• Calculul complexităţii algoritmilor
• Implementarea unor algoritmi de sortare

Analiza complexității unui algoritm are ca scop estimarea volumului de resurse de calcul necesare pentru execuția algoritmului. Prin resurse se înțelege:

• Spațiul de memorie necesar pentru stocarea datelor pe care le prelucrează algoritmul.
• Timpul necesar pentru execuția tuturor prelucrărilor specificate în algoritm.

Această analiză este utilă pentru a stabili dacă un algoritm utilizează un volum acceptabil de resurse pentru rezolvarea unei probleme. In acest fel timpul de executie va fi exprimat prin numarul de operatii elementare executate. Sunt considerate operatii elementare cele aritmetice (adunare, scadere, inmulțire, impartire), comparatiile si cele logice (negatie, conjuncte și disjunctie).

Este așadar suficient sa se contorizeze doar anumite tipuri de operații elementare, numite operații de bază. Timpul de executie al intregului algoritm se obtine insumand timpii de executie ai prelucrarilor componente.

Exemplul 1 - Suma a n numere

Consideram problema calculului sumei . Dimensiunea acestei probleme poate fi considerata n. Algoritmul si tabelul cu costurile corespunzatoare prelucrărilor sunt prezentate ın Tabel. Insumand timpii de executie ai prelucrarilor elementare se obtine: $T(n)=n(c_3 + c_4 + c_5) + c_1 + c_2 + c_3$ deci $T(n)=k_1n + k_2$, adica timpul de executie depinde liniar de dimensiunea problemei. Costurile operatiilor elementare influenteaza doar constantele ce intervin in functia $T(n)$.

Exemplul 2 - Înmulțirea a 2 matrici

Consideram problema determinarii produsului a doua matrici: A de dimensiune $m \times n$ si B de dimensiune $n \times p$. In acest caz dimensiunea problemei este determinata de trei valori: $(m, n, p)$.

In practica nu este necesara o analiza atat de detaliata ci este suficient sa se identifice operatia dominantă si sa se estimeze numarul de repetari ale acesteia. Prin operatie dominanta se ıntelege operatia care contribuie cel mai mult la timpul de executie a algoritmului si de regulă este operatia ce apare ın ciclul cel mai interior. În exemplul ar putea fi considerata ca operatie dominanta, operatia de ınmultire. In acest caz costul executiei algoritmului ar fi $T(m, n, p)=mnp$.

Numim sortare orice aşezare(sau - mai clar - reaşezare) a unor elemente date în aşa fel încât, după aşezare, să existe o ordine completă în funcţie de un atribut(numit cheie) al elementelor.

Pentru a exista o ordine completă, trebuie să alegem o relaţie pe care vrem sa o impunem. Dacă relaţia este valabilă între oricare două elemente pentru care primul element este aşezat la stânga celui de-al doilea, atunci avem o ordine completă.

Exemplu: dacă alegem drept cheie un atribut număr întreg şi relaţia mai mic sau egal, obţinem ordinea crescătoare.

Vom descrie un algoritm de sortare prin:

• timp mediu - timpul de execuţie la care ne aşteptăm, în medie, pentru sortare
• timp la limită- timpul de execuţie pentru cel mai rău caz posibil
• memorie - memoria maximă de care are nevoie algoritmul pentru sortare(excludem memoria deja alocată înainte de algoritm → vectorul efectiv ce va fi sortat)
• stabilitate - un algoritm stabil păstrează ordinea în care apar două elemente cu aceeaşi cheie(atributul după care sortăm)

Folosim notaţia O(n) pentru a indica:

• un număr de operaţii de ordinul lui n. În acest caz, spunem că avem „complexitate de timp de ordinul lui n“
• o dimensiune de ordinul lui n pentru memoria alocată. În acest caz, spunem că avem „complexitate de spaţiu de ordinul lui n“

In acest curs ati vazut deja algoritmi de sortare precum

• Bubble sort - interschimbare
• Selection sort - selecţie
• Insertion sort - inserare
• Merge sort - interclasare
• Quick sort - partiţionare

Caracteristici:

• timp mediu: O(N^2)
• timp la limită: O(N^2)
• memorie: O(1)
• Stabil: DA

Descriere: Sortarea prin metoda bulelor se consideră drept una din cele mai puţin efective metode de sortare, dar cu un algoritm mai simplu.

Ideea de bază a sortării prin metoda bulelor este în a parcurge tabloul, de la stânga spre dreapta, fiind comparate elementele alăturate a[i] si a[i+1]. Dacă vor fi găsite 2 elemente neordonate, valorile lor vor fi interschimbate. Parcurgerea tabloului de la stânga spre dreapta se va repeta atât timp cât vor fi întâlnite elemente neordonate.