Tema urmărește familiarizarea cu două modalități de reprezentare a grafurilor orientate, una standard (prin mulțimi de noduri și de arce) și alta constructivă (algebrică), adecvată unei abordări funcționale. Veți avea ocazia să implementați diverse operații de manipulare a grafurilor sub ambele reprezentări, astfel încât să puteți compara punctele lor tari și slabe.
Tema este împărțită în 3 etape:
Așa cum se poate observa, ziua deadline-ului variază în funcție de semigrupa în care sunteți repartizați. Restanțierii care refac tema și nu refac laboratorul beneficiază de ultimul deadline (deci vor avea deadline-uri în zilele de 02.05, 09.05, 16.05).
Rezolvările tuturor etapelor pot fi trimise până în ziua laboratorului 10 (deadline hard pentru toate etapele). Orice exercițiu trimis după un deadline soft se punctează cu jumătate din punctaj. Cu alte cuvinte, nota finală pe etapă se calculează conform formulei: n = (n1 + n2) / 2 (n1 = nota obținută înainte de deadline; n2 = nota obținută după deadline). Când toate submisiile sunt înainte de deadline, nota pe ultima submisie este și nota finală (întrucât n1 = n2).
În fiecare etapă, veți folosi ce ați învățat în săptămâna anterioară pentru a dezvolta aplicația.
Pentru fiecare etapă există un schelet de cod (dar rezolvarea se bazează în mare măsură pe rezolvările anterioare). Enunțul caută să ofere o imagine de ansamblu atât la nivel conceptual, cât și în privința aspectelor care se doresc implementate, în timp ce detaliile se găsesc direct în schelet.
În această etapă:
Construcțiile și mecanismele de limbaj pe care le veți exploata în rezolvare sunt:
În schelet veți găsi două module:
StandardGraph
: conține reprezentarea grafului orientat și funcții de acces și manipulare:StandardGraph a
, deja definit ca pereche între o mulțime de noduri și una de arcefromComponents
construiește un graf pe baza nodurilor și arcelornodes
și edges
întorc cele două mulțimi de mai susoutNeighbors
și inNeghbors
întorc mulțimile de vecini înspre care ies, respectiv dinspre care intră arce către nodul curentremoveNode
înlătură un nod și toate arcele sale din grafsplitNode
sparge un nod în mai multe noduri, ținând cond de arcele nodului inițialmergeNodes
îmbină mai multe noduri într-unul singur, ținând cont de arcele nodurilor inițialeAlgorithms
: conține algoritmii standard de căutare, BFS și DFS:bfs
și dfs
întorc lista de noduri parcurse în ordinea aferentă căutării în lățime, respectiv în adâncime, pornind de la un anumit nod, ținând cont și de posibilele cicluri. Aceste funcții vor fi derivate dintr-o funcție mai generală, menționată în continuaresearch
generalizează cele două strategii de căutare de mai sus, plecând de la observația că singura diferență dintre ele este modul în care se combină la un moment dat nodurile deja existente în structura de date utilizată (stivă/coadă, ambele reprezentate ca liste standard) cu vecinii proaspăt expandați ai nodului curent. Funcția nu este testată direct.countIntermediate
verifică existența unei căi între două noduri din graf, și calculează numărul nodurilor intermediare pe care le expandează cele două strategii de mai sus pentru acest scop.
Găsiți detalii despre funcționalitate și implementare, precum și exemple, direct în codul sursă. Veți avea de completat definițiile care încep cu *** TODO ***
.
Pentru reprezentarea mulțimilor, veți folosi tipul predefinit Set a
, similar tipului listă [a]
. Având în vedere că există funcții pe mulțimi cu același nume ca cele pe liste (de exemplu, map
, filter
), pentru evitarea conflictului de nume, abordarea standard, adoptată și în temă, este de a importa etichetat modulul necesar (import qualified Data.Set as S
), urmând ca toate tipurile și funcțiile din acest modul să fie utilizate cu numele prefixat: S.Set a
, S.map
, S.filter
etc.
ATENȚIE! Toate funcțiile din această etapă, cu excepția search
, vor fi implementate FĂRĂ recursivitate explicită. Nerespectarea acestei cerințe va conduce la o depunctare de 10p/100 per funcție.
Este suficient ca arhiva pentru vmchecker să conțină modulele StandardGraph
și Algorithms
.
În această etapă:
StandardGraph
), pentru a opera pe noua reprezentare
Funcțiile din modulul Algorithms
ar trebui să funcționeze neschimbate în etapa 2, cu toate că accentul nu mai cade pe ele acum.
Construcțiile și mecanismele noi de limbaj pe care le veți exploata în rezolvare, pe lângă cele din etapa 1, sunt:
Ce putem înțelege prin reprezentare algebrică a grafurilor? Ori de cât ori auzim aceste termen, ne putem gândi la construirea unor obiecte mai complexe din altele mai simple, în baza unor operații de îmbinare. De exemplu, plecând de la numerele 0 și 1, și utilizând operațiile de adunare și înmulțire, putem genera toate numerele naturale.
Similar, putem elabora o abordare constructivă a grafurilor orientate, pornind de la următoarele mecanisme (vedeți articolul din secțiunea de Referințe dacă doriți să aprofundați subiectul):
Empty
Node x
, unde x
este eticheta noduluiOverlay g1 g2
, unde g1
și g2
sunt alte grafuriConnect g1 g2
, unde g1
și g2
sunt alte grafuri.
Ideile de mai sus se pot traduce direct într-un tip de date utilizator, unde a
este tipul etichetelor nodurilor:
data AlgebraicGraph a = Empty | Node a | Overlay (AlgebraicGraph a) (AlgebraicGraph a) | Connect (AlgebraicGraph a) (AlgebraicGraph a)
Mai jos, sunt exemplificate mai multe grafuri care utilizează această reprezentare, pentru o înțelegere mai bună:
Overlay (Node 2) (Node 3)
este un graf foarte simplu, care conține doar nodurile 2 și 3, fără niciun arc.Connect (Node 2) (Node 3)
conține nodurile 2 și 3, precum și arcul (2, 3).Connect (Node 1) (Overlay (Node 2) (Node 3))
conține nodurile 1, 2 și 3, și arcele (1, 2) și (1, 3), pentru că nodul 1 trebuie conectat cu fiecare dintre nodurile 2 și 3.Connect (Node 1) (Connect (Node 2) (Node 3))
, conține nodurile 1, 2 și 3, și arcele (1, 2), (1, 3) și (2, 3).Connect (Node 1) (Connect (Node 2) (Connect (Node 3) (Node 4)))
conține nodurile 1, 2, 3 și 4, și arcele (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) și (3, 4), întrucât fiecare nod trebuie conectat cu toate arcele care îi urmează.Din exemplele de mai sus, transpar două avantaje importante ale acestei reprezentări algebrice, care îi lipsesc reprezentării standard din etapa 1:
În baza celui de-al doilea avantaj de mai sus, se poate pune problema compactării reprezentării unui graf, analizând relațiile pe care nodurile le au cu celelalte noduri. Spre exemplu, pentru unul dintre grafurile exemplificate mai sus, este dată și o reprezentare alternativă (a doua), mai lungă.
Connect (Node 1) (Overlay (Node 2) (Node 3))
Overlay (Connect (Node 1) (Node 2)) (Connect (Node 1) (Node 3))
.
Ca fapt divers, echivalența celor două reprezentări de mai sus poate fi înțeleasă ca distributivitate a lui Connect
față de Overlay
.
Compactarea reprezentării grafului se bazează pe conceptul de descompunere modulară. Pe scurt, un modul este o mulțime de noduri, care toate au aceeași mulțime de out-neighbors și aceeași mulțime de in-neighbors dacă ne uităm doar în afara modulului, cu toate că cele două mulțimi pot fi diferite. Nodurile din interiorul unui modul pot fi conectate oricum. Se poate demonstra că, în cazul a două module disjuncte, dacă există un arc orientat între un nod din primul modul și un nod din al doilea, atunci există arce cu orientarea respectivă între toate nodurile din primul modul și toate nodurile din al doilea (exact ce exprimă Connect
).
În graful de mai jos, observăm următoarele:
M1
și M2
, întrucât avem arce de la fiecare nod din M1
către fiecare (unicul) nod din M2
. Toate nodurile din M1
au aceeași mulțime de out-neighbors [5], și aceeași mulțime de in-neighbors, [], în exteriorul lui M1
. Aceeași proprietate se respectă banal și pentru nodul 5 din M2
.M1
, observăm că acesta poate fi la rândul său descompus în două module, M3
și M4
, întrucât avem arce de la fiecare nod din M3
către fiecare nod din M4
. Arcul (1, 2) nu este relevant, pentru că nodurile din interiorul unui modul pot fi conectate oricum.Orice graf are două descompuneri modulare banale:
dar acestea sunt neinteresante. Pe noi ne interesează descompunerile nebanale, dacă acestea există, care contribuie la compactarea reprezentării grafului. De exemplu, cea mai compactă reprezentare a grafului din imagine este:
Connect (Connect (Connect (Node 1) (Node 2)) (Overlay (Node 3) (Node 4))) (Node 5)
Veți implementa aspecte legate de descompunerea modulară parțial ca bonus, în cadrul etapelor 2 și 3. Deși există algoritmi eficienți (liniari) pentru determinarea descompunerii modulare, aceștia sunt destul de complicați, astfel că vom utiliza o abordare mai simplă bazată pe forță brută. Cu alte cuvinte, vom genera toate partițiile mulțimii de noduri, și apoi le vom filtra pentru a obține modulele.
În etapa 2, scheletul conține următoarele module:
StandardGraph
: implementat în etapa 1. Reprezentarea originală este de pereche de mulțimi de noduri, respectiv arce. Ca încălzire:StandardGraph
ca tip de date utilizator (data
), în locul sinonimului de tip pereche.nodes
și edges
pot fi definite direct drept câmpuri în cadrul tipului.fromComponents
trebuie și ea redefinită.AlgebraicGraph
: conține reprezentarea algebrică a grafurilor, descrisă mai susAlgebraicGraph
este cel prezentat mai sus.StandardGraph
, cu excepția fromComponents
, dar de data aceasta vor opera pe reprezentarea algebrică.removeNode
, splitNode
și mergeNodes
respectă un tipar similar, pe care vom căuta să îl generalizăm în etapa 3.Modular
: conține momentan doar câteva funcții pentru determinarea descompunerii modulare a grafului, dar va fi îmbogățit în etapa 3:mapSingle
este asemănătoare cu map
, în sensul că aplică o funcție asupra fiecărui element al unei liste, dar aplicarea se face asupra unui singur element din listă la un moment dat, celelalte rămânând nemodificate.partitions
generează toate partițiile unei liste.În această etapă:
Construcțiile și mecanismele noi de limbaj pe care le veți exploata în rezolvare, pe lângă cele din etapa 2, sunt:
Ca încălzire, amintiți-vă că ați operat până acum cu două reprezentări ale grafurilor, StandardGraph
și AlgebraicGraph
, și că ați implementat același set de funcții de acces și manipulare pentru amândouă (nodes
, edges
etc.). Gândiți-vă cum ați putea generaliza această interfață de lucru cu grafuri în Haskell:
AlgebraicGraph a
) sau cu constructorul de tip în sine (de exemplu, AlgebraicGraph
)?nodes
dacă ar fi definită în interiorul acestei clase?Schițați răspunsul în comentarii în vederea prezentării (partea aceasta nu este testată automat).
În etapa 3, scheletul conține următoarele module:
AlgebraicGraph
nodes
, edges
, outNeighbors
, inNeighbors
sunt cele din etapa 2.Num
permite interpretarea unei expresii aritmetice ca un graf algebric, în care literalii numerici sunt etichete de noduri, iar adunarea și înmulțirea reprezintă operațiile Overlay
, respectiv Connect
. De exemplu, graful din diagrama de mai sus poate fi reprezentat prin expresia aritmetică ((1*2) * (3+4)) * 5
.Show
permite descrierea grafului sub forma unui șir de caractere, utilizând perspectiva aritmetică de mai sus.Eq
permite verificarea corectă a egalității dintre două grafuri algebrice, ținând cont că același graf conceptual poate avea două descrieri simbolice diferite.extend
permite elaborarea unui graf, prin atașarea unor subgrafuri oarecare în locul nodurilor, în baza unei funcții de corespondență. Funcția extend
constituie baza implementării tuturor operațiilor de mai jos.splitNode
va fi reimplementată utilizând extend
.Functor
, prin operația fmap
, generalizează funcționala map
de pe liste pe grafuri, permițând aplicarea unei funcții pe toate etichetele nodurilor dintr-un graf. Implementarea va utiliza extend
.mergeNodes
va fi reimplementată utilizând fmap
.filterGraph
generalizează funcționala filter
de pe liste pe grafuri, pentru a păstra doar nodurile ale căror etichete satisfac o proprietate. Implementarea va utiliza extend
.removeNode
va fi reimplementată utilizând filterGraph
.Modular
mapSingle
și partitions
sunt cele din etapa 2.isModule
verifică dacă o mulțime candidat de noduri constituie într-adevăr un modul (vedeți explicațiile din etapa 2).isModularPartition
verifică dacă o partiție candidat este într-adevăr modulară, i.e. dacă toate submulțimile sunt module.maximalModularPartition
determină cea mai acoperitoare partiție, pornind de la lista tuturor partițiilor mulțimii de noduri (vedeți explicațiile din comentarii).modularlyDecompose
este deja implementată, și vă permite să puneți cap la cap funcțiile de mai sus.case
și gărzi, în locul if-urilor imbricate.TestGraph
și evaluați checkAll
.