În acest laborator vom începe să experimentăm efectele semnalelor eşantionate şi procesarea semnalelor digitale.

Materiale ajutătoare:

1. D. Johnson's book
   1. Secţiunile 5.1-5.3

Vom încerca să implementăm un sistem de procesare digitală simplă, care funcţionează după cum urmează:

• luaţi 5 eşantioane (samples) din semnalul de intrare, $d_1, d_2, \ldots, d_5$.
• faceţi o medie a celor 5 eşantioane (samples), $a = 0.2 \cdot (d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5)$
• puneţi la ieşire valoarea curentă $y(n) = a$

Urmăriţi aceşti paşi:

1. Creaţi câteva secvenţe digitale care reprezintă sinusoide de diferite frecvenţe (1, 2, 10, 20, 100 Hz), la aceeaşi frecvenţă de eşantionare (folosiţi acelaşi număr de eşantioane, e.g. $N=128$).
2. Implementaţi sistemul de procesare menţionat mai sus
3. Creaţi secvenţele corespunzătoare de ieşire.
4. Plotaţi toate secvenţele de intrare/ieşire
5. Ce fel de sistem de procesare este acesta ?

În acest exercițiu vom experimenta subeșantionarea, metodă care reduce frecvența de eșantionare, necesară pentru a obține întreg spectru al semnalului.

Un semnal real cu o frecvență purtătoare (centrată) la 3kHz este eşantionată la 8 kHz. Lăţimea de bandă a semnalului este 1 kHz, cum puteţi vedea mai jos:

Task-uri/întrebări:

1. De ce avem energie în ambele frecvenţe $f_c$ şi $-f_c$ ?
2. Folosiţi MATLAB pentru a calcula transformata Fourier Discretă (folosiţi comanda “fft”, aşa cum aţi folosit în laboratorul precedent) a unei sinusoide de $3kHz$ eşantionată la $8kHz$.
3. Plotaţi rezultatele şi observaţi frecvenţele. Acum folosiţi “fftshift” pe rezultatul obţinut de la “fft” şi plotaţi din nou rezultatele.
4. De ce într-un caz avem semnal la $3 kHz$ şi $5 kHz$ în timp ce, în celălalt caz pare să avem la $-3 kHz$ şi $3 kHz$ ?
5. Care este semnificaţia semnalului de $5 kHz$ ? Când plotaţi rezultatele de la “fft” luaţi în considerare că, în mod implicit output-ul transformatei Discrete Fourier, deci şi “fft”, arată frecvenţele de la $0$ la $f_s$ (frecvenţa de eşantionare).
6. Putem să reducem frecvenţa de eşantionare în timp ce încă detectăm spectrul dorit de frecvenţe ? (vedeţi bandpass sampling). Cât de mult putem reduce frecvenţa de eşantionare? Ce se întâmplă dacă reducem frecvenţa de eşantionare sub 2B?

Pentru reconstruirea unui semnal ideea este: - dacă se face sampling pe un semnal cu $f_s > 2 \cdot W$ (unde $W$ este frecvenţa maximă a semnalului, i.e. respectiv Nyquist), atunci puteţi să reconstruiţi din semnalul digital semnalul analog (exceptând o eroare de cuantizare) pe baza unui low pass filter (cu un sinc).

Pentru asta ar trebui să faceţi următorii paşi:

• să construiţi semnalul digital, adică varianta eşantionată a semnalului
• să faceţi din semnalul digital un semnal continuu (analog), în care pentru eşantioanele din semnalul digital se pune valorile (analog) din semnal, iar între eşantioane se pune 0 la ieşire.
• să faceţi convoluţie între un sinc (de frecvenţă fs, dar centrat pe zero, adică un semnal simetric) şi semnalul continuu.

• Responsabil: Ionuţ Gorgos

• Data publicării: 08.11.2016