This is an old revision of the document!

Laboratorul 08.

DFT in detaliu: DFT leakage, zero-padding

In acest laborator vom continua sa exploram transformata Fourier Discreta (DFT), urmarind efectul esantionarii in domeniul frecventa (aparitia sinc-ului din cauza fenomenului de leakage) si metode de rezolvare a acestuia (zero-padding, ferestre, cresterea numarului de esantioane).

Exercitiul 1 -- DFT leakage si zero-padding [10p]

In acest exercitiu veti reface exemplul pe care l-am facut la curs cu 2 sinusoide pentru a vedea efectul fenomenului de leakage si a experimenta zero-padding. Pentru asta vom folosi urmatorul semnal:

$s(n) = A_1 \sin(2\pi f_1 n t_s) + A_2 \sin(2\pi f_2 n t_s)$,

unde $f_1$ si $f_2$ sunt frecventele celor doua sinusoide care compun semnalul, si $t_s = 1/f_s$ e perioada de sampling ($f_s = 1/t_s$).

Pentru a face asta urmariti urmatorii pasi:

Creati si plotati semnalul, folosind $A_1=1$, $A_2=0.5$, $f_s = 8000$ Hz, $f_1 = 1000$ Hz, $f_2 = 2000$ Hz pentru $N=8$ esantioane.
Calculati DFT pentru acest semnal si plotati magnitudinea acesteia, ca in laboratoarele anterioare. Ar trebui sa obtineti ceva de genul urmator:
Apoi eliminati prima sinusoida (ex.: facand $f_1=0$) si verificati daca aveti semnal doar la 2kHz.
Schimbati $f_2$ de la 2kHz la $f_2=2500$ Hz. Plotati spectrul. Ce putem observa? Ar trebui sa vedeti ca toata energia de la frecventa de 2.5kHz a fost distribuita pe frecventele adiacente. Dupa cum am invatat la curs acesta este fenomenul cunoscut ca “DFT leakage”, si apare din cauza faptului ca folosirea unui numar finit de esantioane poate fi modelata ca inmultirea unui semnal infinit esantionat cu o functie rectangulara (al carui spectru este un sinc). Inainte, nu vedeam acest efect pentru ca esantioanele sinc-ului erau exact in punctele unde sinc-ul era 0.
Pentru a vedea mai bine efectul de leakage trebuie sa crestem numarul de sample-uri folosite pentru DFT. Pentru asta adaugati 0-uri semnalului vostru. De exemplu adaugati 56 de zerouri ca sa obtineti un total de $K=64$ esantioane (din care doar $N=8$ sunt diferite de 0). Apoi calculati DFT pentru acest semnal. Ar trebui sa vedeti forma sinc-ului mult mai clar si de asemenea ca e centrata in jurul frecventei semnalului (2.5kHZ).
Acum schimbati din nou frecventa la $f2=2000$ Hz dar folosind in continuare zero-padding si plot-ati DFT. Ar trebui sa vedeti ca intradevar sinc-ul era acolo, dar esantioanele de la $1000, 2000, 3000, \ldots$ erau 0.

Solution without zero-padding:

lab7_sinewaves.m

close all;
clear;
fs = 8000;
f1 = 0000;
f2 = 2500;
A1 = 1;
A2 = 0.5;
N = 8;
 
t = 0:(N-1);
s1 = A1*sin(2*pi*(f1/fs)*t);
s2 = A2*sin(2*pi*(f2/fs)*t);
s = s1 + s2;
 
%% Plot signals
h = figure;
plot(t, s1, 'r--');
hold on;
plot(t, s2, 'b-.');
plot(t, s, 'k-');
xlabel('Sample index');
ylabel('Amplitude');
title('Two sinewaves');
legend('s1', 's2', 's1 + s2');
print(h, '-dpng', 'lab7_sinewaves_c.png');
 
 
%% Compute/plot fft
ffs = fft(s);
fidx = (fs/N)*linspace(0, N-1, N);
h = figure;
stem(fidx, abs(ffs));
title('FFT of signal');
xlabel('DFT frequency index');
print(h, '-dpng', 'lab7_sinewaves_c_fft.png');

Code with zero-padding:

sinewaves_zeropad.m

close all;
clear;
fs = 8000;
f1 = 0;
f2 = 2000;
A1 = 1;
A2 = 0.5;
N = 8;
Z = 64;
 
t = 0:(N-1);
tt = 0:(Z-1);
s1 = A1*sin(2*pi*(f1/fs)*t);
s2 = A2*sin(2*pi*(f2/fs)*t);
 
%% Zero-pad the signals
s1 = [s1, zeros(1, Z-N)];
s2 = [s2, zeros(1, Z-N)];
s = s1 + s2;
 
 
%% Plot signals
h = figure;
plot(tt, s1, 'r--');
hold on;
plot(tt, s2, 'b-.');
plot(tt, s, 'k-');
xlabel('Sample index');
ylabel('Amplitude');
title('Two sinewaves');
legend('s1', 's2', 's1 + s2');
print(h, '-dpng', 'lab7_sinewaves_zeropad_b.png');
 
%% Compute/plot fft
ffs = fft(s);
fidx = (fs/Z)*linspace(0, Z-1, Z);
h = figure;
stem(fidx, abs(ffs));
title('FFT of signal');
xlabel('DFT frequency index');
print(h, '-dpng', 'lab7_sinewaves_zeropad_fft_b.png');