Show page

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:laboratoare:03 [2017/10/29 16:39]
andrei.nicolicioiu
+++ ps:laboratoare:03 [2020/10/07 17:42] (current)
ionut.gorgos
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ===== Laboratorul 03. =====
-/* Make it hidden before lab, unhide (e.g. note) afterwards */
+/* Make it hidden before lab, unhide (e.g. note) afterwards
-/*<hidden>*/
+<hidden> */
 ==== Circuite liniare şi funcţia de transfer ====
@@ Line 26: / Line 26: @@
   - Schimbaţi valoarea frecvenței semnalului de intrare astfel încât să fie mai apropiată, mai mică sau mai mare decât frecvența de tăiere $f_{c}$ și verificați rezultatele [1p]
-/*<hidden>*/
+Frecvenţa de tăiere este frecvența pentru care avem egalitatea: $|{H(f)}| = \frac{max(|{H(f)}|)}{\sqrt2}$. Pentru a o găsi vom folosi definiția modulului unui număr complex $|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$ și proprietatea $|\frac{a}{b}| =  \frac{|a|}{|b|}$.
-<note tip>
-Puteţi să găsiţi funcţia de transfer prin înlocuirea elementelor din circuit cu impedanţele complexe, unde $Z_R=R$ şi $Z_C = \frac{1}{j2 \pi f C}$ . Atunci $V_{out} = \frac{Z_R}{Z_R + Z_C}V_{in}$ . După ce introducem valorile $Z_R$ şi $Z_C$ în formulă obţinem funcţia de transfer $H(f) = \frac{j2 \pi fRC}{1 + j2 \pi fRC}$.
-Circuitul este un filtru trece sus: dacă frecvenţa tinde la zero, $H(f \rightarrow 0) = 0$. Dacă $f$ este foarte mare, atunci $H(f \rightarrow \infty) = 1$. Deci avem un filtru trece sus.
+=== Exercițiul 2 [4p] ===
-Frecvenţa de tăiere o puteţi găsi din condiţia $|{H(f)}| = \frac{max(|{H(f)}|)}{\sqrt2}$. În acest caz, $f_c = \frac{1}{2 \pi RC}$ pare să satisfacă condiţia. Verificaţi că studenţii au înţeles toate derivările şi că au verificat că aceasta este frecvenţa.
+În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu seria Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta.
-Găsiţi că $RC = \frac{1}{2 \pi f_c}$, undeva la $32\cdot10^{-6}$ în cazul nostru. Deci putem folosi valorile $R = 3.2 k \Omega$ şi $C = 10 nF$, de exemplu.
+La curs am vorbit despre faptul că orice semnal periodic de perioada $T$ se poate descompune într-o sumă de semnale de bază. Această descompunere poarta numele de seria Fourier și ne arată cum se descompune orice semnal periodic într-o sumă de sinusoide.
-Exemplu de circuit în Ngspice:
+Forma clasica a seriei Fourier:
-<code>
-*RC Filter Transient example
-V1 in 0 sin(0 1 1e4)
-C1 in out 10n
-R1 out 0 3.2k
-.TRAN 10u 2m
-.end
-</code>
-În căsuţa de plot puneţi asta:
+\begin{equation}
-<code>
+  s(t) = a_0 +  \sum_{k=1}^{\infty}{a_k \cos( \frac{2 \pi kt}{T} ) } + \sum_{k=1}^{\infty}{b_k \sin( \frac{2 \pi kt}{T} ) }
-v(in) v(out)
+\end{equation}
-</code>
-Jucaţi-vă cu valoarea lui $V_1$(de exemplu 5e3 este la frecvenţa de tăiere, 1e2 ar trebui să fie mai redus, în timp ce la 1e4 ar trebui să treacă). Notaţi că pentru diferite frecvenţe, s-ar putea să fiţi nevoiţi să ajustaţi intervalul de simulare, adică ultima valoare din linia cu ".TRAN".
+Folosind formula lui Euler: $e^{jt} = \cos(t) + j \sin(t)$ și folosind coeficienții complexi $c_k \in \mathbb{C}$
-</note>
+, unde $c_k = \frac{a_k - b_k}{2}$ pentru $k > 0$, $c_k = \frac{a_k + b_k}{2}$ pentru $k < 0$ și $c_k = \frac{a_k}{2}$ pentru $k = 0$  obținem formularea echivalentă:
-/*</hidden>*/
-=== Exercițiul 2 [4p] ===
+\begin{equation}
+  s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}
+\end{equation}
-În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu Transformata Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta.
+Având un semnal dat $s(t)$ putem calcula coeficienții Fourier după formula:
+\begin{equation}
+  c_k = \frac{1}{T} \int_{t=0 }^{T}{s(t)e^{-j\frac{2 \pi kt}{T}}}
+\end{equation}
-La curs am demonstrat că un semnal dreptunghiular, de amplitudine "A" pe intervalul $[0, \frac{T}{2}]$ și de amplitudine "-A" pe intervalul $[\frac{T}{2}, T]$ are coeficienții Fourier daţi de formula următoare:
+Folosind formula precedenta, la curs am demonstrat că un semnal dreptunghiular, de amplitudine "A" pe intervalul $[0, \frac{T}{2}]$ și de amplitudine "-A" pe intervalul $[\frac{T}{2}, T]$ are coeficienții Fourier daţi de formula următoare:
 \begin{equation}
@@ Line 76: / Line 67: @@
 Principalii paşi pentru asta sunt:
   - Creaţi semnalul original. Utilizaţi, de exemplu $T = 100$ şi $A = 3$ şi generaţi un semnal cu amplitudinea $3$ peste primele 50 de eşantioane şi $-3$ peste ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100). [1p]
-  - Calculaţi coeficienţii Fourier $c_{k}$ pentru $k = [-c_{max}, c_{max}]$. De exemplu pentru $c_{max} = 3$, avem $k = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$. Reprezentaţi grafic coeficienţii şi observaţi simetria lor în jurul lui $k = 0$. Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia 'stem'. De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia 'abs'. [1p]
+  - Calculaţi coeficienţii Fourier $c_{k}$ pentru $k = [-k_{max}, k_{max}]$. De exemplu pentru $k_{max} = 3$, avem $k = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$. Reprezentaţi grafic coeficienţii $c_k$ şi observaţi simetria lor în jurul lui $k = 0$. Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia 'stem'. De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia 'abs'. [1p]
   - Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula din curs: $s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. [1p]
   - Reprezentaţi grafic noul semnal reconstruit şi comparaţi-l cu originalul. Pentru a plota semnalul va trebui să ajustaţi limita verticală a plot-ului, folosind funcţia 'ylim'. Ajustaţi limita la ceva de genul $[-A-1, A+1]$. [1p]
-  - Folosiţi diferite valori pentru $c_{max}$ (de exemplu, 1, 5, 11, 49) şi observaţi diferenţa. Vedeţi cum, folosind din ce în ce mai mulţi coeficienţi, ne permitem să construim mai bine semnalul original. [Bonus 1p]
+  - Folosiţi diferite valori pentru $k_{max}$ (de exemplu, 1, 5, 11, 49) şi observaţi diferenţa. Vedeţi cum, folosind din ce în ce mai mulţi coeficienţi, ne permitem să construim mai bine semnalul original.
 Graficele voastre trebuie să arate similar cu acestea:
@@ Line 87: / Line 78: @@
 {{:ps:laboratoare:reconstructed_signal.png?200|}}
-/*<hidden>*/
+<note> Semnalele reale au următoarea proprietate: coeficienții Fourier negativi sunt conjugații complexi ai celor pozitivi $c_{-k} = c_{k}^*$. Puteți verifica pentru semnalul nostru dreptunghiular. De asemenea, semnalele pare s(-t) = s(t), au coeficienții complet reali, obținând $c_{−k}=c_{k}$ iar semnalele impare s(-t) = -s(t), au coeficienții complet imaginari, obținând $c_{−k}=−c_{k}$.</note>
-<note tip>
-Acest cod ar trebui să rezolve exerciţiul:
-<code matlab>
-A = 3;
-T = 100;
-x = 1:T;
-s = -A*ones(1, T);
-s(1:(T/2)) = A;
-h = figure;
-plot(x,s);
-ylabel('Amplitude');
-xlabel('Time');
-ylim([-A-0.5, A+0.5]);
-title('Original signal s(t)');
-print(h, '-dpng', 'original_signal.png');
-cmax = 20;
-kv = -cmax:cmax;
-N = length(kv);
-coef = zeros(N,1);
-for i=1:N
-    k = kv(i);
-    if mod(k,2) ~= 0
-        coef(i) = (2*A) / (j*pi*k);
-    end
-end
-h = figure;
-stem(kv, abs(coef));
-xlabel('Frequency component (k)');
-ylabel('Magnitude of component');
-title('Fourier coefficients');
-print(h, '-dpng', 'coefficients.png');
-sr = zeros(1, T);
-for t=1:T
-    for i=1:N
-        sr(t) = sr(t) + coef(i)*exp(j*2*pi*kv(i)*t/T);
-    end
-end
-h=figure;
-plot(1:T, sr);
-ylim([-A-1, A+1]);
-title('Reconstructed signal s(t)');
-ylabel('Amplitude');
-xlabel('Time');
-print(h, '-dpng', 'reconstructed_signal.png');
-</code>
-</note>
-/*</hidden>*/
-  * Responsabil: [[ionutgorgos@gmail.com|Ionuţ Gorgos]]
-  * Data publicării: 15.10.2017

Laboratoare

Resurse

Tema

ps/laboratoare/03.1509287974.txt.gz · Last modified: 2017/10/29 16:39 by andrei.nicolicioiu

Show page Old revisions

Media Manager Back to top