Laboratorul 03.

Circuite liniare şi funcţia de transfer

Materiale ajutătoare:

D. Johnson's book
1. Secţiunile 3.9, 3.10, 3.13, 3.14 (pentru Exerciţiul 1)
2. Secţiunea 4.2 (pentru Exerciţiul 2)

Exerciţiul 1 [6p]

În acest exerciţiu va trebui să analizaţi următorul circuit:

similar cu ce-am făcut la curs.

Pentru asta va trebui să:

Găsiţi funcţia de transfer a circuitului [1p]
Găsiţi ce face acest circuit (efectele asupra semnalelor de intrare) [1p]
Găsiţi frecvenţa de tăiere ca o funcţie de R şi C [1p]
Găsiţi nişte valori pentru R şi C, dacă avem nevoie de $f_{c} = 5 kHz$ [1p]
Folosiţi SPICE simulator Alternativa pentru a crea circuitul cu aceste valori (uitaţi-vă la exemplul cu filtrul RC tranzitoriu) [1p]
Schimbaţi valoarea frecvenței semnalului de intrare astfel încât să fie mai apropiată, mai mică sau mai mare decât frecvența de tăiere $f_{c}$ și verificați rezultatele [1p]

Puteţi să găsiţi funcţia de transfer prin înlocuirea elementelor din circuit cu impedanţele complexe, unde $Z_R=R$ şi $Z_C = \frac{1}{j2 \pi f C}$ . Atunci $V_{out} = \frac{Z_R}{Z_R + Z_C}V_{in}$ . După ce introducem valorile $Z_R$ şi $Z_C$ în formulă obţinem funcţia de transfer $H(f) = \frac{j2 \pi fRC}{1 + j2 \pi fRC}$.

Circuitul este un filtru trece sus: dacă frecvenţa tinde la zero, $H(f \rightarrow 0) = 0$. Dacă $f$ este foarte mare, atunci $H(f \rightarrow \infty) = 1$. Deci avem un filtru trece sus.

Frecvenţa de tăiere o puteţi găsi din condiţia $|{H(f)}| = \frac{max(|{H(f)}|)}{\sqrt2}$. În acest caz, $f_c = \frac{1}{2 \pi RC}$ pare să satisfacă condiţia. Verificaţi că studenţii au înţeles toate derivările şi că au verificat că aceasta este frecvenţa.

Găsiţi că $RC = \frac{1}{2 \pi f_c}$, undeva la $32\cdot10^{-6}$ în cazul nostru. Deci putem folosi valorile $R = 3.2 k \Omega$ şi $C = 10 nF$, de exemplu.

Exemplu de circuit în Ngspice:

*RC Filter Transient example
  
V1 in 0 sin(0 1 1e4)
C1 in out 10n
R1 out 0 3.2k
  
.TRAN 10u 2m
.end

În căsuţa de plot puneţi asta:

v(in) v(out)

Jucaţi-vă cu valoarea lui $V_1$(de exemplu 5e3 este la frecvenţa de tăiere, 1e2 ar trebui să fie mai redus, în timp ce la 1e4 ar trebui să treacă). Notaţi că pentru diferite frecvenţe, s-ar putea să fiţi nevoiţi să ajustaţi intervalul de simulare, adică ultima valoare din linia cu ”.TRAN”.

Exercițiul 2 [4p]

În acest exercițiu vom începe să lucrăm cu Transformata Fourier, unul dintre cele mai importante instrumente în procesarea digitală a semnalelor. Va trebui să vă familiarizați cu acesta.

La curs am demonstrat că un semnal dreptunghiular, de amplitudine “A” pe intervalul $[0, \frac{T}{2}]$ și de amplitudine ”-A” pe intervalul $[\frac{T}{2}, T]$ are coeficienții Fourier daţi de formula următoare:

\begin{equation} c_{k} = \left\lbrace \begin{array}{} \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par \end{array} \right. \end{equation}

În acest exerciţiu va trebui să încercaţi să reconstruiţi semnalul dreptunghiular folosind un număr limitat de coeficienţi pentru a vedea diferenţa dintre semnalul original şi cel reconstruit.

Principalii paşi pentru asta sunt:

Creaţi semnalul original. Utilizaţi, de exemplu $T = 100$ şi $A = 3$ şi generaţi un semnal cu amplitudinea $3$ peste primele 50 de eşantioane şi $-3$ peste ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100). [1p]
Calculaţi coeficienţii Fourier $c_{k}$ pentru $k = [-c_{max}, c_{max}]$. De exemplu pentru $c_{max} = 3$, avem $k = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$. Reprezentaţi grafic coeficienţii şi observaţi simetria lor în jurul lui $k = 0$. Pentru a îi reprezenta va trebui să folosiţi funcţia 'stem'. De asemenea, va trebui să reprezentaţi doar magnitudinea, folosind funcţia 'abs'. [1p]
Reconstruiţi semnalul doar cu ajutorul acestor coeficienţi, folosind formula din curs: $s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k}e^{j\frac{2 \pi kt}{T}}}$. [1p]
Reprezentaţi grafic noul semnal reconstruit şi comparaţi-l cu originalul. Pentru a plota semnalul va trebui să ajustaţi limita verticală a plot-ului, folosind funcţia 'ylim'. Ajustaţi limita la ceva de genul $[-A-1, A+1]$. [1p]
Folosiţi diferite valori pentru $c_{max}$ (de exemplu, 1, 5, 11, 49) şi observaţi diferenţa. Vedeţi cum, folosind din ce în ce mai mulţi coeficienţi, ne permitem să construim mai bine semnalul original. [Bonus 1p]

Graficele voastre trebuie să arate similar cu acestea:

Acest cod ar trebui să rezolve exerciţiul:

A = 3;
T = 100;
x = 1:T;
s = -A*ones(1, T);
s(1:(T/2)) = A;
 
h = figure;
plot(x,s);
ylabel('Amplitude');
xlabel('Time');
ylim([-A-0.5, A+0.5]);
title('Original signal s(t)');
print(h, '-dpng', 'original_signal.png');
 
cmax = 20;
kv = -cmax:cmax;
N = length(kv);
coef = zeros(N,1);
for i=1:N
    k = kv(i);
    if mod(k,2) ~= 0
        coef(i) = (2*A) / (j*pi*k);
    end
end
 
h = figure;
stem(kv, abs(coef));
xlabel('Frequency component (k)');
ylabel('Magnitude of component');
title('Fourier coefficients');
print(h, '-dpng', 'coefficients.png');
 
kv = 0:cmax;
N = length(kv);
sr = zeros(1, T);
for t=1:T
    for i=1:N
        sr(t) = sr(t) + coef(i)*exp(j*2*pi*kv(i)*t/T) ...
         - coef(i)*exp(-j*2*pi*kv(i)*t/T);
    end
end
 
h=figure;
plot(1:T, sr);
ylim([-A-1, A+1]);
title('Reconstructed signal s(t)');
ylabel('Amplitude');
xlabel('Time');
print(h, '-dpng', 'reconstructed_signal.png');