Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
|
sda-aa:laboratoare:09 [2021/04/27 09:25] cristian.rusu |
sda-aa:laboratoare:09 [2021/04/28 13:55] (current) cristian.rusu [6. Exerciții laborator] |
||
|---|---|---|---|
| Line 56: | Line 56: | ||
| <note important>Pentru grafuri orientate, ne referim la vecinii la care putem ajunge printr-un arc ce pleacă din C: (C,V).</note> | <note important>Pentru grafuri orientate, ne referim la vecinii la care putem ajunge printr-un arc ce pleacă din C: (C,V).</note> | ||
| - | === 3.2 Definiție === | ||
| + | Paşii algoritmului lui Dijkstra: | ||
| + | <code> | ||
| + | 1. Declarăm două mulţimi: | ||
| + | mulţimea nodurilor neexplorate(MN), iniţial MN conţine toate nodurile; | ||
| + | mulţimea nodurilor explorate(ME) ce compun arborele, iniţial ME = vidă; | ||
| + | 2. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: | ||
| + | 0 pentru nodul sursă(S); | ||
| + | infinit pentru toate celelalte; | ||
| + | 3. Cât timp există noduri în MN | ||
| + | 1. Alegem, din MN(nodurile neexplorate), nodul cu cel mai mic cost estimat | ||
| + | îl numim C(nodul curent) | ||
| + | 2. pentru fiecare din vecinii lui C care se află în MN | ||
| + | 3. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-C) + cost(muchia (C,V)); | ||
| + | 4. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-V): | ||
| + | dacă noul cost e mai bun | ||
| + | 1. actualizăm cost(drumul S-V) = noul cost; | ||
| + | 2. actualizăm parinte(V) = C; (pentru păstrarea muchiei folosite) | ||
| + | altfel păstrăm vechiul cost | ||
| + | 5. Marcăm nodul C ca explorat: îl eliminăm din MN şi îl adăugăm în ME. | ||
| + | (Nu va mai fi verificat) | ||
| + | </code> | ||
| + | === 3.2 Algoritmul Bellman-Ford === | ||
| + | |||
| + | Principii similare pentru algoritmul Bellman-Ford: | ||
| + | * vom construi arborele, începând de la nodul S; | ||
| + | * atribuim un posibil cost (o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul infinit); | ||
| + | * la fiecare evaluare, dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţa muchiilor folosite, actualizăm şi nodul părinte. | ||
| + | * funcţia de estimare a costului este definită la fel ca la algoritmul lui Dijkstra (costul drumului de la S la nodul respectiv) | ||
| + | |||
| + | <note tip>Rezultatul algoritmului va fi un arbore cu N noduri (unde N = |V|, numărul de noduri din graf). Prin urmare, lungimea oricărui drum de la S la alt nod va fi maxim N-1. (Presupunem că nu se repetă muchii)</note> | ||
| + | |||
| + | Diferenţa apare, în algoritmul Bellman-Ford, la alegerea nodurilor pentru care facem evaluarea: | ||
| + | * Algoritmul nu are preferinţe pentru anumite noduri şi nu extrage, la fiecare pas, cel mai bun candidat. | ||
| + | * În schimb, acest algoritm evaluează toate muchiile la un pas. Folosindu-se de principiul de mai sus, (N-1) astfel de paşi vor fi suficienţi. | ||
| + | |||
| + | <note important>În cazul grafurilor neorientate, evaluăm fiecare muchie în ambele sensuri.</note> | ||
| + | |||
| + | Paşii algoritmului Bellman-Ford: | ||
| + | |||
| + | <code> | ||
| + | 1. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: | ||
| + | 0 pentru nodul sursă(S); | ||
| + | infinit pentru toate celelalte; | ||
| + | 2. Executăm de N-1 ori: | ||
| + | 1. Pentru fiecare pereche (u, v) a.i. există muchie de la u la v | ||
| + | 1. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-u) + cost(muchia (u,v)); | ||
| + | 2. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-v): | ||
| + | dacă noul cost e mai bun | ||
| + | 1. actualizăm cost(drumul S-v) = noul cost; | ||
| + | 2. actualizăm parinte(v) = u; (pentru păstrarea muchiei folosite) | ||
| + | altfel păstrăm vechiul cost | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==== 4. Drumul de cost minim între oricare 2 noduri ==== | ||
| + | |||
| + | Următorul algoritm caută cel mai scurt drum de la orice nod sursă (S) la fiecare nod destinaţie (D). | ||
| + | |||
| + | === 4.1. Algoritmul Floyd-Warshall === | ||
| + | |||
| + | Rezultatul algoritmului este o matrice N x N (unde N = |V|, numărul de noduri), iar valorea din matrice de la poziţia [i][j] va fi costul minim pentru drumul i-j. Fie această matrice numită dist. | ||
| + | |||
| + | Pentru simplitate, algoritmul numerotează nodurile de la 1 la N şi foloseşte următoarea construcţie: | ||
| + | * defineşte o funcţie costMinim(i,j,k) = cel mai ieftin drum care: | ||
| + | * pleacă din i | ||
| + | * ajunge în j | ||
| + | * în afară de primul şi de ultimul nod, conţine numai noduri din {1,2,3,…,k}(primele k noduri). | ||
| + | |||
| + | Algoritmul calculează costMinim(i,j,k) pentru toate perechile (i,j,k), folosind formula: costMin(i,j,k+1) = min(costMin(i,j,k), costMin(i,k+1,k) + costMin(k+1,j,k)); | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <note tip>Observaţii: | ||
| + | * costMin(i,j,0) = costMuchie(i,j) (dacă există muchie de la i la j) sau infinit(altfel); | ||
| + | * costMin(i,j,N) = drumul de cost minim de la i la j. | ||
| + | </note> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Paşii algoritmului Floyd-Warshall: | ||
| + | <code> | ||
| + | 1. Declarăm matricile: | ||
| + | dist, matrice N x N şi o iniţializăm dist[i][j] = infinit, pentru orice i şi j | ||
| + | next, matrice N x N în care vom salva prima muchie din drumul i-j de cost minim | ||
| + | //next este necesar doar în cazul în care ne interesează muchiile folosite | ||
| + | //pasul k = 0 | ||
| + | 2. Pentru fiecare nod v | ||
| + | 1. dist[v][v] = 0; | ||
| + | 3. Pentru fiecare pereche (u,v) a.i. există muchie de la u la v | ||
| + | 1. dist[u][v] = costMuchie(u,v); | ||
| + | 2. next[u][v] = v; //pentru urmărirea muchiilor ce compun drumul | ||
| + | //am terminat pasul k = 0 | ||
| + | 4. Pentru fiecare pas k (de la 1 la N) | ||
| + | 1. Pentru fiecare nod i (de la 1 la N) | ||
| + | 1. Pentru fiecare nod j (de la 1 la N) | ||
| + | 1. calculăm costul nou = dist[i][k] + dist[k][j]; | ||
| + | 2. comparăm costul nou cu costul vechi = dist[i][j] | ||
| + | dacă e mai bun costul nou: | ||
| + | 1. dist[i][j] = costul nou; | ||
| + | 2. next[i][j] = next[i][k]; //pentru urmărirea muchiilor | ||
| + | altfel păstrăm costul vechi | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | Pentru obţinerea nodurilor ce formează drumul de cost minim de la u la v, putem folosi următoarea secvenţă: | ||
| + | <code> | ||
| + | funcţie afişareDrum(u, v) | ||
| + | 1. dacă u == v | ||
| + | 1. print(v); STOP | ||
| + | 2. print(u); | ||
| + | 3. afişareDrum(next[u][v], v); | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==== 5. Observaţii finale ==== | ||
| + | |||
| + | <note tip>Cei 3 algoritmi funcţionează bine atunci când toate muchiile au cost pozitiv.</note> | ||
| + | |||
| + | <note warning>Drumul de cost minim NU este bine definit atunci când există cicluri cu cost negativ. | ||
| + | * putem ajunge de la un nod la acelaşi nod, folosind acelaşi ciclu de oricâte ori ⇒ costMinim = -infinit); | ||
| + | * în aceste cazuri, nu putem pune problema găsirii drumurilor de cost minim. | ||
| + | </note> | ||
| + | |||
| + | <note warning>O muchie cu cost negativ este echivalentă cu 2 arce cu cost negativ şi implică existenţa unui ciclu cu cost negativ.</note> | ||
| + | |||
| + | <note tip>Algoritmii Bellman-Ford şi Floyd-Warshall pot detecta dacă un graf conţine cicluri cu cost negativ: | ||
| + | * Bellman-Ford: executăm încă o evaluare a tuturor muchiilor la final. Dacă găsim cel puţin o estimare nouă mai buna, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ. | ||
| + | * Floyd-Warshall: putem verifica, la fiecare pas, dacă avem o valoare negativă pe diagonala matricei dist. Dacă găsim cel puţin o valoare negativă, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ. | ||
| + | </note> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <note important>Pentru algoritmul lui Dijkstra, „garanţia“ se pierde când există chiar şi un singur arc cu cost negativ. | ||
| + | * Algoritmul se bazează pe ideea că, odată explorat un nod, drumul de cost minim până la acel nod a fost găsit, ceea ce NU este mereu corect în prezenţa unui arc cu cost negativ. | ||
| + | * De aceea, algoritmul poate produce răspunsuri greşite în acest caz. | ||
| + | </note> | ||
| + | |||
| + | <note tip>În schimb, algoritmii Bellman-Ford şi Floyd-Warshall funcţionează pe grafurile cu arce cu cost negativ, atâta timp cât drumurile de cost minim sunt bine definite (fără cicluri cu cost negativ).</note> | ||
| + | |||
| + | ==== 6. Exerciții laborator ==== | ||
| + | |||
| + | Folosiți datele din fișierul {{:sda-aa:laboratoare:trains_with_km.zip|}}. | ||
| + | |||
| + | - Citiți datele din arhiva atașată. | ||
| + | - Creați un graf neorientat și altul orientat din fișerele atașate. Creați matricea de adiancență și separat graful de costuri. La punctele următoare folosiți graful neorientat. | ||
| + | - Găsiți stațiile consecutive care au distanța minimă/maximă între ele. (rezultatele în fișierele min.txt și max.txt) | ||
| + | - Câți km de cale ferată există în baza noastră de date? (rezultatele în fișierul total.txt) | ||
| + | - Calculați drumul de cost minim de la București la orașul vostru natal. (rezultatele în fișierul ruta.txt) | ||
| + | - Găsiți stația (nodul) cea mai departe de București și drumul. (rezultatele în fișierul departe.txt) | ||
| + | - Găsiți toate drumurile de la București la Oradea. (rezultatele în fișierul bucuresti_oradea.txt) | ||
| + | - Găsiți cele două stații din graf care sunt la distanța maximă (pe drumul de cost minim). (rezultatele în fișierul drum_lung.txt) | ||
| + | |||
| + | ==== 7. Probleme opționale, de interviu ==== | ||
| + | |||
| + | - Îmbunătățiți algoritmul lui Dijkstra folosind min-heap. | ||
| + | - Se dă un graf pentru care se cunoaşte drumul de cost minim de la un nod sursă (S) la un nod destinaţie (D). Dacă adăugăm 100 la costul fiecărei muchii, se modifică drumul de cost minim? (dacă da, daţi un exemplu; dacă nu, explicaţi de ce). | ||
| + | - Aceeaşi întrebare dacă înmulţim fiecare cost cu 100. | ||
| + | - Cum găsiţi (mai rapid decât cu cei 3 algoritmi prezentaţi) drumul de cost minim de la S la D într-un graf în care toate muchiile au acelaşi cost(1)? Cum adaptaţi soluţia în cazul în care toate muchiile au costul 1 sau 2? | ||
| + | - Daţi un exemplu în care folosirea algoritmului lui Dijkstra (pentru a obţine drumul de cost minim pentru toate perechile de noduri) ar fi mai rapidă decât algoritmul Floyd-Warshall. | ||
| + | |||
| + | ==== 8. Referințe ==== | ||
| + | - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm|Algoritmul lui Dijkstra]] | ||
| + | - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm|Algoritmul lui Bellman Ford]] | ||
| + | - [[http://www.algorithmist.com/index.php/Floyd-Warshall's_Algorithm|Algoritmul lui Floyd-Warshall]] | ||
| + | - [[https://profs.info.uaic.ro/~busaco/teach/courses/net/docs/protocoale_rutare.pdf|Protocoale de rutare]] | ||
