În urma parcurgerii acestui laborator studentul va fi capabil să:

• înțeleagă principiul de funcționare al structurilor de date stivă şi coadă
• implementeze o stivă şi o coadă folosind un vector pentru stocarea elementelor
• transforme o expresie din forma infixată în formă postfixată
• să evalueze o expresie în formă postfixată
• implementeze algoritmul de sortare Radix Sort

O stivă este o instanță a unui tip de date abstract ce formalizează conceptul de colecţie cu acces restricționat. Restricția respectă regula LIFO (Last In, First Out).

Accesul la elementele stivei se face doar prin vârful acesteia.

Operații:

• push – adaugă un element (entitate) în stivă. Adăugarea se poate face doar la vârful stivei.
• pop – șterge un element din stivă și îl returnează. Ștergerea se poate face doar la vârful stivei.
• peek – consultă (întoarce) elementul din vârful stivei fără a efectua nicio modificare asupra acesteia.
• isEmpty – întoarce 1 dacă stiva este goală; 0 dacă are cel puțin un element

O structură de date definește un set de operații și funcționalitatea acestora.
Implementarea efectivă a unei structuri de date poate fi realizată în diverse moduri, cât timp funcționalitatea este păstrată.

O stivă poate fi implementată cu ajutorul unui vector sau cu liste înlănțuite.

În cadrul acestui laborator, ne vom concentra asupra implementării unei stive cu ajutorul unui vector de stocare.

La nivel de implementare, stiva este reprezentată printr-o clasă ce folosește (pe lângă operațile ce pot fi efectuate asupra ei) un vector de stocare (stackArray) de o dimensiune maximă dată (NMAX) și un indice ce indică vârful stivei(topLevel).

stack.h

#ifndef __STACK__H
#define __STACK__H
 
// Primul argument al template-ului este tipul de date T
// Al doilea argument este dimensiunea maxim a stivei N
template<typename T, int N>
class Stack {
    private:
        // Vectorul de stocare
        T stackArray[N];
 
        // Pozitia in vector a varfului stivei
        int topLevel;
 
    public:
        // Constructor
        Stack() {
            // TODO: initializari
        }
 
        // Destructor
        ~Stack() {
            // TODO: eliberare resurse, daca este cazul
        }
 
        // Operator de adaugare
        void push(T x) {
            // TODO: verificari, implementare
        }
 
        // Operatorul de stergere
        T pop() {
            // TODO: verificari, implementare
        }
 
        // Operatorul de consultare
        T peek() {
            // TODO: verificari, implementare
        }
 
        // Operatorul de verificare dimensiune
        int isEmpty() {
            // TODO: implementare
        }
};
 
#endif //__STACK__H

Forma poloneză inversă este o notație matematică în care fiecare operator urmează dupa toți operanzii săi.

Cel mai simplu exemplu de notație postfixată este cel pentru doi operanzi și un operator:

În cazul în care există mai multe operații, operatorul apare imediat după cel de-al doilea operand:

Avantajul major al formei poloneze inverse este faptul că elimină parantezele din cadrul expresilor:

1. cât timp există elemente de citit
    1.1 citește un element
    1.2 dacă elementul este un număr, afișare (se adaugă la forma 
        postfixată)
    1.3 dacă elementul este o paranteză stângă, adaugă-l în stivă
    1.4 dacă elementul este o paranteză dreaptă, extrage operatorii din
        stivă și adaugă-i la forma postfixată până când vârful stivei
        ajunge o paranteză stângă (care este extrasă, dar nu este 
        adăugată la forma postfixată).

    !!! dacă stiva s-a golit fără să fie găsită o paranteză stângă, 
        înseamnă că expresia inițială avea paranteze greșite
    1.5 dacă elementul este un operator (fie el O1)
        1.5.1 cât timp există un alt operator în vârful stivei (fie el O2)
	      ȘI precedența lui O1 este MAI MICA SAU EGALA decât cea a lui O2, extrage O2
	      din stivă, afișare (se adaugă la forma postfixată)
        1.5.2 adaugă O1 în stivă
2. când nu mai există elemente de citit, extrage toate elementele rămase
   în stivă și adaugă-le la forma postfixată (elementele trebuie să fie 
   numai operatori; dacă este extrasă o paranteză stângă expresia inițială
   avea parantezele greșite).

Fie expresia:

1 - 7 * 2 /(3 + 5)^2^5

1. cât timp există elemente de citit
    1.1 citește un element
    1.2 dacă elementul este o valoare
            1.2.1 pune elementul în stivă
        altfel (elementul este un operator)
            1.2.2 extrage 2 operanzi din stivă
            1.2.3 dacă nu există 2 operanzi în stivă
                EROARE: forma postfixată nu este corectă
            1.2.4 evaluează rezultatul aplicării operatorului asupra celor doi
                  operanzi
            1.2.5 pune rezultatul în stivă
2. dacă există o singură valoare în stivă
        2.1 afișează valoarea ca rezultat final al evaluării expresiei
    altfel
        EROARE: forma postfixată nu este corectă

O coadă este o structură de date ce modelează un buffer de tip FIFO (First In, First Out). Astfel, primul element introdus în coadă va fi și primul care va fi scos din coadă.

Operații:

• enqueue – adaugă un element (entitate) în coadă. Adăugarea se poate face doar la sfârșitul cozii.
• dequeue – șterge un element din coadă și îl returnează. Ștergerea se poate face doar la începutul cozii.
• front – consultă (întoarce) elementul din capul cozii fără a efectua nicio modificare asupra acesteia.
• isEmpty – întoarce 1 dacă coada este goală; 0 dacă are cel puțin un element

Dequeue (sau coadă cu dublu access) este o structură de tip coadă în care însă accesul (introducere / extragere de elemente) se poate realiza “prin ambele capete”. De cele mai multe ori sunt implementate folosind liste dublu înlănţuite. Dintr-un anume punct de vedere, se poate considera că atât stiva cât şi coada clasică sunt specializări ale tipului abstract dequeue întrucât ambele se pot implementa folosind dequeue (şi restrângând operaţiile ce se realizează asupra sa).

Coada prioritară reprezintă un tip de coadă în care fiecare element are asociată o anume prioritate. În aceste condiţii, operaţiile de bază asupra cozii devin:

• enqueue - adaugă la coadă un element cu prioritatea specificată
• dequeue - extrage elementul cu cea mai mare prioritate
• front - examinează elementul cu cea mai mare prioritate fără a-l extrage din coadă

La fel ca și stivele, cozile se pot implementa cu ajutorul unui vector sau cu liste înlănțuite. În cadrul acestui laborator, ne vom concentra asupra implementării unei cozi cu ajutorul unui vector de stocare.

Vom avea doi indici (head și tail) ce vor reprezenta începutul, respectiv sfârșitul cozii în cadrul vectorului. Apare însă următoarea problemă din punctul de vedere al spațiului neutilizat: întotdeauna spațiul de la 0 la head-1 va fi nefolosit, iar numărul de elemente ce pot fi stocate în coadă va scădea (având inițial N elemente ce pot fi stocate, după ce se extrage prima oară un element, mai pot fi stocate doar N-1 elemente). Vrem ca întotdeauna să putem stoca maxim N elemente.

Soluția: vector circular.

La nivel de implementare, coada este reprezentată printr-o clasă template ce folosește (pe lângă operațiile ce pot fi efectuate asupra ei) un vector de stocare (queueArray) de o dimensiune maximă specificată ca al doilea argument al template-ului (N), doi indici ce indică începutul (head) şi sfârşitul cozii (tail). De asemenea, se reţine şi dimensiunea curentă a cozii (size) pentru a putea spune când aceasta este plină sau vidă.

queue.h

template <typename T, int N>
class Queue {
    private:
        int head;
        int tail;
        int size;
        T queueArray[N];
 
    public:
        // Constructor
        Queue() {
            // TODO
        }
 
        // Destructor
        ~Queue() {
            // TODO
        }
 
        // Adauga la coada
        void enqueue(T e) {
            // TODO
        }
 
        // Extrage din coada
        T dequeue() {
            // TODO
        }
 
        // Afla primul element
        T front() {
            // TODO
        }
 
        bool isEmpty() {
            // TODO
        }
};

Sa presupunem ca avem o multime de puncte unidimensionale si sortate. Dorim sa gasim intervalul de marime k > 0 care are cele mai multe puncte in interiorul acestuia. Aceasta problema se poate rezolva printr-o singura parcurgere a sirului de numere. Consideram o coada initial vida. Pe masura ce parcurgem sirul, adaugam elemente in coada. Atata timp cat elementul pe care urmeaza sa-l adaugam este la o distanta mai mare decat k fata de capul cozii, atunci putem apela metoda dequeue pentru a scoate elementul din capul cozii. Elementul poate fi scos deoarece se afla la o distanta mai mare de k fata de ultimul element introdus si deci nu mai trebuie luat in considerare.

Exemplu:

Fie sirul de numere:

1, 2, 4, 20, 21, 22, 23, 60, 100, 101, 111

Dorim sa aflam cel mai mare interval de numere a caror distanta intre capete sa fie cel mult 3([x … x + 3])

Introducem primul element in coada:

queue = { 1 }

Dupa urmatoarele 2 iteratii coada va arata asa:

queue = { 1, 2, 4 }

Urmatoarea iteratie ajungem la numarul 20

20 se afla la distanta mai mare de 3 decat toate elementele aflate momentan in coada, asa ca vor fi scoase toate si introdus 20

queue = { 20 }

La final programul va returna numerele

result = { 20, 21, 22, 23 }

Radix Sort este un algoritm de sortare care ţine cont de cifre individuale ale elementelor sortate. Aceste elemente pot fi nu doar numere, ci orice altceva ce se poate reprezenta prin întregi. Majoritatea calculatoarelor digitale reprezintă datele în memorie sub formă de numere binare, astfel că procesarea cifrelor din această reprezentare se dovedeşte a fi cea mai convenabilă. Există două tipuri de astfel de sortare: LSD (least significant digit) şi MSD (most significant digit). LSD procesează reprezentările dinspre cea mai puţin semnificativă cifră spre cea mai semnificativă, iar MSD invers.

O versiune simplă a radix sort este cea care foloseşte 10 cozi (câte una pentru fiecare cifră de la 0 la 9). Aceste cozi vor reţine la fiecare pas numerele care au cifra corespunzătoare rangului curent. După această împărţire, elementele se scot din cozi în ordinea crescătoare a indicelui cozii (de la 0 la 9), şi se reţin într-un vector (care devine noua secvenţă de sortat). Exemplu:

Secvenţa iniţială:

170, 45, 75, 90, 2, 24, 802, 66

Numere sunt introduse în 10 cozi (într-un vector de 10 cozi), în funcţie de cifrele de la dreapta la stânga fiecărui număr.

Cozile pentru prima iteraţie vor fi:

  * 0: 170, 090 
  * 1: nimic 
  * 2: 002, 802 
  * 3: nimic 
  * 4: 024 
  * 5: 045, 075 
  * 6: 066 
  * 7 - 9: nimic 

a. Se face dequeue pe toate cozile, în ordinea crescătoare a indexului cozii, şi se pun numerele într-un vector, în ordinea astfel obţinută:

Noua secvenţă de sortat:

170, 090, 002, 802, 024, 045, 075, 066

b. A doua iteraţie:

Cozi:

  * 0: 002, 802 
  * 1: nimic 
  * 2: 024 
  * 3: nimic
  * 4: 045 
  * 5: nimic
  * 6: 066 
  * 7: 170, 075 
  * 8: nimic 
  * 9: 090 

Noua secvenţă:

002, 802, 024, 045, 066, 170, 075, 090

c. A treia iteraţie:

Cozi:

  * 0: 002, 024, 045, 066, 075, 090 
  * 1: 170 
  * 2 - 7: nimic
  * 8: 802 
  * 9: nimic

Noua secvenţă:

002, 024, 045, 066, 075, 090, 170, 802 (sortată) 

Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship, part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.

1. Implementați, folosind un singur vector, 3 stive
2. Scrieți un program cu ajutorul căruia să sortați o stivă. Nu aveți acces decât la operațiile push(), pop(), top() și isEmpty()
3. Adăugaţi structurii de stivă o nouă funcţie numită min, funcţie care returnează cel mai mic element. Push, pop şi min trebuie să aibă complexitate O(1)
4. Descrieți cum este folosită stiva sistemului în cazul transmiterii parametrilor apelului unei funcții
5. Implementaţi operaţiile elementare ale unei stive folosind două cozi . Problema admite două versiuni: una în care operaţia pop este eficientă, iar cealaltă în care operaţia push este eficientă.
6. Implementaţi operaţiile elementare ale unei cozi folosind două stive.
7. Presupunând că avem o coadă ce conţine un număr mare de elemente, coada neputând fi ţinută în memorie. Prezentaţi o modalitate de a implementa operaţiile enqueue şi dequeue.
8. Să se implementeze o coadă ce are şi operaţia findmax, pe lângă operaţiile enqueue şi dequeue. Findmax trebuie să returneze cea mai mare valoare aflată în coadă la momentul respectiv. Oferiţi o implementare eficientă.
9. Cum s-ar implementa o stivă folosind o coadă de priorităţi?
10. De câte cozi este nevoie ca să se poată implementa o coadă de priorităţi?

[1] C++ Reference

[2] Array Stack Visualization

[3] Linked List Stack Visualziation

[4] - Array Queue Visualization

[5] - Linked List Queue Visualization

[6] - Queue STL Implementation

[7] - Priority Queue STL Implementation