Haskell: Imagini funcționale

• Data publicării: 09.04.2024
• Data ultimei modificări: 23.04.2024
• Deadline hard: ziua laboratorului 10
• Forum temă
• vmchecker

• Aplicarea mecanismelor funcționale, de tipuri (inclusiv polimorfism) și de evaluare leneșă din limbajul Haskell.
• Exploatarea evaluării leneșe pentru decuplarea conceptuală a prelucrărilor realizate.

În literatura de specialitate, embedded domain-specific languages (EDSL) sunt considerate unele dintre principalele aplicații ale programării funcționale. Sintagma merită explicată pe componente. Un domain-specific language (DSL) este un limbaj de programare restrâns, dedicat unui domeniu particular; exemple bine-cunoscute sunt HTML (pentru descrierea paginilor web) și SQL (pentru interogarea bazelor de date). Acestea se opun așa-ziselor general-purpose languages, care pot fi utilizate într-o gamă largă de domenii, fiind cazul limbajelor C, Java, Python, și al limbajelor studiate la PP. Deși restrânse, DSL-urile sunt înzestrate cu o serie de operații expresive dedicate, care simplifică masiv modelarea în cadrul domeniului specific către care au fost țintite.

Pentru implementarea unui DSL, există următoarele două variante:

• stand-alone: un interpretor sau un compilator sunt scrise de la zero pentru limbajul respectiv, necesitând o cantitate mare de efort
• embedded: limbajul este integrat sub forma unei biblioteci într-un limbaj existent (de exemplu, Haskell), valorificându-se astfel construcțiile limbajului gazdă, precum și interpretorul și/sau compilatorul existent.

Continuând pe varianta embedded (de exemplu, în Haskell), un DSL poate utiliza două tipuri de reprezentări în cadrul limbajului gazdă:

• shallow embeddings: obiectele din cadrul DSL-ului au reprezentări concrete în limbajul gazdă; de exemplu, dacă dorim să creăm un mic limbaj pentru definirea expresiilor aritmetice, fiecare expresie ar putea fi reprezentată prin valoarea ei (Int etc.), iar operațiile pe expresii (adunare etc.) manipulează valorile acestora
• deep embeddings: obiectele din cadrul DSL-ului au reprezentări abstracte, ca descrieri ale operațiilor care construiesc acele obiecte; continuând exemplul expresiilor aritmetice de mai sus, fiecare expresie poate fi reprezentată prin arborele ei sintactic, care poate fi interpretat ulterior în diverse moduri; o posibilă interpretare vizează obținerea valorii expresiei, realizând astfel corespondența cu shallow embedding-ul de mai sus.

Tema propune ca studiu de caz un mic DSL embedded în Haskell pentru lucrul cu imagini. Pe parcursul etapelor, vom explora ambele modalități de reprezentare de mai sus (shallow, respectiv deep), avantajele și dezavantajele fiecăreia, precum și corespondența lor conceptuală.

Tema este împărțită în 3 etape:

• una pe care o veți rezolva după laboratorul 7, cu deadline în ziua laboratorului 8
• una pe care o veți rezolva după laboratorul 8, cu deadline în ziua laboratorului 9
• una pe care o veți rezolva după laboratorul 9, cu deadline în ziua laboratorului 10.

Deadline-ul depinde de semigrupa în care sunteți repartizați. Restanțierii care refac tema și nu refac laboratorul beneficiază de ultimul deadline, și anume în zilele de 26.04, 10.05, respectiv 17.05.

Rezolvările tuturor etapelor pot fi trimise până în ziua laboratorului 10 (deadline hard pentru toate etapele). Orice exercițiu trimis după un deadline soft se punctează la jumătate. Cu alte cuvinte, nota finală pe etapă se calculează conform formulei: n = (n1 + n2) / 2 (n1 = nota obținută înainte de deadline; n2 = nota obținută după deadline). Când toate submisiile preced deadline-ul, nota pe ultima submisie constituie nota finală (întrucât n1 = n2).

În fiecare etapă, veți valorifica ce ați învățat în săptămâna anterioară și veți avea la dispoziție un schelet de cod, cu toate că vor exista trimiteri la etapele anterioare. Enunțul caută să ofere o imagine de ansamblu atât la nivel conceptual, cât și în privința aspectelor care se doresc implementate, în timp ce detaliile se găsesc direct în schelet.

În această etapă, ne vom concentra pe o reprezentare concretă a imaginilor din cadrul DSL-ului menționat anterior, corespunzătoare ideii de shallow embeddings. Astfel, fiecare imagine, denumită de acum încolo regiune (bidimensională), va fi reprezentată prin funcția ei caracteristică, având tipul Point → Bool. Rolul acestei funcții este de a preciza care puncte din spațiu aparțin regiunii respective (rezultat True) și care nu (rezultat False). Similar, o transformare a unei regiuni (de exemplu, translație), este reprezentată printr-o funcție care operează la nivelul punctelor, având tipul Point → Point.

Veți implementa funcții care:

• verifică apartenența unui punct la o regiune
• definesc regiuni simple (dreptunghi, cerc)
• combină regiuni
• desenează regiuni la consolă
• definesc transformări simple (translație, scalare)
• combină transformări
• aplică transformări asupra regiunilor
• pentru bonus, determină lungimea minimă a unui drum dintre două puncte, evitând o regiune dată, utilizând BFS în spațiul bidimensional.

Deși numărul funcțiilor este mai mare, majoritatea se implementează în câteva cuvinte. cicles și infiniteCircles sunt deja implementate, dar sarcina este de a înțelege utilitatea evaluării leneșe în cadrul acestora.

Construcțiile și mecanismele de limbaj pe care le veți exploata în rezolvare sunt:

• liste
• funcționale pe liste și nu numai, ocazie cu care veți intra în contact atât cu cele standard, care se găsesc și în Racket, cât și cu altele specifice în Haskell
• list comprehensions, pentru descrierea concisă a unor prelucrări
• evaluare leneșă, implicită în Haskell, pentru decuplarea conceptuală a transformărilor din cadrul unei secvențe
• pattern matching, pentru radiografierea structurilor (perechi etc.)
• de legare a variabilelor locale (let sau where).

Modulul de interes din schelet este Shallow, care conține reprezentarea regiunilor și a transformărilor, precum și operațiile pe care trebuie să le implementați. Găsiți detaliile despre funcționalitate și despre constrângerile de implementare, precum și exemple, direct în schelet. Aveți de completat definițiile care încep cu *** TODO ***.

Pentru rularea testelor, încărcați în interpretor modulul TestShallow și evaluați main.

Este suficient ca arhiva pentru vmchecker să conțină doar modulul Shallow.

În cadrul reprezentării concrete din etapa 1, funcțiile de definire și manipulare a regiunilor și transformărilor surprind complexitatea operațiilor, în timp ce funcția inside, de interogare a regiunilor, are o implementare banală, în termenii reprezentării regiunilor ca funcții caracteristice. Această abordare are avantajul că noi regiuni, transformări și operații pe acestea pot fi adăugate ușor, independent de definițiile anterioare. De exemplu, dacă dorim să adăugăm o nouă regiune elementară, cum este un triunghi, sau o nouă operație, ca diferența a două regiuni, putem introduce funcții separate, fără a modifica definițiile existente.

Ce se întâmplă totuși dacă încercăm să schimbăm interpretarea unei regiuni? Spre exemplu, în loc de funcția caracteristică din etapa 1, care stabilește apartenența unui punct la o regiune, acum am dori ca printr-o regiune să înțelegem numărul de subregiuni și transformări elementare din descrierea acelei regiuni. De exemplu, regiunea union (circle 2) (applyTransformation (translation 1 0) (rectangle 2 2)) ar căpăta reprezentarea (2, 1), pentru că sunt utilizate 2 subregiuni elementare (un cerc și un dreptunghi) și 1 transformare elementară (o translație) în construcția ei. Într-o altă situație, am putea dori ca printr-o regiune să înțelegem descrierea textuală a operațiilor care construiesc acea regiune. De exemplu, pentru aceeași regiune ca mai sus, reprezentarea textuală ar putea fi “Circle 2 + Translation 1 0 @ Rectangle 2 2”. Această schimbare de interpretare s-ar realiza anevoios, fiind necesară reimplementarea tuturor funcțiilor existente în termenii noii interpretări.

În etapa 2, vom explora așa-numitele deep embeddings pentru regiuni și transformări, în sensul că funcțiile de definire și manipulare a regiunilor nu vor mai viza o anumită reprezentare concretă, ci vor genera un arbore de sintaxă abstractă (AST), care surprinde operațiile generice utilizate în construcția unei regiuni sau transformări. De exemplu, regiunea de mai sus ar căpăta reprezentarea abstractă Union (Circle 2) (Transform (Translation 1 0) (Rectangle 2 2)), unde simbolurile reprezintă constructori de date definiți de noi. Abordarea are următoarele avantaje:

• Putem adăuga ușor diverse interpretări ale acestui AST, în forma unor funcții, care să recupereze orice reprezentare concretă dorim (de exemplu, funcțiile caracteristice din etapa 1 sau celelalte două exemple de reprezentări de mai sus). Practic, situația este inversată față de etapa 1, în sensul că funcțiile de definire și manipulare vor avea de data aceasta implementări banale, în termenii unor constructori de date, în timp ce complexitatea operațiilor va fi surprinsă în funcțiile de interpretare.
• Avem posibilitatea preprocesării AST-ului înaintea interpretării lui, în sensul că regiunile și transformările pot fi simplificate. De exemplu, două translații succesive pot fi înlocuite cu una singură cu parametrii corespunzători.

Ca dezavantaj, adăugarea de noi regiuni, transformări și operații pe acestea se realizează dificil, fiind necesară modificarea tipurilor care descriu AST-urile, și în consecință extinderea tuturor interpretărilor existente.

Observați dualismul celor două abordări, bazate pe shallow, respectiv deep embeddings, în sensul că ce se realizează ușor într-una se implementează dificil în cealaltă, fără ca una dintre abordări să o domine pe cealaltă. În literatură, acest lucru poartă numele de problema expresivității (expression problem), care se manifestă la mai multe niveluri, inclusiv între diferite paradigme de programare.

În cadrul etapei 2, veți porni de la tipuri de date deja definite în schelet pentru reprezentarea AST-urilor regiunilor și transformărilor, și veți implementa funcții care:

• interpretează AST-ul pentru a recupera reprezentările concrete din etapa 1
• descompun secvențe imbricate de transformări (vezi combineTransformations) în variante liniarizate
• fuzionează transformări elementare consecutive de același fel (translații cu translații și scalări cu scalări)
• optimizează (simplifică) transformările dintr-un AST, prin deplasare în sus și fuzionare.

Construcțiile și mecanismele noi de limbaj pe care le veți exploata în rezolvare, pe lângă cele din etapa 1, sunt:

• tipurile de date utilizator.

Întrucât optimizarea AST-ului constituie funcționalitatea cea mai pretențioasă din această etapă, o exemplificăm, pas cu pas, pentru AST-ul de mai jos (exemplul apare și în comentariile funcției optimizeTransformations):

Union (Transform (Combine [ Translation 1 2
                          , Combine [ Translation 3 4
                                    , Scaling 2
                                    ]  
                          , Scaling 3
                          ])
                 (Complement (Transform (Scaling 4)
                                        (Transform (Scaling 2) (Circle 5)))))
      (Transform (Translation 4 6) (Rectangle 6 7))

Principiile de optimizare sunt descrise pe larg în schelet, dar întotdeauna când prelucrăm o anumită regiune, trebuie să optimizăm mai întâi recursiv subregiunile. Prima optimizare propriu-zisă se produce la nivelul subarborelui Transform (Scaling 4) (Transform (Scaling 2) (Circle 5)), care conține două scalări succesive, care pot fi alipite în Transform (Scaling 8) (Circle 5), iar întregul AST este acum:

Union (Transform (Combine [ Translation 1 2
                          , Combine [ Translation 3 4
                                    , Scaling 2
                                    ]  
                          , Scaling 3
                          ])
                 (Complement (Transform (Scaling 8) (Circle 5))))
      (Transform (Translation 4 6) (Rectangle 6 7))

În continuare, mergem un nivel mai sus, la subarborele Complement (Transform (Scaling 8) (Circle 5)). Pentru a permite eventuala alipire a scalării cu 8 cu o altă transformare de deasupra, este util să extragem transformarea în fața complementului, ca în Transform (Scaling 8) (Complement (Circle 5)), iar întregul AST devine:

Union (Transform (Combine [ Translation 1 2
                          , Combine [ Translation 3 4
                                    , Scaling 2
                                    ]  
                          , Scaling 3
                          ])
                 (Transform (Scaling 8) (Complement (Circle 5))))
      (Transform (Translation 4 6) (Rectangle 6 7))

Mergem iarăși un nivel mai sus, la subarborele Transform (Combine …) (Transform (Scaling 8) (Complement (Circle 5))), unde observăm că transformările din secvența Combine, și anume două translații, respectiv două scalări consecutive, pot fi alipite; mai departe, scalările mai pot fuziona cu scalarea cu 8 din fața complementului. Din păcate, secvența Combine conține transformări imbricate, care trebuie mai întâi liniarizate pentru a putea fi ușor alipite. În urma liniarizării, se obține lista [Translation 1 2, Translation 3 4, Scaling 2, Scaling 3], iar dacă la aceasta adăugăm și prima transformare de mai jos, Scaling 8, și fuzionăm, obținem lista [Translation 4 6, Scaling 48], iar întregul AST devine:

Union (Transform (Combine [Translation 4 6, Scaling 48]) (Complement (Circle 5)))
      (Transform (Translation 4 6) (Rectangle 6 7))

Rămâne să prelucrăm întreaga reuniune. Obiectivul este același: să înlesnim eventuale alipiri cu transformări de deasupra, extrăgând în fața reuniunii transformările de dedesubt, dacă este posibil, cum am procedat mai sus la complement. Din moment ce avem acum două ramuri, nu putem să extragem decât cel mai lung prefix de transformări comune, lăsând sufixele necomune dedesubt. Prefixul cu pricina este [Translation 4 6], iar AST-ul devine în final:

Transform (Translation 4 6)
          (Union (Transform (Scaling 48) (Complement (Circle 5)))
                 (Rectangle 6 7))

Modulul de interes din schelet este Deep, care conține reprezentarea AST-urilor regiunilor și a transformărilor, precum și operațiile pe care trebuie să le implementați. De asemenea, trebuie să aveți în același director și modulul Shallow din etapa 1. Găsiți detaliile despre funcționalitate și despre constrângerile de implementare, precum și exemple, direct în schelet. Aveți de completat definițiile care încep cu *** TODO ***.

Pentru rularea testelor, încărcați în interpretor modulul TestDeep și evaluați main.

Este suficient ca arhiva pentru vmchecker să conțină modulele Deep și Shallow.

• Încercați să folosiți pe cât posibil funcții predefinite din modulul Data.List. Este foarte posibil ca o funcție de prelucrare de care aveți nevoie să fie deja definită aici.
• Ca sugestie, exploatați cu încredere pattern matching, case și gărzi, în locul if-urilor imbricate.

• Schelet etapa 1
• Schelet etapa 2

• de Moor, O., & Gibbons, J. (Eds.). (2003). The Fun of Programming. Palgrave Macmillan.

• 23.04 (21:20): Publicat etapa 2.
• 19.04 (10:25): Flexibilizat checker etapa 1 în privința comparațiilor pe numere reale, pentru reducerea riscului de eșec al testelor din cauza erorilor de aproximare. Dacă testele treceau oricum pe checker-ul anterior, nu este necesar să mai faceți nimic.
• 16.04 (10:10): Încărcat checker etapa 1.
• 14.04 (17:00): Adăugat clarificare în comentariile funcției combineTransformations, pentru evidențierea corespondenței cu aplicările individuale ale transformărilor din listă.