This is an old revision of the document!
Materiale ajutătoare:
În acest exerciţiu va trebui să analizaţi următorul circuit:
similar cu ce-am făcut la curs.
Pentru asta va trebui să:
Frecvenţa de tăiere este frecvența pentru care avem egalitatea: $|{H(f)}| = \frac{max(|{H(f)}|)}{\sqrt2}$. Pentru a o găsi vom folosi definiția modulului unui număr complex $|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$ și proprietatea $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.
În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu seria Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta.
La curs am vorbit despre faptul că orice semnal periodic de perioada $T$ se poate descompune într-o sumă de semnale de bază. Această descompunere poarta numele de seria Fourier și ne arată cum se descompune orice semnal periodic într-o sumă de sinusoide.
Forma clasica a seriei Fourier:
\begin{equation} s(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}{a_k \cos( \frac{2 \pi kt}{T} ) } + \sum_{k=1}^{\infty}{b_k \sin( \frac{2 \pi kt}{T} ) } \end{equation}
Folosind formula lui Euler: $e^{jt} = \cos(t) + j \sin(t)$ și folosind coeficienții complexi $c_k \in \mathbb{C}$ , unde $c_k = \frac{a_k - b_k}{2}$ pentru $k > 0$, $c_k = \frac{a_k + b_k}{2}$ pentru $k < 0$ și $c_k = \frac{a_k}{2}$ pentru $k = 0$ obținem formularea echivalentă:
\begin{equation} s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}} \end{equation}
Având un semnal dat $s(t)$ putem calcula coeficienții Fourier după formula: \begin{equation} c_k = \frac{1}{T} \int_{t=0 }^{T}{s(t)e^{-j\frac{2 \pi kt}{T}}} \end{equation}
Folosind formula precedenta, la curs am demonstrat că un semnal dreptunghiular, de amplitudine “A” pe intervalul $[0, \frac{T}{2}]$ și de amplitudine ”-A” pe intervalul $[\frac{T}{2}, T]$ are coeficienții Fourier daţi de formula următoare:
\begin{equation} c_{k} = \left\lbrace \begin{array}{} \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par \end{array} \right. \end{equation}
În acest exerciţiu va trebui să încercaţi să reconstruiţi semnalul dreptunghiular folosind un număr limitat de coeficienţi pentru a vedea diferenţa dintre semnalul original şi cel reconstruit.
Principalii paşi pentru asta sunt:
Graficele voastre trebuie să arate similar cu acestea: