Show page

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:labs_python:04 [2023/10/21 18:41]
darius.necula
+++ ps:labs_python:04 [2024/10/23 09:50] (current)
ionut.gorgos
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ===== Laboratorul 04. =====
-<hidden>
+/*<hidden>*/
-==== Shiftarea în fază/timp, filtrarea semnalelor periodice și modularea în amplitudine ====
+==== Shiftarea în fază/timp și filtrarea semnalelor periodice  ====
-Prezentarea PowerPoint pentru acest laborator poate fi găsită aici: [[https://docs.google.com/presentation/d/1grPaACSnc3YozJHy9iL1SSGGWsCy0aNy/edit?usp=share_link&ouid=110538702824281541719&rtpof=true&sd=true|aici]]
+Prezentarea PowerPoint pentru acest laborator poate fi găsită aici: [[https://docs.google.com/presentation/d/16lKfZUhSyECL2PWkuTa_bF45SjYd-wF6/edit?usp=sharing&ouid=110538702824281541719&rtpof=true&sd=true|aici]]
 În acest laborator vom încerca să experimentăm câteva dintre proprietăţile Transformatei Fourier, care ne permite să shiftăm/întârziem într-un domeniu şi să observăm un anumit efect în alt domeniu. De exemplu, la curs, am arătat că o întârziere în domeniul "Timp" înseamnă o shiftare de frecvenţă în domeniul "Frecvenţă".
@@ Line 9: / Line 9: @@
 Materiale ajutătoare:
     - {{:ps:labs:fundamentals-of-electrical-engineering-i-9.72.pdf|Cartea lui Don Johnson}}
-    - Secțiunea 4.8 (vezi tabelul 4.2 pentru exercițiul 1 și exemplul 4.5 pentru exercițiul 3) și Secțiunea 4.7 pentru exercițiul 2
+    - Secțiunea 4.8 (vezi tabelul 4.2 pentru exercițiul 1) și Secțiunea 4.7 pentru exercițiul 2
 === Exercițiul 1 – shiftarea în frecvență ===
-[<color red>4p</color>]
+[<color red>5p</color>]
 În acest exerciţiu vrem să întârziem un semnal în timp, prin modificarea spectrului său (vezi proprietăţile Transformatei Fourier). Vom folosi un semnal pe care l-am mai folosit şi anume, semnalul dreptunghiular cu amplitudinea $A$ pe intervalul $[0, \frac{T}{2}]$ şi cu amplitudinea $-A$ pe intervalul $[\frac{T}{2}, T]$ care are binecunoscutul spectru dat de:
@@ Line 19: / Line 19: @@
  c_{k} = \left\lbrace
   \begin{array}{}
-    \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par
+    \frac{2 \cdot A}{j \pi k} \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par
   \end{array}
   \right.
@@ Line 25: / Line 25: @@
 Pentru acest task va trebui să urmaţi următorii paşi:
-  * Reprezentaţi grafic semnalul original (considerați A = 1 și T = 100).
+  * Reprezentaţi grafic semnalul original (considerați A = 1 și T = 100). [<color red>1p</color>]
-  * Calculaţi câţiva coeficienţi Fourier $c_k$. Faceţi asta, similar cu ce am făcut în laboratoarele precedente, folosind $k\in\{-81,\ldots,81\}$.
+  * Calculaţi câţiva coeficienţi Fourier $c_k$. Faceţi asta, similar cu ce am făcut în laboratoarele precedente, folosind $k\in\{-81,\ldots,81\}$. [<color red>1p</color>]
-  * Plotaţi modulul coeficienţilor (folosind //stem// și //abs//).
+  * Plotaţi modulul coeficienţilor (folosind //plt.stem// și //np.abs//).
-  * Modificaţi spectrul pentru a obţine un semnal în timp întârziat cu $\tau = \frac{T}{4}$, folosind formula: $c_{k}^{'} = c_{k}\cdot e^{-j\frac{2\pi k \tau}{T}}$, unde $c_k$ sunt coeficienții Fourier aflați mai devreme. (vezi tabelul 4.2 din carte).
+  * Modificaţi spectrul pentru a obţine un semnal în timp întârziat cu $\tau = \frac{T}{4}$, folosind formula: $c_{k}^{'} = c_{k}\cdot e^{-j\frac{2\pi k \tau}{T}}$, unde $c_k$ sunt coeficienții Fourier aflați mai devreme. (vezi tabelul 4.2 din carte). [<color red>1p</color>]
   * Plotaţi coeficienţii după modificare. Vedeţi vreo diferenţă? De ce?
-  * Ce se întâmplă cu faza? Verificați cu următorul cod:
+  * Ce se întâmplă cu faza? Plotaţi coeficienții înainte și după modificare. Puteți afla faza coeficienților cu următorul cod: [<color red>1p</color>]
 <code python>
 coefficients_phase = np.angle(ck, deg=True)
 </code>
-  * Reconstruiți semnalul din spectrul modificat, folosind formula $s_{r}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$ (similar cu ce-am făcut în laboratorul 3). Ar trebui să vedeți semnalul shiftat cu $\tau$, față de cel original (dacă totul a mers cum trebuie).
+  * Reconstruiți semnalul din spectrul modificat, folosind formula $s_{r}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$ (similar cu ce-am făcut în laboratorul 3). Ar trebui să vedeți semnalul shiftat cu $\tau$, față de cel original (dacă totul a mers cum trebuie). [<color red>1p</color>]
 === Exercițiul 2 - filtrare ===
-[<color red>4p</color>]
+[<color red>5p</color>]
-Vom vedea în continuare ce efect are un filtru trece-jos asupra unui semnal periodic. În special ne interesează care sunt termenii din seria Fourier ai semnalului rezultat în urma filtrării.
+Vom vedea în continuare ce efect are un filtru trece-jos asupra semnalului puls periodic. În special ne interesează care sunt termenii din seria Fourier ai semnalului rezultat în urma filtrării.
-Dacă știm funcția de transfer a unui filtru trece-jos (sau alt tip de sistem liniar și invariant în timp), care primește la intrare un semnal (pentru care putem să aflăm coeficienții Fourier $c_k$), putem să găsim coeficienții Fourier ($c_k^y$) ai semnalului rezultat ca fiind:
+Dacă știm funcția de transfer $H(f)$ a unui filtru trece-jos (sau alt tip de sistem liniar și invariant în timp), care primește la intrare un semnal (pentru care putem să aflăm coeficienții Fourier $c_k$), putem să găsim coeficienții Fourier ($c_k^y$) ai semnalului rezultat ca fiind:
 \begin{equation}
@@ Line 51: / Line 51: @@
-În acest exercițiu trebuie să calculăm coeficienții Fourier ai output-ului unui filtru trece-jos, dat fiind un semnal de intrare de tip puls cu amplitudine $A=1$ și pulsul de durată $\Delta=\frac{T}{5}$. Știm că coeficienții Fourier ai semnalului sunt dați de:
+În acest exercițiu trebuie să calculăm coeficienții Fourier ai semnalului de ieșire al unui filtru trece-jos, dat fiind un semnal de intrare de tip puls cu amplitudine $A=1$ și pulsul de durată $\Delta=\frac{T}{5}$. Știm că coeficienții Fourier ai semnalului sunt dați de:
 \begin{equation}
@@ Line 70: / Line 70: @@
 unde //R// și //C// sunt rezistența și respectiv capacitatea.
-Task-ul vostru este să determinați coeficienții output-ului și să reconstruiți semnalul de ieșire pentru diferite frecvențe de tăiere.
+Task-ul vostru este să determinați coeficienții ieșirii ($c_k^y$) și să reconstruiți semnalul de ieșire pentru diferite frecvențe de tăiere.
 Pentru aceasta urmăriți următorii pași:
   - Generați semnalul puls și plotați-l. Puteți folosi //T=100// de eșantioane (puncte), dintre care doar $\Delta=20$ nu sunt egale cu 0. [<color red>1p</color>]
-  - Calculați primii //N=31// coeficienți Fourier pozitivi $c_k$ ai semnalului și plotați-i ($k\in\{0,\ldots,30\}$). Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia //stem//. De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia //abs//. [<color red>1p</color>]
+  - Calculați primii //N=31// coeficienți Fourier pozitivi $c_k$ ai semnalului și plotați-i ($k\in\{0,\ldots,30\}$). Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia //plt.stem//. De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia //np.abs//. [<color red>1p</color>]
-  - Calculați coeficienții Fourier asociați semnalului de output, $c_k^y$, folosind formula de mai sus și plotați-i ca mai sus. Pentru asta va trebui să alegeți o frecvență de cut-off $f_c$ care va determina valorile //R// și //C// ( $RC = \frac{1}{2\pi f_c}$ ). [<color red>1p</color>]
+  - Calculați coeficienții Fourier asociați semnalului de ieșire, $c_k^y$, folosind formula de mai sus și plotați-i ca mai sus. Pentru asta va trebui să alegeți o frecvență de cut-off $f_c$ care va determina valorile //R// și //C// ( $RC = \frac{1}{2\pi f_c}$ ). [<color red>1p</color>]
+  - Reconstruiți semnalul de ieșire cu ajutorul seriei Fourier (folosind formula de la exercițiul 1) [<color red>2p</color>]
   Puteți încerca următoarele valori pentru $f_c$:
     - $f_c = 0.1/T$ (frecvența de cut-off e mult mai mică decât frecvența fundamentală a semnalului => filtrare puternică)
     - $f_c = 1/T$ (frecvența de cut-off = frecvența fundamentală => puterea este înjumătățită)
     - $f_c = 10/T$ (frecvența de cut-off mult mai mare decât frecvența fundamentală => filtrare slabă)
-  - Reconstruiți semnalul de output cu ajutorul seriei Fourier (folosind formula de la exercițiul 1) [<color red>1p</color>]
-<note>
+<note important>
 Semnalele reale au următoarea proprietate: coeficienții Fourier negativi sunt conjugații complecși ai celor pozitivi $c_{-k} = c_{k}^*$. Pentru reconstrucția semnalului nostru puls, trebuie să folosiți și conjugații complecși ai coeficienților pozitivi.
 </note>
-=== Exercițiul 3 – modularea în amplitudine ===
-[<color red>2p</color>]
-În acest exercițiu va trebui să încercați să efectuați modularea în amplitudine asupra următorului semnal exponențial (eng. exponential decay signal) : $s(t) = e^{-at}u(t)$, unde $a>0$ și $u(t)$ este treapta unitară (i.e. egală cu 1 pentru $t\ge0$, 0 altfel).
-Obiectivul vostru:
-Folosiți o frecvență purtătoare $f_c = \frac{20}{T}$, unde $T$ este numărul eșantioanelor (samples).
-/*<hidden>*/
-Vom considera că DFT are același număr de componente ca și semnalul de intrare ($K = N$). Formulele pentru DFT și pentru inversa ei (IDFT) sunt următoarele:
-\begin{equation}
-DFT: S(k) = \sum^{N-1}_{n = 0}{s(n)e^{\frac{-j 2 \pi n k}{K}}}, k \in \{0, ..., K-1\} \\
-IDFT\ (inversa\  DFT): s(n) = \frac{1}{K}\sum^{K-1}_{k = 0}{S(k)e^{\frac{j 2 \pi n k}{K}}}, n \in \{0, ..., N-1\}
-\end{equation}
-De asemenea, calculați cu ajutorul FFT (FFT este varianta rapidă a DFT) și plotați spectrul folosind acest cod:
 /*</hidden>*/
-Pentru asta va trebui să urmăriți acești pași:
-  * Creați semnalul $s(t)$ pentru $t\in\{1,\ldots,T=128\}$, folosind $a=0.05$. [<color red>0.5p</color>]
-  * Calculați și plotați (cu //stem//) spectrul folosind FFT (Transformata Fourier Rapidă), pe care nu am făcut-o încă la curs, dar o vom face în următoarele cursuri. Pentru moment, puteți folosi acest cod: [<color red>0.5p</color>]
-<code matlab>
-h = figure;
-fx = zeros(1, T);
-findex = T/2*linspace(0,1,T/2);
-fx((T/2)+1:end) = findex;
-fx(1:T/2) = [-T/2, -findex(end:-1:2)];
-fs = fft(s);
-stem(fx, abs(fftshift(fs)));
-xlabel('Frequency component (k)');
-ylabel('Magnitude of component');
-title('Fourier coefficients before amplitude modulation');
-print(h, '-dpng', 'coefficients_before_amod.png'); % doar daca vreti sa salvati ca png graficull
-</code>
-  * Modulați semnalul în amplitudine folosind frecvența purtătoare $f_c = \frac{20}{T}$, i.e. face 20 de perioade complete în $T=128$ eșantioane ale semnalului $s(t)$. O variantă simplă de modulare este să calculați: $x(t) = (1+s(t)) \cdot \cos(2\pi f_c t)$. [<color red>0.5p</color>]
-  * Calculați și plotați (cum am făcut mai devreme, cu funcția //fft//) spectrul semnalului modulat în amplitudine. Comparați-l cu spectrul semnalului original. Este ceea ce v-ați așteptat? [<color red>0.5p</color>]
-/*<hidden>*/
-=== Exercițiul 4 – modularea în amplitudine [<color red>Bonus</color>] ===
-În acest exercițiu veți încerca să refaceți un semnal modulat în amplitudine ({{ps:labs:lab05_modulated_sound.mat|click aici}}).
-Urmați următorii pași:
-  * Descărcați semnalul modulat și încărcați-l în MATLAB folosind funcția: <code matlab>load('lab05_modulated_sound.mat')</code> Se va încărca semnalul, precum și Fs, frecvența de eșantionare.
-  * Semnalul modulat provine dintr-un semnal original $s(t)$ care a fost înmulțit cu un semnal cosinus de frecvență $fc$, cos($2 \pi \cdot fc \cdot t$), unde t=0:1/Fs:timp_maxim. Precum ați observat și în exercițiul anterior spectrul semnalului modulat conține spectrul semnalului original shiftat la frecvența fc și -fc. Plotați spectrul pentru a vedea acest lucru.
-  * Dacă înmulțim (din nou) semnalul primit cu același semnal cosinus ar trebui să putem recupera semnalul original după aplicarea unui filtru trece-jos. Folosiți fc = Fs / 8.
-  * Pentru a realiza efectul unui filtru trece-jos vom egala cu zero coeficienții corespunzători frecvențelor peste un prag.
-  * Având noii coeficienți putem reface semnalul în timp folosind inversa Fourier. Realizați acest lucru folosind funcția //ifft//.
-  * Puteți asculta semnalul rezultat folosind funcția MATLAB //sound(semnal)//. Pentru a opri sunetul folosiți comanda <code matlab> clear sound </code>
-/*</hidden>*/
-<note> Atenție: Vom învăța la curs că spectrul obținut prin transformata Fourier Discretă este periodic. Funcțiile //fft// / //ifft// consideră primii jumătate plus unu coeficienți pentru frecvențele pozitive, apoi următoarea jumătate corespunzătoare coeficienților negativi. Pentru a obține un spectru centrat în zero (doar ca să îl vizualizăm precum ne-am obișnuit) vom folosi funcția fftshift. </note>
-</hidden>

Laboratoare

Resurse

Tema_2024

ps/labs_python/04.1697902875.txt.gz · Last modified: 2023/10/21 18:41 by darius.necula

Show page Old revisions

Media Manager Back to top