Responsabili

• Cristian Crețeanu
• Cosmin Petrișor

În urma parcurgerii articolului, studentul va fi capabil să:

• înţeleagă noţiunea de arbore şi structura unui arbore binar
• construiască, în limbajul C++, un arbore binar
• realizeze o parcurgere a structurii de date prin mai multe moduri
• citească o expresie matematică şi să-i construiască arborele binar asociat
• evalueze o expresie matematică dată printr-un arbore binar.

Matematic, un arbore este un graf neorientat conex aciclic.

În ştiinţa calculatoarelor, termenul de arbore este folosit pentru a desemna o structură de date care respectă definiţia de mai sus, însă are asociate un nod rădăcină şi o orientare înspre sau opusă rădăcinii.

Arborii sunt folosiţi în general pentru a modela o ierarhie de elemente.

Astfel, fiecare element (nod) poate deţine un număr de unul sau mai mulţi descendenţi, iar în acest caz nodul este numit părinte al nodurilor descendente.

Fiecare nod poate avea un singur nod părinte. Un nod fără descendenţi este un nod terminal, sau nod frunză.

În schimb, există un singur nod fără părinte, iar acesta este întotdeauna rădăcina arborelui (root).

Un arbore binar este un caz special de arbore, în care fiecare nod poate avea maxim doi descendenţi:

• nodul stâng
• nodul drept.

În funcţie de elementele ce pot fi reprezentate în noduri şi de restricţiile aplicate arborelui, se pot crea structuri de date cu proprietăţi deosebite: heap-uri, arbori AVL, arbori roşu-negru, arbori Splay şi multe altele. O parte din aceste structuri vor fi studiate la curs şi în laboratoarele viitoare.

În acest articol ne vom concentra asupra unei utilizări comune a arborilor binari, şi anume pentru a reprezenta şi evalua expresii logice.

Arborii binari pot fi reprezentați în mai multe moduri. Structura din spatele acestora poate fi un simplu vector, alocat dinamic sau nu, sau o structură ce folosește pointeri, așa cum îi vom reprezenta în acest articol.

BinaryTree.h

#ifndef __BINARY_TREE_H__
#define __BINARY_TREE_H__
 
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
 
template <typename T>
class BinaryTree
{
public:
    BinaryTree();
    ~BinaryTree();
 
private:
    BinaryTree<T> *leftNode;
    BinaryTree<T> *rightNode;
 
    T *pData;
};
 
#endif // __BINARY_TREE_H__

Structura nodului de mai sus este clară:

• pointer către fiul stâng
• pointer către fiul drept
• pointer către date

Pentru a ne reaminti cum alocăm memorie:

BinaryTree<T> *node = new BinaryTree<T>();
delete node;
 
T *pData = new T;
delete pData;

Se implementeaza foarte usor recursiv:

• Se parcurge rădăcina
• Se parcurge subarborele stâng
• Se parcurge subarborele drept

Exemplu:

PreorderTraverse(BinaryTree<T> *node)
{
    Process(node->pData);
    PreorderTraverse(node->leftNode);
    PreorderTraverse(node->rightNode);
}

• Se parcurge subarborele stâng
• Se parcurge rădăcina
• Se parcurge subarborele drept

• Se parcurge subarborele stâng
• Se parcurge subarborele drept
• Se parcurge rădăcina

Se folosește o coadă, iar la fiecare pas se extrage din această coadă câte un nod și se adăugă înapoi în coadă nodul stâng, respectiv drept al nodului scos. Acest algoritm continuă până când coada devine goală.

O expresie matematică este un şir de caractere compus din:

• variabile
• constante
• operatori
• paranteze (eventual).

Fiecărei expresii i se poate asocia un arbore binar, în care:

• nodurile interioare reprezintă operatorii
• frunzele reprezintă constantele şi/sau variabilele.

În terminologia limbajelor formale şi a compilatoarelor, acest arbore se mai numeşte şi Abstract Syntax Tree (AST).

Pentru expresia (a+1)*(b+10)+25/c , arborele asociat este prezentat mai jos:

Următorul pseudo-cod reprezintă în linii mari algoritmului de evaluare a expresiilor reprezentate sub formă de arbori binari:

Evalueaza(Node nod) {
    // Daca nu este nod terminal...
    if (nod->left || nod->right) {
        // Evaluam expresiile subarborilor...
        res1 = Evalueaza(nod->left);
        res2 = Evalueaza(nod->right);
 
        // ... si combinam rezultatele aplicand operatorul
        return AplicaOperator(nod->op, res1, res2);
   } else {
        // Daca nodul terminal contine o variabila, atunci intoarcem valoarea variabilei
        if (nod->var) {
            return Valoare(nod->var);
        } else { // Avem o constanta
            return nod->val;
        }
   }
}

O problemă importantă în analiza arborilor este determinarea celui mai mic strămoș comun (LCA - Lowest Common Ancestor). LCA-ul a două noduri, u si v, este nodul cel mai depărtat de rădăcină care îi are pe u și v ca descendenți.

Spre exemplu, cel mai mic strămoș comun al nodurilor 1 și 12 este 0, în timp ce pentru nodurile 4 și 7, acesta este 1.

https://drive.google.com/open?id=1mCiLKlUPNAJORs5ebGDi0GK-M3kPJ2wQ

1) [5p] Implementați (și compilați!) următoarele funcții pentru un arbore binar:

• [1p] (BinaryTree.h) Constructor / Destructor (eliberați memorie doar dacă este cazul) (TODO 1 & 2, 9 & 10)
• [2p] (BinaryTree.h) Implementați metoda de a seta datele reținute de un nod, posibilitatea de a returna și a seta arborii. (TODO 3 - 8)
• [2p] (BinaryTree.h) Implementați metodele de inserare recursivă într-un nod din arbore. Presupuneți că se inserează pe prima poziție liberă găsită. (TODO 11)

2) [2p] (BinaryTree.h) Implementați o parcurgere, la alegere. (TODO 12)

3) [3p] (main.cpp) Calculați înălțimea arborelui.

Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship, part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.

• Ce este un arbore?
• Cum poate fi reprezentat un nod dintr-un arbore binar?
• Daţi exemplu de un tip (mai multe tipuri) de parcurgere al arborilor binari. Descrieţi modul de funţionare al acestuia (acestora).
• Daţi exemplu de un mod de utilizare al arborilor binari.
• Ce complexitate medie / worst-case au funcţiile de inserare / ştergere / căutare pentru un arbore binar, BST, AVL, etc. (mai multe despre complexitatea algoritmilor şi structurilor de date veţi învăţa în anul 2: Analiza Algoritmilor şi Proiectarea Algoritmilor).

1. Binary Tree
2. AVL
3. Red-Black Tree
4. Splay Tree
5. AST
6. DNF