Show page

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:laboratoare:04 [2018/10/22 13:24]
ionut.gorgos
+++ ps:laboratoare:04 [2020/10/07 18:26] (current)
ionut.gorgos
@@ Line 7: / Line 7: @@
     - Secțiunile 4.5 (Exercițiul 1), 4.7 (Exercițiul 2), 4.6 (Exercițiul 3)
-=== Exercițiul 1 - aproximare de semnale [4p] ===
+=== Exercițiul 1 - aproximare de semnale [6p] ===
-O să folosim din nou semnalul dreptunghiular, de amplitudine 'A' în intervalul [0, T/2] și '-A' în intervalul [T/2, T] care are coeficienții Fourier dați de formula:
-\begin{equation}
+Orice semnal este format dintr-o sumă a o infinitate de sinusoide complexe. Ce se întâmplă dacă facem suma doar peste un număr finit de astfel de termeni, ingorănd termenii de ordin superior? În acest caz vom forma un semnal care aproximează semanlul original, iar aproximarea este cu atât mai bună cu cât folosim mai mulți termeni.
- c_{k} = \left\lbrace
-  \begin{array}{}
-    \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par
-  \end{array}
-  \right.
-\end{equation}
+În acest exercițiu vom vedea cât de bine este aproximat un semnal, prin observarea erorii $\epsilon_{K}$ dintre semnalul original $s(t)$ și aproximarea $s_{K}(t)$ folosind doar termeni de ordin $\le K$ din seria Fourier (termenii corespunzatori $k \in \{-K, \ldots, K\} $ )
+Vom calcula rădăcina pătratică medie (eng. root mean square - RMS) a semnalului de eroare $\epsilon_{K}$ dat de:
-În acest exercițiu vom încerca să calculăm rădăcina medie pătratică (eng. root mean square) a semnalului $\epsilon_{K}$ dat de:
 \begin{equation}
-\epsilon_{K} = s(t) - s_{K}(t),
+\epsilon_{K}(t) = s(t) - s_{K}(t),
 \end{equation}
-unde $s_{K}(t)$ este semnalul aproximat cu K termeni.
+Aproximarea $s_{K}(t)$ este data de primii termeni din Seria Fourier.
-Folosind transformata Fourier avem:
 \begin{equation}
 s_K(t) = \sum_{k=-K}^K c_k e^\frac{j 2 \pi k t}{T}
@@ Line 33: / Line 28: @@
 iar RMS-ul lui $\epsilon_K$ este dat de:
 \begin{equation}
-\text{rms}(\epsilon_K) = \sqrt{2\cdot \sum_{k=K+1}^\infty |c_k|^2}
+\text{rms}(\epsilon_K) = \sqrt{\sum_{k=-\infty}^{-{K+1}} |c_k|^2 + \sum_{k=K+1}^\infty |c_k|^2} = \sqrt{2\cdot \sum_{k=K+1}^\infty |c_k|^2}
 \end{equation}
 Task-ul vostru este să determinați valoarea lui K astfel încât $\text{rms}(\epsilon_K)$ este aproape 0 și după aceea să vedeți că într-adevăr semnalul reconstruit aproximează bine semnalul original.
+O să folosim din nou semnalul dreptunghiular, de amplitudine 'A' în intervalul [0, T/2] și '-A' în intervalul [T/2, T] care are coeficienții Fourier dați de formula:
+\begin{equation}
+ c_{k} = \left\lbrace
+  \begin{array}{}
+    \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par
+  \end{array}
+  \right.
+\end{equation}
 Pentru asta ar trebui să urmăriți următorii pași:
@@ Line 46: / Line 52: @@
 s(1:(T/2)) = A;
 </code>
-  - Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[-10:10]$. Plotați amplitudinile $|c_k|^2$ ca funcție de $k$. [1p]
+  - Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[0:500]$. Plotați amplitudinile $|c_k|^2$ ca funcție de $k$. [1p]
-  - Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[0:500]$. Calculați $\text{rms}(\epsilon_{K})$ ca funcție de $K$ pentru $K \in \{1, \ldots, 500\}$. Plotați valoarea rms pentru $K \in \{1, \ldots, 500\}$.[1p]
+  - Calculam $\text{rms}(\epsilon_{K})$ pentru fiecare $K \in \{1, \ldots, 500\}$. Vedeți explicația de mai jos pentru a putea calcula RMS folosind Teorema lui Parseval. Plotați (cu plot, semilogy și loglog) valoarea rms pentru $K \in \{1, \ldots, 500\}$.[3p]
-  - Determinați cel mai mic $K$ astfel încât $\text{rms}(\epsilon_{K}) < 0.025$ și reconstruiți semnalul original folosind acest număr de coeficienți. Trebuie să folosiți atât coeficienții pozitivi cât și negativi (de ex. de la -K la K) pentru a reconstrui semnalul. Reprezentați grafic semnalul reconstruit și comparați-l cu semnalul inițial. [1p]
+  - Determinați cel mai mic $K$ astfel încât $\text{rms}(\epsilon_{K}) < 0.05$ și reconstruiți semnalul original folosind acest număr de coeficienți. Trebuie să folosiți atât coeficienții pozitivi cât și negativi (de ex. de la -K la K) pentru a reconstrui semnalul. Reprezentați grafic semnalul reconstruit și comparați-l cu semnalul inițial. [1p]
 <note> Semnalele reale au următoarea proprietate: coeficienții Fourier negativi sunt conjugații complexi ai celor pozitivi $c_{-k} = c_{k}^*$. De asemenea, semnalele impare s(-t) = -s(t), au coeficienți complet imaginari, obținând $c_{-k} = -c_{k}$ </note>
-<hidden>
+<note> Pentru a calcula rms al erorii trebuie sa calculam suma pentru toti coeficienții $c_k$ cu $|k|> k_0 $, adica o infinitate de termeni. Putem încerca doar să aproximăm această sumă, sau ne putem folosi de unele proprietăți ale serier Fourier pentru a o calcula exact. Mai precis, vom folosi Teorema lui Parseval prin care putem calcula puterea unui semnal in doua feluri, in domeniul timp, integrand semnalul la pătrat peste o perioadă sau în frecvență calculand suma pătratelor modulului ale fiecărui coeficient
-<note tip>
-A sample solution:
-<code matlab ex1.m>
-A = 1;
-T = 100;
-x = 1:T;
-s = -A*ones(1, T);
-s(1:(T/2)) = A;
-h = figure;
+\begin{equation}
-plot(x,s);
+\frac{1}{T}\int_0^T{s^2(t)dt} = \sum_{-\infty}^{\infty}{|c_k|^2}
-ylabel('Amplitude');
+\end{equation}
-xlabel('Time');
-ylim([-A-0.5, A+0.5]);
-title('Original signal s(t)');
-print(h, '-dpng', 'original_signal.png');
-% Compute some of the Fourier coefficients
+Folosind cele descrise mai sus puteți calcula exact rms-ul erorii:
-cmax = 21;
+  - calculați puterea totala calculând integrala din teorema lui Parseval pentru semnalul dreptunghiular.
-kv = -cmax:cmax;
+  - scădeți pătratele termenilor de la $c_k, k \in \{-K...K\}$ obținând suma termenilor necesari pentru calcularea rms.
-N = length(kv);
+ </note>
-coef = zeros(N,1);
-for i=1:N
-    k = kv(i);
-    if mod(k,2) ~= 0
-        coef(i) = (2*A) / (j*pi*k);
-    end
-end
-% Plot power of coefficients
+=== Exercițiul 2 - filtrare [4p] ===
-h = figure;
-csquare = coef.*coef;
-stem(kv,abs(csquare));
-xlabel('Frequency component (k)');
-ylabel('Magnitude of component');
-title('Fourier coefficients squared');
-print(h, '-dpng', 'squared_coefficients.png');
-% Plot rms of error signal
+Vom vedea în continuare ce efect are un filtru trece-jos asupra unui semnal. În special ne intereseaza care sunt termenii din seria Fourier a semnalului rezultat în urma filtrării.
-cmax = 1000;
-kv = 0:cmax;
-N = length(kv);
-coef = zeros(N,1);
-for i=1:N
-    k = kv(i);
-    if mod(k,2) ~= 0
-        coef(i) = (2*A) / (j*pi*k);
-    end
-end
-kmax = 500;
-rmse = zeros(kmax, 1);
-for i=1:kmax
-    ss = coef(i:end)'*coef(i:end);
-    rmse(i) = sqrt(2*ss);
-end
-h=figure;
-plot(0:(kmax-1), rmse); % Look with plot, semilogy and loglog
-title('RMS of e_k');
-ylabel('RMS(e_k)');
-xlabel('K');
-grid on;
-print(h, '-dpng', 'rms_ek.png');
-% Reconstruct signal with only some of the components
-% Note: need to use both positive and negative k's
-% The fourier coeficients  c(-k) = conj(c(k)), for real signals
-% As the original signal is odd, the fourier coeficient are completly imaginary
-% so c(-k) = -c(k)
-fk = find(rmse < 0.03);
-N = fk(1);
-sr = zeros(1, T);
-for t=1:T
-    for i=1:N
-        sr(t) = sr(t) + coef(i)*exp(j*2*pi*kv(i)*t/T) ...
-                      - coef(i)*exp(-j*2*pi*kv(i)*t/T);
-    end
-end
-h=figure;
-plot(1:T, sr);
-ylim([-A-1, A+1]);
-title('Reconstructed signal s(t)');
-ylabel('Amplitude');
-xlabel('Time');
-print(h, '-dpng', 'reconstructed_signal.png');
-</code>
-</note>
-</hidden>
-=== Exercițiul 2 - filtrare [4p] ===
-În acest exercițiu trebuie să calculăm coeficienții Fourier ai output-ului unui filtru trece-jos, dat fiind un semnal de intrare de tip puls.
+Dacă știm funcția de transfer unui filtru trece-jos (sau alt tip de sistem liniar), care primeste la intrare un semnal (pentru care putem găsi coeficienții Fourier $c_k$) la curs am arătat la curs că putem găsi coeficienții Fourier ($c_k^y$) ai semnalului rezultat ca:
-Pentru un semnal dat putem găsi coeficienții Fourier ($c_k$). Atunci, dacă știm funcția de transfer a filtrului trece-jos (sau alt tip de sistem liniar), am arătat la curs că putem găsi coeficienții Fourier ($c_k^y$) ai semnalului rezultat ca:
 \begin{equation}
 c_k^y = H(\frac{k}{T}) \cdot c_k
@@ Line 157: / Line 81: @@
 Astfel putem reconstrui semnalul de ieșire folosind coeficienții Fourier $c_k^y$.
-Ni se dă ca input un semnal de tip puls cu amplitudine $A=1$ și pulsul de durată $\Delta=\frac{T}{5}$. Știm că coeficienții Fourier ai semnalului sunt dați de:
+În acest exercițiu trebuie să calculăm coeficienții Fourier ai output-ului unui filtru trece-jos, dat fiind un semnal de intrare de tip puls cu amplitudine $A=1$ și pulsul de durată $\Delta=\frac{T}{5}$. Știm că coeficienții Fourier ai semnalului sunt dați de:
 \begin{equation}
 c_k = A \cdot e^{-j\frac{\pi k \Delta}{T}} \cdot \frac{\text{sin}(\frac{\pi k \Delta}{T})}{\pi k} =  A \cdot e^{-j\frac{\pi k \Delta}{T}} \cdot \frac{\Delta}{T} \cdot \text{sinc}(\frac{\pi k \Delta}{T}).
 \end{equation}
 <note> Atenție: Matlab folosește funcția sinc normalizată sinc(x) = $ \frac{\text{sin}(\pi x)}{\pi x}$</note>
 Puteți vedea circuitul filtrului trece-jos în următoarea imagine:
@@ Line 167: / Line 94: @@
 Funcția de transfer a circuitului (pe care am determinat-o la curs și la laboratoarele anterioare) este următoarea:
 \begin{equation}
 H(f=\frac{k}{T}) = \frac{1}{1+j 2 \pi R C \frac{k}{T}}
 \end{equation}
 unde R și C sunt rezistența și respectiv capacitatea.
@@ Line 184: / Line 113: @@
   - Reconstruiți semnalul de output cu ajutorul seriei Fourier (folosind formula de la exercițiul 1) [1p]
-<hidden>
+=== Exercițiul 3 - comunicație digitală [Bonus] ===
-<note tip>
-Ideea este să folosiți seriile Fourier pentru a determina ieșirea filtrului linear.
-<code matlab ex3.m>
-A = 1;
-D = 20;
-T = 100;
-x = 1:T;
-s = zeros(1,T);
-s(1:D) = A;
-h = figure;
-plot(x,s);
-ylabel('Amplitude');
-xlabel('Time');
-ylim([-A-0.5, A+0.5]);
-title('Original signal s(t)');
-print(h, '-dpng', 'pulse_signal.png');
-% Compute some of the Fourier coefficients
-cmax = 20;
-kv = 0:cmax;
-N = length(kv);
-coef = zeros(N,1);
-for i=1:N
-    k = kv(i);
-    coef(i) = (D/T)*A*exp(-j*pi*k*D/T)*sinc(k*D/T);
-end
-% Plot magnitude of pulse's coefficients
-h = figure;
-stem(kv, abs(coef));
-xlabel('Frequency component (k)');
-ylabel('Magnitude of component');
-title('Input Fourier coefficients');
-hold on;
-plot(kv, abs(coef), 'r--');
-print(h, '-dpng', 'coef_pulse.png');
-% Compute coefficients of output after lp filter
-fcoef = zeros(N,1);
-%fc = 0.1/T;
-%fc = 1/T;
-fc = 10/T;
-RC = 1/(2*pi*fc);
-for i=1:N
-    k = kv(i);
-    fcoef(i) = coef(i) / (1+j*2*pi*RC*k/T);
-end
-% Plot magnitude of output's coefficients
-h = figure;
-stem(kv, abs(fcoef));
-xlabel('Frequency component (k)');
-ylabel('Magnitude of component');
-title('Output Fourier coefficients');
-hold on;
-plot(kv, abs(fcoef), 'r--');
-print(h, '-dpng', 'coef_out.png');
-%Construct output signal with the computed coefficients
-sr = zeros(1, T);
-for t=1:T
-    for i=1:N
-        if kv(i) ~= 0
-            sr(t) = sr(t) + fcoef(i)*exp(j*2*pi*kv(i)*t/T) ...
-                    + conj(fcoef(i))*exp(-j*2*pi*kv(i)*t/T);
-        else
-            sr(t) = sr(t) + fcoef(i)*exp(j*2*pi*kv(i)*t/T);
-        end
-    end
-end
-h=figure;
-plot(1:T, sr);
-ylim([-A, A]);
-title('Output filtered signal s(t)');
-ylabel('Amplitude');
-xlabel('Time');
-print(h, '-dpng', 'output_signal.png');
-</code>
-<note>
-If time allows and some of the students are interested, it would be nice to make a SPICE simulation
-(e.g. on ngspice.com) with a pulse signal and an RC low-pass filter to check that the output
-of the simulation is similar to what we did in MATLAB.
-Here is an example of what to write in ngspice to get the "shark teeth" (for fc=ft):
-<code>
-*RC Filter Transient example
-V1 in 0 PULSE(0 1 1ns 1ns 1ns 40us 200us)
-R1 in out 3.2k
-C1 out 0 10n
-.TRAN 10n 1m
-.end
-</code>
-Change the capacitor value to modify the effect of the filter (smaller values mean a weaker filtering, while larger values mean a stronger filtering).
-</note>
-</note>
-</hidden>
-=== Exercițiul 3 - comunicație digitală [2p] ===
 Am văzut la curs că pentru a transmite 2 biți simultan putem  folosi două frecvențe diferite (f1, f2) pentru a coda o valoare de 2 biți:
@@ Line 303: / Line 128: @@
 Notă: pentru a genera o secvență random de valori întregi inspectați funcția 'randi' din MATLAB.
-<hidden>
-<note tip>
-Posibila solutie:
-<code matlab>
-%% Frquency modulation using two frequencies
-close all;
-k1 = 1;
-k2 = 2;
-T = 1;
-f1 = k1/T;
-f2 = k2/T;
-t = 0:T/100:T;
-s1 = sin(2*pi*f1*t);
-s2 = sin(2*pi*f2*t);
-values = randi([0 3], 1, 10);
-nv = length(values);
-s = [];
-for i=1:nv
-    si = zeros(1,length(s1));
-    if mod(values(i), 2) == 1
-        si = si + s1;
-    end
-    if values(i) > 1
-        si = si + s2;
-    end
-    s = [s, si];
-end
-tt = length(s);
-x = ((1:tt) - 1) * nv / tt;
-h1 = figure;
-plot(x, s);
-grid on;
-xlabel('Time (s)');
-ylabel('Amplitude');
-title('Frequency modulated signal');
-print(h1, '-dpng', 'freqmod.png');
-fprintf('The transmitted values are:\n');
-values
-</code>
-</note>
-</hidden>
 /*</hidden>*/

Laboratoare

Resurse

Tema

ps/laboratoare/04.1540203870.txt.gz · Last modified: 2018/10/22 13:24 by ionut.gorgos

Show page Old revisions

Media Manager Back to top