori pentru $k_{max}$ (de exemplu, 1, 5, 11, 49) și observaţi diferenţa. Vedeţi cum folosirea din ce în ce a mai multor coeficienţi ne permite să reconstruim mai bine semnalul original. [<color red>0.5p</color>] |
| Graficele voastre trebuie să arate similar cu acestea: | Graficele voastre trebuie să arate similar cu acestea: | ||
| Line 61: | Line 54: | ||
| </note> | </note> | ||
| - | === Exercițiul 2 - aproximare de semnale [4p] === | + | === Exercițiul 2 - aproximare de semnale === |
| + | [<color red>4p</color>] | ||
| Orice semnal este format dintr-o sumă de o infinitate de sinusoide complexe. Ce se întâmplă dacă facem suma doar peste un număr finit de astfel de termeni, ignorând termenii de ordin superior? În acest caz vom forma un semnal care aproximează semnalul original, iar aproximarea este cu atât mai bună cu cât folosim mai mulți termeni. | Orice semnal este format dintr-o sumă de o infinitate de sinusoide complexe. Ce se întâmplă dacă facem suma doar peste un număr finit de astfel de termeni, ignorând termenii de ordin superior? În acest caz vom forma un semnal care aproximează semnalul original, iar aproximarea este cu atât mai bună cu cât folosim mai mulți termeni. | ||
| Line 82: | Line 75: | ||
| iar RMS-ul lui $\epsilon_N$ este dat de: | iar RMS-ul lui $\epsilon_N$ este dat de: | ||
| \begin{equation} | \begin{equation} | ||
| - | \text{rms}(\epsilon_N) = \sqrt{\sum_{k=-\infty}^{-{N+1}} |c_k|^2 + \sum_{k=N+1}^\infty |c_k|^2} = \sqrt{2\cdot \sum_{k=N+1}^\infty |c_k|^2} | + | \text{rms}(\epsilon_N) = \sqrt{\sum_{k=-\infty}^{-{N-1}} |c_k|^2 + \sum_{k=N+1}^\infty |c_k|^2} = \sqrt{2\cdot \sum_{k=N+1}^\infty |c_k|^2} |
| \end{equation} | \end{equation} | ||
| Line 99: | Line 92: | ||
| Pentru asta ar trebui să urmăriți următorii pași: | Pentru asta ar trebui să urmăriți următorii pași: | ||
| - | - Creați semnalul original. Folosiți, de exemplu T=100 și A=1 pentru a genera semnalul cu valoarea 1 în primele 50 de eșantioane și -1 în ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100) [1p]. Puteți să folosiți codul de la exercițiul precedent. | + | - Creați semnalul original. Folosiți, de exemplu T=100 și A=1 pentru a genera semnalul cu valoarea 1 în primele 50 de eșantioane și -1 în ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100) [<color red>1p</color>]. Puteți să folosiți codul de la exercițiul precedent. |
| - | - Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[0:500]$. Plotați amplitudinile $|c_k|^2$ ca funcție de $k$, folosind //stem// și //abs// ca la exercițiul precedent. [1p] | + | - Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[0:500]$. Plotați amplitudinile $|c_k|^2$ ca funcție de $k$, folosind //stem// și //abs// ca în exercițiul precedent. [<color red>1p</color>] |
| - | - Calculați $\text{rms}(\epsilon_{N})$ pentru fiecare $N \in \{1, \ldots, 500\}$. Vedeți explicația de mai jos pentru a putea calcula RMS folosind Teorema lui Parseval. Plotați (cu //plot//, //semilogy// și //loglog//) valoarea rms pentru $N \in \{1, \ldots, 500\}$.[3p] | + | - Calculați $\text{rms}(\epsilon_{N})$ pentru fiecare $N \in \{1, \ldots, 500\}$. Vedeți explicația de mai jos pentru a putea calcula RMS folosind Teorema lui Parseval. Plotați (cu //plot//, //semilogy// și //loglog//) valoarea rms pentru $N \in \{1, \ldots, 500\}$.[<color red>1p</color>] |
| - | - Determinați cel mai mic $N$ astfel încât $\text{rms}(\epsilon_{N}) < 0.05$ și reconstruiți semnalul original folosind acest număr de coeficienți. Trebuie să folosiți atât coeficienții pozitivi cât și negativi (de ex. de la -N la N) pentru a reconstrui semnalul. Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula: $s_N(t) = \sum_{k=-N}^{N}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. Reprezentați grafic semnalul reconstruit și comparați-l cu semnalul inițial. [1p] | + | - Determinați cel mai mic $N$ astfel încât $\text{rms}(\epsilon_{N}) < 0.05$ și reconstruiți semnalul original folosind acest număr de coeficienți. Trebuie să folosiți atât coeficienții pozitivi cât și negativi (de ex. de la -N la N) pentru a reconstrui semnalul. Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula: $s_N(t) = \sum_{k=-N}^{N}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. Reprezentați grafic semnalul reconstruit și comparați-l cu semnalul inițial. [<color red>1p</color>] |
| <note> Pentru a calcula RMS al erorii trebuie să calculăm suma pentru toți coeficienții $c_k$ cu $|k|> k_0 $, adică o infinitate de termeni. Putem încerca doar să aproximăm această sumă, sau ne putem folosi de unele proprietăți ale seriei Fourier pentru a o calcula exact. Mai precis, vom folosi Teorema lui Parseval prin care putem calcula puterea unui semnal în două feluri, în domeniul timp, integrând semnalul la pătrat peste o perioadă sau în frecvență calculând suma pătratelor modulului ale fiecărui coeficient: | <note> Pentru a calcula RMS al erorii trebuie să calculăm suma pentru toți coeficienții $c_k$ cu $|k|> k_0 $, adică o infinitate de termeni. Putem încerca doar să aproximăm această sumă, sau ne putem folosi de unele proprietăți ale seriei Fourier pentru a o calcula exact. Mai precis, vom folosi Teorema lui Parseval prin care putem calcula puterea unui semnal în două feluri, în domeniul timp, integrând semnalul la pătrat peste o perioadă sau în frecvență calculând suma pătratelor modulului ale fiecărui coeficient: | ||
| Line 119: | Line 112: | ||
| </note> | </note> | ||
| - | === Exercițiul 3 - comunicație digitală [2p] === | + | === Exercițiul 3 - comunicație digitală === |
| + | [<color red>2p</color>] | ||
| Pentru a transmite 2 biți simultan putem folosi două frecvențe diferite (f1, f2) pentru a coda o valoare de 2 biți: | Pentru a transmite 2 biți simultan putem folosi două frecvențe diferite (f1, f2) pentru a coda o valoare de 2 biți: | ||
| Line 132: | Line 126: | ||
| - verificați că semnalul rezultat codează secvența voastră random; | - verificați că semnalul rezultat codează secvența voastră random; | ||
| - | <note> Pentru a genera o secvență random de valori întregi inspectați funcția 'randi' din OCTAVE. </note> | + | <note> Pentru a genera o secvență random de valori întregi inspectați funcția //randi// din MATLAB. </note> |
| /*</hidden>*/ | /*</hidden>*/ | ||
