Materiale ajutătoare:

1. D. Johnson's book sau aici
   1. Secțiunile 4.5 (Exercițiul 1), 4.7 (Exercițiul 2), 4.6 (Exercițiul 3)

O să folosim din nou semnalul dreptunghiular, de amplitudine 'A' în intervalul [0, T/2] și '-A' în intervalul [T/2, T] care are coeficienții Fourier dați de formula:

\begin{equation} c_{k} = \left\lbrace \begin{array}{} \frac{2}{j \pi k}A \qquad k \quad impar \\0 \qquad \quad k \quad par \end{array} \right. \end{equation}

În acest exercițiu vom încerca să calculăm rădăcina pătratică medie (eng. root mean square) a semnalului de eroare $\epsilon_{K}$ dat de: \begin{equation} \epsilon_{K}(t) = s(t) - s_{K}(t), \end{equation}

unde $s_{K}(t)$ este semnalul aproximat cu K termeni. Folosind transformata Fourier avem: \begin{equation} s_K(t) = \sum_{k=-K}^K c_k e^\frac{j 2 \pi k t}{T} \end{equation}

iar RMS-ul lui $\epsilon_K$ este dat de: \begin{equation} \text{rms}(\epsilon_K) = \sqrt{2\cdot \sum_{k=K+1}^\infty |c_k|^2} \end{equation}

Task-ul vostru este să determinați valoarea lui K astfel încât $\text{rms}(\epsilon_K)$ este aproape 0 și după aceea să vedeți că într-adevăr semnalul reconstruit aproximează bine semnalul original.

Pentru asta ar trebui să urmăriți următorii pași:

1. Creați semnalul original. Folosiți, de exemplu T=100 și A=1 pentru a genera semnalul cu valoarea 1 în primele 50 de eșantioane și -1 în ultimele 50. Reprezentaţi grafic semnalul ca funcţie de timp (unde timpul începe de la 1 până la 100) [1p]. Puteți să vă folosiți de acest cod:

   A = 1;
   T = 100;
   x = 1:T;
   s = -A*ones(1, T);
   s(1:(T/2)) = A;

2. Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[-10:10]$. Plotați amplitudinile $|c_k|^2$ ca funcție de $k$. [1p]
3. Calculați coeficienții Fourier $c_{k}$ pentru $k=[0:1500]$. Calculați $\text{rms}(\epsilon_{K})$ ca funcție de $K$ pentru $K \in \{1, \ldots, 500\}$. Plotați valoarea rms pentru $K \in \{1, \ldots, 500\}$.[1p]
4. Determinați cel mai mic $K$ astfel încât $\text{rms}(\epsilon_{K}) < 0.025$ și reconstruiți semnalul original folosind acest număr de coeficienți. Trebuie să folosiți atât coeficienții pozitivi cât și negativi (de ex. de la -K la K) pentru a reconstrui semnalul. Reprezentați grafic semnalul reconstruit și comparați-l cu semnalul inițial. [1p]

În acest exercițiu trebuie să calculăm coeficienții Fourier ai output-ului unui filtru trece-jos, dat fiind un semnal de intrare de tip puls.

Pentru un semnal dat putem găsi coeficienții Fourier ($c_k$). Atunci, dacă știm funcția de transfer a filtrului trece-jos (sau alt tip de sistem liniar), am arătat la curs că putem găsi coeficienții Fourier ($c_k^y$) ai semnalului rezultat ca: \begin{equation} c_k^y = H(\frac{k}{T}) \cdot c_k \end{equation}

Astfel putem reconstrui semnalul de ieșire folosind coeficienții Fourier $c_k^y$.

Ni se dă ca input un semnal de tip puls cu amplitudine $A=1$ și pulsul de durată $\Delta=\frac{T}{5}$. Știm că coeficienții Fourier ai semnalului sunt dați de: \begin{equation} c_k = A \cdot e^{-j\frac{\pi k \Delta}{T}} \cdot \frac{\text{sin}(\frac{\pi k \Delta}{T})}{\pi k} = A \cdot e^{-j\frac{\pi k \Delta}{T}} \cdot \frac{\Delta}{T} \cdot \text{sinc}(\frac{\pi k \Delta}{T}). \end{equation}

Funcția de transfer a circuitului (pe care am determinat-o la curs și la laboratoarele anterioare) este următoarea: \begin{equation} H(f=\frac{k}{T}) = \frac{1}{1+j 2 \pi R C \frac{k}{T}} \end{equation} unde R și C sunt rezistența și respectiv capacitatea.

Task-ul vostru este să determinați coeficienții output-ului și să reconstruiți semnalul de ieșire pentru diferite frecvențe de tăiere.

Pentru aceasta urmăriți următorii pași:

1. Generați semnalul puls și plotați-l. Puteți folosi T=100 de eșantioane, dintre care doar $\Delta$ nu sunt egale cu 0. [1p]
2. Calculați primii N=30 coeficienți Fourier pozitivi $c_k$ ai semnalului și plotați-i. [1p]
3. Calculați coeficienții Fourier asociați semnalului de output, $c_k^y$, folosind formula de mai sus și plotați-i. Pentru asta va trebui să alegeți o frecvență de cut-off $f_c$ care va determina valorile R și C ( $RC = \frac{1}{2\pi f_c}$ ). [1p]

Puteți încerca următoarele valori pentru $f_c$:

1. $f_c = 0.1/T$ (frecvența de cut-off e mult mai mică decât frecvența fundamentală a semnalului ⇒ filtrare puternică)
2. $f_c = 1/T$ (frecvența de cut-off = frecvența fundamentală ⇒ puterea este înjumătățită)
3. $f_c = 10/T$ (frecvența de cut-off mult mai mare decât frecvența fundamentală ⇒ filtrare slabă)
4. Reconstruiți semnalul de output cu ajutorul seriei Fourier (folosind formula de la exercițiul 1) [1p]

*RC Filter Transient example
	
V1 in 0 PULSE(0 1 1ns 1ns 1ns 40us 200us)
R1 in out 3.2k
C1 out 0 10n
	
.TRAN 10n 1m
.end

Am văzut la curs că pentru a transmite 2 biți simultan putem folosi două frecvențe diferite (f1, f2) pentru a coda o valoare de 2 biți:

1. '00': folosim un semnal egal cu 0 (nicio frecvență)
2. '01': folosim o sinusoidă ce conține doar prima frecvență ($\sin(2\pi f_1 t)$)
3. '10': folosim o sinusoidă ce conține doar a doua frecvență ($\sin(2\pi f_2 t)$)
4. '11': folosim ambele frecvențe $f_1$ și $f_2$

Task-ul vostru e să creați o secvență random de 10 valori între 0 și 3 (pentru a folosi toate valorile de mai sus) și apoi să o codificați folosind 2 sinusoide așa cum este descris mai sus. Pentru asta ar trebui să:

1. selectați frecvențele $f_1$ și $f_2$ astfel încât ele folosesc aceeași frecvență fundamentală (de ex.: $f_1 = 1 \cdot f_t$, $f_2 = 2 \cdot f_t$);
2. plotați semnalul rezultat folosind perioada ($1/f_t$) pentru fiecare valoare transmisă;
3. verificați că semnalul rezultat codează secvența voastră random;

Notă: pentru a genera o secvență random de valori întregi inspectați funcția 'randi' din MATLAB.

%% Frquency modulation using two frequencies
close all;
k1 = 1;
k2 = 2;
T = 1;
f1 = k1/T;
f2 = k2/T;
t = 0:T/100:T;
s1 = sin(2*pi*f1*t);
s2 = sin(2*pi*f2*t);
values = randi([0 3], 1, 10);
nv = length(values);
s = [];
for i=1:nv
    si = zeros(1,length(s1));
    if mod(values(i), 2) == 1
        si = si + s1;
    end
    if values(i) > 1
        si = si + s2;
    end
    s = [s, si];
end
tt = length(s);
x = ((1:tt) - 1) * nv / tt;
h1 = figure;
plot(x, s);
grid on;
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Frequency modulated signal');
print(h1, '-dpng', 'freqmod.png');
fprintf('The transmitted values are:\n');
values