Materiale ajutătoare:

1. D. Johnson's book
   1. Secţiunile 3.9, 3.10, 3.13, 3.14 (pentru Exerciţiul 1)
   2. Secţiunea 4.2 (pentru Exerciţiul 2)

În acest exerciţiu va trebui să analizaţi următorul circuit:

similar cu ce-am făcut la curs.

Pentru asta va trebui să:

1. Găsiţi funcţia de transfer a circuitului [1p]
2. Găsiţi ce face acest circuit (efectele asupra semnalelor de intrare) [1p]
3. Găsiţi frecvenţa de tăiere ca o funcţie de R şi C [1p]
4. Găsiţi nişte valori pentru R şi C, dacă avem nevoie de $f_{c} = 5 kHz$ [1p]
5. Folosiţi SPICE simulator Alternativa pentru a crea circuitul cu aceste valori (uitaţi-vă la exemplul cu filtrul RC tranzitoriu) [1p]
6. Schimbaţi valoarea frecvenței semnalului de intrare astfel încât să fie mai apropiată, mai mică sau mai mare decât frecvența de tăiere $f_{c}$ și verificați rezultatele [1p]

În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu Transformata Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta.

La curs am demonstrat că un semnal dreptunghiular, de amplitudine “A” pe intervalul $[0, \frac{T}{2}]$ și de amplitudine ”-A” pe intervalul $[\frac{T}{2}, T]$ are coeficienții Fourier daţi de formula următoare:

\begin{equation} c_{k} = \left\lbrace \begin{array}{} \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par \end{array} \right. \end{equation}

În acest exerciţiu va trebui să încercaţi să reconstruiţi semnalul dreptunghiular folosind un număr limitat de coeficienţi pentru a vedea diferenţa dintre semnalul original şi cel reconstruit.

Principalii paşi pentru asta sunt:

1. Creaţi semnalul original. Utilizaţi, de exemplu $T = 100$ şi $A = 3$ şi generaţi un semnal cu amplitudinea $3$ peste primele 50 de eşantioane şi $-3$ peste ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100). [1p]
2. Calculaţi coeficienţii Fourier $c_{k}$ pentru $k = [-c_{max}, c_{max}]$. De exemplu pentru $c_{max} = 3$, avem $k = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$. Reprezentaţi grafic coeficienţii şi observaţi simetria lor în jurul lui $k = 0$. Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia 'stem'. De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia 'abs'. [1p]
3. Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula din curs: $s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. [1p]
4. Reprezentaţi grafic noul semnal reconstruit şi comparaţi-l cu originalul. Pentru a plota semnalul va trebui să ajustaţi limita verticală a plot-ului, folosind funcţia 'ylim'. Ajustaţi limita la ceva de genul $[-A-1, A+1]$. [1p]
5. Folosiţi diferite valori pentru $c_{max}$ (de exemplu, 1, 5, 11, 49) şi observaţi diferenţa. Vedeţi cum, folosind din ce în ce mai mulţi coeficienţi, ne permitem să construim mai bine semnalul original. [Bonus 1p]

Graficele voastre trebuie să arate similar cu acestea:

• Responsabil: Darius Necula

• Data publicării: 14.10.2018