TODO: scos DP

• Înțelegerea noțiunilor de bază legate de tehnica greedy
• Însușirea abilităților de analiză în vederea conceperii algoritmilor de tip greedy pentru rezolvarea diferitelor probleme;
• Însușirea abilităților de implementare a algoritmilor bazați pe greedy

În general tehnicile de tip Greedy sau Programare Dinamică (lab04) sunt folosite pentru rezolvarea problemelor de optimizare. Acestea pot adresa probleme în sine sau pot fi subprobleme dintr-un algoritm mai mare. De exemplu, algoritmul Dijkstra pentru determinarea drumului minim pe un graf alege la fiecare pas un nod nou urmărind algoritmul greedy.

Exista însă probleme care ne pot induce în eroare. Astfel, există probleme în care urmărind criteriul Greedy nu ajungem la soluția optimă. Este foarte important să identificăm cazurile când se poate aplica Greedy și cazurile când este nevoie de altceva. Alteori această soluție neoptimă este o aproximare suficientă pentru ce avem nevoie. Problemele NP-complete necesita multă putere de calcul pentru a găsi optimul absolut. Pentru a optimiza aceste calcule mulți algoritmi folosesc decizii Greedy și găsesc un optim foarte aproape de cel absolut.

“greedy” = “lacom”. Algoritmii de tip greedy vor să construiască într-un mod cât mai rapid soluția unei probleme. Ei se caracterizează prin luarea unor decizii rapide care duc la găsirea unei soluții potențiale a problemei. Nu întotdeauna asemenea decizii rapide duc la o soluție optimă; astfel ne vom concentra atenția pe identificarea acelor anumite tipuri de probleme pentru care se pot obține soluții optime.

Algoritmii greedy se numără printre cei mai direcți algoritmi posibili. Ideea de bază este simplă: având o problema de optimizare, de calcul al unui cost minim sau maxim, se va alege la fiecare pas decizia cea mai favorabilă, fără a evalua global eficiența soluţiei. În general exista mai multe soluții posibile ale problemei. Dintre acestea se pot selecta doar anumite soluții optime, conform unor anumite criterii. Scopul este de a găsi una dintre acestea sau dacă nu este posibil, atunci o soluție cât mai apropiată, conform criteriului optimal impus.

Trebuie înțeles faptul ca rezultatul obținut este optim doar dacă un optim local conduce la un optim global. În cazul în care deciziile de la un pas influențează lista de decizii de la pasul următor, este posibila obținerea unei valori neoptimale. În astfel de cazuri, pentru găsirea unui optim absolut se ajunge la soluții supra-polinomiale. De aceea, dacă se optează pentru o astfel de soluție, algoritmul trebuie însoțit de o demonstrație de corectitudine. Descrierea formală a unui algoritm greedy este următoarea:

function greedy(C)
// C este mulțimea candidaților
// în S construim soluția
S ← Ø
while not solutie(C) and C≠Ø
x ← un element din C care minimizează/maximizează select(x)
C ← C\{x}
if fezabil(S∪{x}) then S←S∪{x}
return S

Este ușor de înțeles acum de ce acest algoritm se numește ”greedy”: la fiecare pas se alege cel mai bun candidat de la momentul respectiv, fără a studia alternativele disponibile în moment respectiv şi viabilitatea acestora în timp.

Dacă un candidat este inclus în soluție, rămâne acolo, fără a putea fi modificat, iar dacă este exclus din soluție, nu va mai putea fi niciodată selectat drept un potențial candidat.

Fie un șir de N numere pentru care se cere determinarea unui subșir de numere cu suma maximă. Un subșir al unui șir este format din caractere (nu neapărat consecutive) ale șirului respectiv, în ordinea în care acestea apar în șir.

Pentru numerele 1 -5 6 2 -2 4 răspunsul este 1 6 2 4 (suma 13).

Se observa ca tot ce avem de făcut este sa verificam fiecare număr dacă este pozitiv sau nu. În cazul pozitiv, îl introducem în subșirul soluție.

Se dau mai multe spectacole, prin timpii de start și timpii de final. Se cere o planificare astfel încât o persoană să poată vedea cât mai multe spectacole. Rezolvarea constă în sortarea spectacolelor crescător după timpii de final, apoi la fiecare pas se alege primul spectacol care are timpul de start mai mare decât ultimul timp de final. Timpul inițial de final este inițializat la -infinit (spectacolul care se termină cel mai devreme va fi mereu selectat, având timp de start mai mare decât timpul inițial).

Fie N scânduri de lemn, descrise ca niște intervale închise cu capete reale. Găsiți o mulțime minimă de cuie astfel încât fiecare scândură să fie bătută de cel puțin un cui. Se cere poziția cuielor. Formulat matematic: găsiți o mulțime de puncte de cardinal minim M astfel încât pentru orice interval [a_i, b_i] din cele N, să existe un punct x din M care să aparțină intervalului [a_i, b_i]. Complexitate: O(N log N) Exemplu:

• intrare: N = 5, intervalele: [0, 2], [1, 7], [2, 6], [5, 14], [8, 16]
• ieșire: M = {2, 14}
• explicație: punctul 2 se afla în primele 3 intervale, iar punctul 14 în ultimele 2

Soluție: Se observa că dacă x este un punct din M care nu este capăt dreapta al nici unui interval, o translație a lui x la dreapta care îl duce în capătul dreapta cel mai apropiat nu va schimba intervalele care conțin punctul. Prin urmare, exista o mulțime de cardinal minim M pentru care toate punctele x sunt capete dreapta.

Astfel, vom crea mulțimea M folosind numai capete dreapta în felul următor:

• cât timp au mai rămas intervale nemarcate:
• selectăm cel mai mic capăt dreapta, B_min; acesta trebuie să fie în M, deoarece este singurul punct care se afla în interiorul intervalului care se termină în B_min
• marcăm toate intervalele nemarcate care conțin B_min
• adăugăm B_min la M

Pentru a obține o complexitate redusă, sortăm inițial toate cele 2N capete și le parcurgem de la stânga la dreapta. Pentru fiecare punct distingem cazurile:

• dacă este capăt stânga, introducem intervalul în lista de „intervale în procesare” și trecem mai departe;
• dacă este capăt dreapta și intervalul respectiv nu conține nici un punct din M, atunci am găsit cel mai mic capăt dreapta al unui interval nemarcat, introducem capătul în M și marcăm toate intervalele din lista de intervale în procesare;
• dacă este capăt dreapta și intervalul din care face parte este deja marcat, trecem mai departe.

Complexitate:

• sortare: O(N log N)
• parcurgerea capetelor: O(N)
• adăugarea și ștergerea unui interval din lista de intervale în procesare: O(1)
• total: O(N log N)

O alta problemă clasică este problema rucsacului. Se dau niște obiecte care au o anumită greutate și un anumit cost, și un rucsac în care se poate pune maxim o greutate G. Se cere să se selecteze niște obiecte a.î. greutatea lor să fie maxim G și costul lor să fie maxim.

TODO: am nevoie de enunt in acest loc???

Aspectul cel mai important de reținut este că soluțiile găsite trebuie să reprezinte optimul global și nu doar local. Se pot confunda ușor problemele care se rezolvă cu Greedy cu cele care se rezolvă prin Programare Dinamică.

Un camion poate transporta T tone de material. Există n tipuri de materiale disponibile, fiecare caracterizat de greutatea G[i] disponibilă și de valoarea V[i] adusă de transportarea sa. Să se decidă ce cantități din fiecare material vor fi transportate pentru a aduce o valoare maximă.

Pe parcursul unui semestru, un student are de rezolvat n teme. Se cunoaște enunțul tuturor celor n teme de la începutul semestrului. Timpul de rezolvare pentru oricare dintre teme este de o săptămână și nu se poate lucra la mai multe teme în același timp. Pentru fiecare tema se cunoaște un termen limita d[i] (exprimat în săptămâni) și un punctaj w[i]. Nicio fracțiune din punctaj nu se mai poate obține după expirarea termenului limită. Să se definească o planificare de realizare a temelor, în așa fel încât punctajul obținut să fie maxim.

Se dorește construirea a două numere de tip palindrom, primul de lungime L, al doilea de lungime > 0 astfel încât suma lor să fie minimă. Cele două numere de tip palindrom nu pot să înceapă cu cifra 0. Pentru construirea lor, se dau numărul L și numărul de apariții al fiecărei cifre în cele două numere (adică c[i] = nr. de apariții al cifrei i în primul numărul + nr. de apariții al cifrei i în al doilea număr).

L = 4
c[] = {1, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 2}

Soluţie:
Palindroamele care se doresc a fi generate sunt 1250521, respectiv 8998
cu suma minimă 1259519

Propunem astfel ca temă de gândire şi rezolvare, următoarele probleme:

• 1. Se dorește parcurgerea unui drum între două localități A și B. Cunoscând distanța către toate benzinăriile de pe ruta A→B față de orașul A și știind că având rezervorul plin se pot parcurge maxim m kilometri, să se facă o planificare astfel încât numărul de opriri la benzinării să fie minim. De asemenea, se garantează faptul că distanța dintre oricare două benzinării consecutive este mai mică de m kilometri.

• 2. Propunem, de asemenea, spre citire şi înţelegere un articol interesant, cu detalii foarte bine explicate, ce urmăreşte rezolvarea unei probleme clasice de Greedy de planificare a activităţilor. Vă invităm, astfel, să urmăriţi, şi dintr-o altă perspectivă, why Greedy is good

Un camion poate transporta T tone de mobilă. Există n piese de mobilă, fiecare caracterizată de greutatea G[i] și de valoarea V[i] adusă de transportarea sa. Să se decida ce piese de mobila vor fi transportate pentru a aduce o valoare maximă (soluție optimă).

Se dau n dulapuri aflate într-o bibliotecă, precum și numărul cărților din fiecare dulap. Se doreşte mutarea dulapurilor (cu toate cărțile aferente) într-o nouă bibliotecă (păstrând ordinea din biblioteca inițială), astfel încât primul dulap este mutat întotdeauna, iar celelalte dulapuri se mută doar dacă nu sunt așezate unul lângă celălalt în biblioteca inițială. De asemenea, se dorește soluția care maximizează numărul cărților din noua bibliotecă. Complexitate temporală dorită: O(n)

Se dă o expresie booleană exprimată prin stringurile “true”, “false”, “and”, “or”, “xor” . Număraţi modurile în care se pot aşeza paranteze astfel încât rezultatul să fie “true”.

Spre exemplu, pentru expresia:

 true and false xor true 

există două modalităţi de parantezare, astfel încât rezultatul să fie “true”:

((true and false) xor true) 

true and (false xor true))

Propunem astfel ca temă de gândire şi rezolvare, următoarele probleme:

• 1. O problemă de exponenţiere optimă de matrici. Bill este un pasionat de fotbal și își dorește să urmeze o carieră în domeniu. Fiind un om prevăzător, își pune problema ce va face dacă lucrurile nu vor decurge așa cum dorește el. Spre exemplu, ar dori o modalitate de a-și ocupa timpul în cazul în care va fi constrâns din punct de vedere spațial.

Una din activitățile care îi fac plăcere este să scrie în toate modurile posibile o sumă alcătuită din N termeni astfel încât acea sumă să dea restul R la împărțirea prin 100. De asemenea, el dorește să folosească doar primele 20 de numere naturale pe post de termeni.

Pentru a aproxima cât timp va putea petrece astfel, vă roagă pe voi să determinați numărul de moduri, modulo 9901.

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming

[3] http://ww3.algorithmdesign.net/handouts/Greedy.pdf

[4] http://ww3.algorithmdesign.net/handouts/DynamicProgramming.pdf

[5] http://infoarena.ro/problema/scmax

[6] http://infoarena.ro/problema/ssm

[7] Capitolul IV din Introducere în Algoritmi de către T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein