This is an old revision of the document!
Materiale ajutătoare:
O să folosim din nou semnalul dreptunghiular, de amplitudine 'A' în intervalul [0, T/2] și '-A' în intervalul [T/2, T] care are coeficienții Fourier dați de formula:
\begin{equation} c_{k} = \left\lbrace \begin{array}{} \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par \end{array} \right. \end{equation}
În acest exercițiu vom încerca să calculăm rădăcina medie pătratică (eng. root mean square) a semnalului $\epsilon_{K}$ dat de: \begin{equation} \epsilon_{K} = s(t) - s_{K}(t), \end{equation}
unde $s_{K}(t)$ este semnalul aproximat cu K termeni. Folosind transformata Fourier avem: \begin{equation} s_K(t) = \sum_{k=-K}^K c_k e^\frac{j 2 \pi k t}{T} \end{equation}
iar RMS-ul lui $\epsilon_K$ este dat de: \begin{equation} \text{rms}(\epsilon_K) = \sqrt{2\cdot \sum_{k=K+1}^\infty |c_k|^2} \end{equation}
Task-ul vostru este să determinați valoarea lui K astfel încât $\text{rms}(\epsilon_K)$ este aproape 0 și după aceea să vedeți că într-adevăr semnalul reconstruit aproximează bine semnalul original.
Pentru asta ar trebui să urmăriți următorii pași:
A = 1; T = 100; x = 1:T; s = -A*ones(1, T); s(1:(T/2)) = A;
În acest exercițiu trebuie să calculăm coeficienții Fourier ai output-ului unui filtru trece-jos, dat fiind un semnal de intrare de tip puls.
Pentru un semnal dat putem găsi coeficienții Fourier ($c_k$). Atunci, dacă știm funcția de transfer a filtrului trece-jos (sau alt tip de sistem liniar), am arătat la curs că putem găsi coeficienții Fourier ($c_k^y$) ai semnalului rezultat ca: \begin{equation} c_k^y = H(\frac{k}{T}) \cdot c_k \end{equation}
Astfel putem reconstrui semnalul de ieșire folosind coeficienții Fourier $c_k^y$.
Ni se dă ca input un semnal de tip puls cu amplitudine $A=1$ și pulsul de durată $\Delta=\frac{T}{5}$. Știm că coeficienții Fourier ai semnalului sunt dați de: \begin{equation} c_k = A \cdot e^{-j\frac{\pi k \Delta}{T}} \cdot \frac{\text{sin}(\frac{\pi k \Delta}{T})}{\pi k} = A \cdot e^{-j\frac{\pi k \Delta}{T}} \cdot \frac{\Delta}{T} \cdot \text{sinc}(\frac{\pi k \Delta}{T}). \end{equation}
Funcția de transfer a circuitului (pe care am determinat-o la curs și la laboratoarele anterioare) este următoarea: \begin{equation} H(f=\frac{k}{T}) = \frac{1}{1+j 2 \pi R C \frac{k}{T}} \end{equation} unde R și C sunt rezistența și respectiv capacitatea.
Task-ul vostru este să determinați coeficienții output-ului și să reconstruiți semnalul de ieșire pentru diferite frecvențe de tăiere.
Pentru aceasta urmăriți următorii pași:
Puteți încerca următoarele valori pentru $f_c$:
Am văzut la curs că pentru a transmite 2 biți simultan putem folosi două frecvențe diferite (f1, f2) pentru a coda o valoare de 2 biți:
Task-ul vostru e să creați o secvență random de 10 valori între 0 și 3 (pentru a folosi toate valorile de mai sus) și apoi să o codificați folosind 2 sinusoide așa cum este descris mai sus. Pentru asta ar trebui să:
Notă: pentru a genera o secvență random de valori întregi inspectați funcția 'randi' din MATLAB.