Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
|
ps:labs_python:09 [2023/10/19 13:30] constantin.savu1510 created |
ps:labs_python:09 [2023/12/13 09:00] (current) ionut.gorgos |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| ===== Laboratorul 09. ===== | ===== Laboratorul 09. ===== | ||
| - | <hidden> | ||
| ==== Convoluția, filtre FIR și metoda de proiectare folosind ferestre ==== | ==== Convoluția, filtre FIR și metoda de proiectare folosind ferestre ==== | ||
| - | Prezentarea PowerPoint pentru acest laborator poate fi găsită aici: [[https://docs.google.com/presentation/d/16NWgSnRxFygNBcrHc7IvEfMR_MzZxyu7/edit?usp=sharing&ouid=110538702824281541719&rtpof=true&sd=true|aici]] | ||
| În acest laborator vom face câteva exerciții pentru a ne familiariza cu operația de convoluție precum și cu filtre cu răspunsul finit la impuls (finite impulse response - FIR) și cu metode de proiectare a acestora prin metode folosind ferestre. | În acest laborator vom face câteva exerciții pentru a ne familiariza cu operația de convoluție precum și cu filtre cu răspunsul finit la impuls (finite impulse response - FIR) și cu metode de proiectare a acestora prin metode folosind ferestre. | ||
| Line 17: | Line 15: | ||
| $y(n) = h(k) \ast x(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k) \cdot x(n-k)$, | $y(n) = h(k) \ast x(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k) \cdot x(n-k)$, | ||
| - | unde $M$ este lungimea secvenței h(k). De reținut că această operație definește un //singur// element de ieșire y(n). Pentru următorul element de ieșire, y(n+1), trebuie sa shiftăm secvența h(k) astfel încât să se potrivească cu elementele [x(n+1), x(n), ..., x(n-M+2)]. Vedeți slide-urile 5 și 6 {{:ps:labs:fir_lyons.pdf|aici}}. | + | unde $M$ este lungimea secvenței h(k). De reținut că această operație definește un //singur// element de ieșire y(n). Pentru următorul element de ieșire, y(n+1), trebuie să shiftăm secvența h(k) astfel încât să se potrivească cu elementele [x(n+1), x(n), ..., x(n-M+2)]. Vedeți slide-urile 5 și 6 {{:ps:labs:fir_lyons.pdf|aici}}. |
| În general presupunem că secvența h(k) are un număr $M$ finit și, în general, mic de elemente. | În general presupunem că secvența h(k) are un număr $M$ finit și, în general, mic de elemente. | ||
| - | /*<hidden>*/ In our context, these elements will usually be the //taps// of a filter, and the convolution operation will be used to filter an input sequence x(n), as we shall see in the following exercises. /*</hidden>*/ | ||
| Rezolvați următoarele exerciții: | Rezolvați următoarele exerciții: | ||
| - Dacă x(n) are N elemente și h(k) are M elemente, câte elemente are secvența obținută prin convoluție $h(k) \ast x(n)$? (presupunând că efectuăm convoluția doar pe elementele diferite de zero, adică atunci când elementele celei mai scurte secvențe se suprapun în totalitate cu elementele celeilalte) | - Dacă x(n) are N elemente și h(k) are M elemente, câte elemente are secvența obținută prin convoluție $h(k) \ast x(n)$? (presupunând că efectuăm convoluția doar pe elementele diferite de zero, adică atunci când elementele celei mai scurte secvențe se suprapun în totalitate cu elementele celeilalte) | ||
| - | - Fie x(n) secvența [1, 3, 5, 7, 5, 4, 2] și h(k) secvența [0.1, 0.3, 0.1]. Secvența obținută prin convoluție $y(n) = h(k) \ast x(n), n \in \{1,2,3,4,5\}$ ar trebui sa aibă 5 elemente. Scrieți fiecare dintre aceste elemente ca un produs scalar. Observați că trebuie să inversați ordinea secvenței x(n) (doar partea care se înmulțeste cu filtrul) înainte să o înmulțiți cu h(k) (alternativ, puteți inversa o singură dată elementele filtrului). | + | - Fie x(n) secvența [1, 3, 5, 7, 5, 4, 2] și h(k) secvența [0.1, 0.3, 0.1]. Secvența obținută prin convoluție $y(n) = h(k) \ast x(n), n \in \{1,2,3,4,5\}$ ar trebui să aibă 5 elemente. Scrieți fiecare dintre aceste elemente ca un produs scalar. Observați că trebuie să inversați ordinea secvenței x(n) (doar partea care se înmulțeste cu filtrul) înainte să o înmulțiți cu h(k) (alternativ, puteți inversa o singură dată elementele filtrului). |
| - | - Fie x(n) o secvență de $N=64$ elemente corespunzătoare unei sinusoide de frecvență $f=3$ kHz, eșantionată cu $f_s=64$ kHz. Fie h(k) secvența [0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1]. Generați aceste secvențe în MATLAB și implementați convoluția pentru a obține elementele $y(n) = h(k) \ast x(n)$. Plotați inputul x(n) și ieșirea y(n); folosiți funcția //stem// în locul funcției //plot// pentru acest exercițiu. | + | - Fie x(n) o secvență de $N=64$ elemente corespunzătoare unei sinusoide de frecvență $f=3$ kHz, eșantionată cu $f_s=64$ kHz. Fie h(k) secvența [0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1]. Generați aceste secvențe în Python și implementați convoluția pentru a obține elementele $y(n) = h(k) \ast x(n)$. Plotați inputul x(n) și ieșirea y(n); folosiți funcția //stem// în locul funcției //plot// pentru acest exercițiu. |
| - Înlocuiți x(n) cu secvența de impuls cu 9 elemente [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0] și efectuați convoluția cu aceeași secvență h(k) ca mai sus. Ce obțineți ca y(n)? Cum se numește aceasta? | - Înlocuiți x(n) cu secvența de impuls cu 9 elemente [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0] și efectuați convoluția cu aceeași secvență h(k) ca mai sus. Ce obțineți ca y(n)? Cum se numește aceasta? | ||
| - | - Încercați operațiile de mai sus folosind funcția MATLAB //conv//. Obțineți aceleași rezultate? Care sunt diferențele? | + | - Încercați operațiile de mai sus folosind funcția //np.convolve// din NumPy sau //signal.convolve// din //scipy.signal//. Obțineți aceleași rezultate? Care sunt diferențele? |
| + | - [<color red>BONUS</color>] Teorema Convoluției. Convoluția în timp [ $h(k) \ast x(n)$ ] este echivalentă cu înmulțirea element cu element a spectrelor în frecvență [ $H(m) \cdot X(m)$ ] și invers. Pentru a testa asta faceți următorii pași: | ||
| + | * Folosiți secvența h(k) = [0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1], dar adăugați încă 59 de zerouri la finalul ei, precum am făcut în laboratoarele precedente. | ||
| + | * Aplicați FFT peste această secvență și afișați spectrul ei (cu stem). | ||
| + | * Aplicați FFT peste sinusoida de la subpunctul 3 și afișați spectrul ei (cu stem). | ||
| + | * Înmulțiți element cu element cele două spectre și afișați rezultatul cu stem. S-a modificat ceva? | ||
| + | * Reveniți în domeniul timp folosind //ifft// și //np.real//. | ||
| + | * Comparați rezultatul de mai sus cu cel al funcției //np.convolve// din NumPy sau //signal.convolve//, setând parametrul //mode='full'// și păstrând doar primele N elemente. Obțineți aceleași rezultate? Care sunt diferențele? | ||
| <note tip> | <note tip> | ||
| Line 43: | Line 47: | ||
| * Țineți minte că acest spectru poate fi văzut ca ieșirea din DFT(FFT), adică primul element corespunde frecvenței //0//, pe când următoarele //N/2-1// corespund frecvențelor pozitive, iar ultimele //N/2// componente reprezintă frecvențele negative. | * Țineți minte că acest spectru poate fi văzut ca ieșirea din DFT(FFT), adică primul element corespunde frecvenței //0//, pe când următoarele //N/2-1// corespund frecvențelor pozitive, iar ultimele //N/2// componente reprezintă frecvențele negative. | ||
| - | - Acum aplicați inversa DFT(în practică inversa FFT, //ifft// în MATLAB) pentru a obține secvența corespunzătoare în domeniul timp hk(n). Rețineți: trebuie să aplicați funcția //ifftshift// pe rezultat pentru a obține o funcție sinc simetrică, adică folosiți ceva precum: <code matlab>hk = ifftshift(ifft(HK));</code> | + | - Acum aplicați inversa DFT(în practică inversa FFT, //ifft// în Python) pentru a obține secvența corespunzătoare în domeniul timp hk(n). Rețineți: trebuie să aplicați funcția //ifftshift// pe rezultat pentru a obține o funcție sinc simetrică, adică folosiți ceva precum: <code python>hk = ifftshift(ifft(HK));</code> |
| - | - Trunchiați secvența hk(n) prin selectarea a doar //L=65// de eșantioane din centru(32 din stânga maximului funcției sinc, maximul funcției, și 32 de eșantioane din dreapta). Aceasta corespunde multiplicării secvenței hk(n) cu o fereastră rectangulară centrată în punctul maxim al funcției sinc. Plotați secvența. | + | - Trunchiați secvența hk(n) prin selectarea a doar //L=65// de eșantioane din centru(32 din stânga maximului funcției sinc, maximul funcției, și 32 de eșantioane din dreapta). Aceasta corespunde multiplicării secvenței hk(n) cu o fereastră dreptunghiulară centrată în punctul maxim al funcției sinc. Plotați secvența. |
| - | - Aplicați DFT(//fft//) pe secvența trunchiată, adică cea înmulțită cu fereastra rectangulară (care conține doar 1) și plotați spectrul (cu //plot//). Rețineți: este important aici, precum și la primul plot pentru filtru trece-jos ideal, să notăm axa frecvențelor (axa x) ca o funcție de $F_s$, adică de la //0// la //1//. Vedeți diferențe față de filtrul ideal trece-jos? Acestea sunt efectele ferestrei dreptunghiulare. | + | - Aplicați DFT(//fft//) pe secvența trunchiată, adică cea înmulțită cu fereastra dreptunghiulară (care conține doar 1) și plotați spectrul (cu //plot//). Rețineți: este important aici, precum și la primul plot pentru filtru trece-jos ideal, să notăm axa frecvențelor (axa x) ca o funcție de $F_s$, adică de la //0// la //1//. Vedeți diferențe față de filtrul ideal trece-jos? Acestea sunt efectele ferestrei dreptunghiulare. |
| - | - Folosiți aceeași secvență trunchiată (hk(n)), dar înmulțiți-o cu o fereastră precum //Blackman// (//blackman// în MATLAB). Efectuați din nou DFT și plotați spectrul (cu //plot//). Arată mai bine?. | + | - Folosiți aceeași secvență trunchiată (hk(n)), dar înmulțiți-o cu o fereastră precum //Blackman// (//np.blackman// în Python). Efectuați din nou DFT și plotați spectrul (cu //plot//). Arată mai bine?. |
| - | - În final, folosiți ca intrare sinusoida din Exercițiul 1 ca x(n) și filtrați-o printr-o convoluție cu secvența obținută mai sus după folosirea ferestrei Blackman(folosiți funcția //conv// din MATLAB). Plotați intrarea și ieșirea în aceeași figură folosind //stem// pentru a observa efectele filtrului. | + | - În final, folosiți ca intrare sinusoida din Exercițiul 1 ca x(n) și filtrați-o printr-o convoluție cu secvența obținută mai sus după folosirea ferestrei Blackman(folosiți funcția //np.convolve// din NumPy sau //signal.convolve// din //scipy.signal//). Plotați intrarea și ieșirea în aceeași figură folosind //stem// pentru a observa efectele filtrului. |
| - | === Exercițiul 3 -- Proiectarea rapidă de filtre FIR folosind MATLAB === | + | === Exercițiul 3 -- Proiectarea rapidă de filtre FIR folosind Python === |
| [<color red>2p</color>] | [<color red>2p</color>] | ||
| - | Putem descrie un filtru (sistem liniar) cu feedback(IIR având termenii $a_i$ mai jos) sau fără feedback (FIR) folosind o ecuație cu diferențe precum: | + | Putem descrie un filtru (sistem liniar) cu feedback (IIR având termenii $a_i$ mai jos) sau fără feedback (FIR) folosind o ecuație cu diferențe precum: |
| $y(n) = b_0 \cdot x(n) + b_1 \cdot x(n-1) + \ldots + b_q \cdot x(n-q) + a_1 \cdot y(n-1) + \ldots + a_p \cdot y(n-p)$ | $y(n) = b_0 \cdot x(n) + b_1 \cdot x(n-1) + \ldots + b_q \cdot x(n-q) + a_1 \cdot y(n-1) + \ldots + a_p \cdot y(n-p)$ | ||
| Putem reprezenta întârzierile $x(n-1)$ ca $z^{-1} \cdot x(n)$, unde $z=e^{j2\pi}$. | Putem reprezenta întârzierile $x(n-1)$ ca $z^{-1} \cdot x(n)$, unde $z=e^{j2\pi}$. | ||
| Apoi, obținem o ecuație care depinde doar de $x(n)$ și $y(n)$ și obținem funcția de transfer a filtrului $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$ precum: | Apoi, obținem o ecuație care depinde doar de $x(n)$ și $y(n)$ și obținem funcția de transfer a filtrului $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$ precum: | ||
| + | |||
| $H(z) = \frac{\sum_{k=0}^q b_k \cdot z^{-k}}{1 - \sum_{k=1}^p a_k \cdot z^{-k}}$ | $H(z) = \frac{\sum_{k=0}^q b_k \cdot z^{-k}}{1 - \sum_{k=1}^p a_k \cdot z^{-k}}$ | ||
| - | În MATLAB, puteți folosi funcția //fir1// pentru a obține rapid elementele $b_i$ ale unui filtru FIR trece-jos, trece-bandă sau trece-sus(ignorați coeficienții $a_i$ deocamdată). Apoi puteți folosi funcția //filter// pentru a filtra orice secvență folosind coeficienții $b_i$ dați de //fir1//, iar $a_0=1$. | + | În Python, puteți folosi funcția //signal.firwin// din SciPy, pentru a obține coeficienții ($b_i$) ai unui filtru FIR trece-jos, trece-bandă sau trece-sus(ignorați coeficienții $a_i$ deocamdată). Apoi puteți folosi funcția //signal.lfilter// din SciPy, pentru a filtra orice secvență folosind coeficienții $b_i$ dați de //signal.firwin//, iar $a_0 = 1$. |
| - | Pentru acest exercițiu, folosiți funcția //fir1// pentru a proiecta filtre FIR trece-jos, trece-bandă și trece-sus. Apoi folosiți funcția //filter// pentru a testa filtrele cu niște sinusoide ca în Exercițiul 1, cu $f=3$ kHz, $15$ kHz, $30$ kHz . Puteți verifica designul filtrelor folosind //freqz//. | + | Pentru acest exercițiu, trebuie să proiectați filtre FIR trece-jos (folosiți cutoff = 0.1), trece-bandă (folosiți cutoff = [0.2, 0.5]) și trece-sus (folosiți cutoff = 0.75). Puteți alege //numtaps = 65//. Apoi folosiți funcția //signal.lfilter// pentru a testa filtrele cu niște sinusoide ca în Exercițiul 1, cu $f=3$ kHz, $15$ kHz, $30$ kHz. Afișați cu stem, în subplot-uri sinusoidele inițiale și pe cele filtrate. |
| - | <code matlab>freqz(b,1);</code> | + | Pentru răspunsul în frecvență, vă puteți folosi de următorul cod: |
| - | /*<hidden>*/ | + | |
| - | <note warning>Pentru a putea folosi funcțiile //fir1// și //freqz// trebuie să instalați pachetul signal din Octave. | + | <code python> |
| - | <code matlab> | + | freq, H = signal.freqz(b_low, 1, fs=fs) |
| - | pkg install -forge -nodeps signal | + | plt.figure() |
| + | plt.plot(freq, 20 * np.log10(abs(H))) | ||
| + | plt.xlabel('Frequency [Hz], from 0 to fs/2') | ||
| + | plt.ylabel('Amplitude [dB]') | ||
| + | plt.title('Digital Filter Frequency Response') | ||
| + | plt.grid() | ||
| + | plt.show() | ||
| </code> | </code> | ||
| - | , iar apoi să-l încărcați: | + | , unde b_low sunt coeficienții $b_i$ ai unui filtru FIR trece-jos. |
| - | <code matlab> | + | |
| - | pkg load signal | + | |
| - | </code> | + | |
| - | </note> | + | |
| - | /*</hidden>*/ | + | |
| - | Pentru răspunsul la impuls puteți folosi: | + | === Exercițiul 4 -- Proiectarea rapidă de filtre FIR/IIR folosind MATLAB === |
| - | <code matlab>stem(b);</code> | + | [<color red>BONUS</color>] |
| - | Ar trebui să vedeți sinc-ul digital. | + | |
| - | Pentru răspunsul în frecvență, vă puteți folosi de următorul cod: | + | În acest exercițiu, încercăm să urmăm pașii de la exercițiul 3, dar în **MATLAB**. Pentru a accesa MATLAB, puteți folosi MATLAB instalat pe PC-urile din laborator sau să folosiți **MATLAB Online**, din browser. Pentru MATLAB Online, trebuie să vă creați un cont cu adresa de e-mail de la facultate pe site-ul [[https://www.mathworks.com/mwaccount/register|acesta]]. |
| - | <code matlab> | + | În MATLAB, puteți folosi funcția //fir1// pentru a obține rapid elementele $b_i$ ale unui filtru FIR trece-jos, trece-bandă sau trece-sus. Apoi puteți folosi funcția //filter// pentru a filtra orice secvență folosind coeficienții $b_i$ dați de //fir1//, iar $a_0 = 1$. |
| - | [H, freq] = freqz(b,1,N, fs); | + | |
| - | figure; | + | Pentru acest exercițiu, folosiți funcția //fir1// pentru a proiecta filtre FIR trece-jos, trece-bandă și trece-sus. Apoi folosiți funcția //filter// pentru a testa filtrele cu aceleași secvențe ca în exercițiul precedent. Puteți verifica designul filtrelor folosind tool-ul //fvtool//. |
| - | plot(freq, abs(H)); | + | |
| - | xlabel('Frequency (Hz)'); | + | |
| - | ylabel('Frequency response'); | + | |
| - | </code> | + | |
| - | </hidden> | + | De asemenea puteți folosi tool-ul MATLAB //fdatool// pentru a proiecta și analiza rapid performanțele filtrelor FIR și IIR: |
| + | - Generați un filtru FIR trece-jos folosind o fereastră Kaiser, având Fs = 48000 Hz, Fc = 10000 Hz, cu N=10 coeficienți(ordin) | ||
| + | - Generați un filtru IIR trece-jos (Butterworth sau Chebyshev type I) cu aceiași parametri. | ||
| + | - Comparați amplitudinea răspunsului. | ||
| + | - Încercați să creați un filtru FIR cu un răspuns similar cu al unui filtru IIR, prin creșterea numărului de coeficienți. | ||
| + | |||
| + | După proiectarea filtrelor precum ați dorit, le puteți salva (File->Generate MATLAB Code) și să le folosiți direct în alte scripturi MATLAB pentru a filtra diverse semnale. | ||
