Show page

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- programare-ca:laboratoare:lab06 [2012/11/10 09:58]
andrei.parvu [Exerciţii de Laborator]
+++ — (current)
@@ Line 1: / Line 1: @@
-===== Matrice. Operaţii cu matrice: adunare, înmulţire. Reprezentarea în memorie. =====
-**Responsabil:** [[andrei.parvu@cti.pub.ro|Andrei Pârvu]]
-==== Obiective =====
-În urma parcurgerii acestui laborator studentul va fi capabil:
-  * să declare matrice si orice fel de tablou multidimensional;
-  * sa initializeze aceste structuri, atat din declaratie, cat si prin instructiuni iterative;
-  * sa cunoasca regulile de reprezentare ale tablourilor in memorie si sa inteleaga modul in care compilatorul interpreteaza operatorii de indexare;
-  * sa cunoasca scheme comune de utilizare a acestor structuri;
-  * sa foloseasca practici recunoscute si recomandate pentru scrierea de cod sursa care implica lucrul cu matrice;
-  * sa recunoasca si sa evite erorile comune de programare legate de aceste structuri
-==== Noţiuni teoretice ====
-=== Matrice ===
-Matricea este o colecţie omogenă şi bidimensională de elemente. Acestea pot fi accesate prin intermediul a doi indici, numerotaţi, ca şi în cazul vectorilor, începand de la 0. Declaraţia unei matrice este de forma:
-<code bash>
-<tip_elemente> <nume_matrice>[<dim_1>][<dim_2>];
-</code>
-De exemplu, avem:
-<code c>
-int mat[5][10];
-</code>
-<code c>
-#define MAX_ELEM 100
-float a[MAX_ELEM][MAX_ELEM];
-</code>
-Numărul de elemente ale unei matrice va fi ''dim_1*dim_2'', şi semnificaţia fiecărei dimensiuni este o chestiune ce ţine de logica programului. În matematică, prima dimensiune poate să însemne linia şi a doua coloana pentru fiecare element, însa acest lucru nu este obligatoriu. Este necesar totuşi, pentru funcţionarea corectă a programului, să se respecte semnificaţiile alese pe întreg parcursul codului sursă.
-=== Tablouri multidimensionale ===
-Vectorii şi matricele se pot extrapola la noţiunea generală de tablou cu mai multe dimensiuni, care se declară în modul următor:
-<code bash>
-<tip_elemente> <nume_tablou>[<dim_1>][<dim_2>]...[<dim_n>];
-</code>
-De exemplu:
-<code c>
-int cube[3][3][3];
-</code>
-Deşi, în cazul a mai mult de 3 dimensiuni, tablourile pot să nu mai aibă sens concret sau fizic, acestea pot fi deosebit de utile în multe situaţii. În acest laborator ne vom rezuma totuşi la tablouri bidimensionale.
-=== Adunarea si înmulţirea matricelor ===
-== Suma matricelor ==
-Fie $A \in {\mathbb R}^{m \times n}$, $B \in {\mathbb R}^{m \times n}$, atunci $(A+B) \in {\mathbb R}^{m \times n}$, unde: $(A+B)_{i,j} =  A_{i,j} + B_{i,j}$
-[[Image:sum.png]]
-Exemplu:
-<latex>
-  \setlength{\parindent}{0pt}
-  \begin{bmatrix}
-& 3 \\
-& 4 \\
-& 8
-  \end{bmatrix}
-+
-  \begin{bmatrix}
-& 5 \\
-& 2 \\
-& 1
-  \end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-& 8 \\
-& 6 \\
-& 9
-\end{bmatrix}
-</latex>
-== Înmulţirea matricelor ==
-Fie $A \in {\mathbb R}^{m \times n}$, $B \in {\mathbb R}^{n \times p}$, atunci $(AB) \in {\mathbb R}^{m \times p}$, unde elementele $A.B$ sunt date de formula:
-$(AB)_{i,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}$
-[[Image:mul.png|left]] Exemplul din stânga prezintă cum se calculează valorile (1,2) si (3,3) ale '''AB''' daca '''A''' este o matrice 3×2, si '''B''' o matrice 2×3. Pentru calculul unui element din matrice se consideră o linie respectiv o coloană din fiecare matrice conform săgeţilor. Elementele din acestea sunt înmulţite câte 2 conform înmulţirii pe vectori, apoi suma produselor constituie elementul din matricea finală
-<latex>
-  \setlength{\parindent}{0pt}
-  (\mathbf{AB})_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2} \\
-  (\mathbf{AB})_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}
-</latex>
-Exemplu:
-<latex>
-  \setlength{\parindent}{0pt}
-  \begin{bmatrix}
-& 0 & 2 \\
-     -1 & 3 & 1
-  \end{bmatrix}
-\cdot
-  \begin{bmatrix}
-& 1 \\
-& 1 \\
-& 0
-  \end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-\times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\
-  -1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & -1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-& 1 \\
-& 2
-\end{bmatrix}
-</latex>
-=== Reprezentarea în memorie ===
-Cunoaşterea reprezentării în memorie a tablourilor vă ajută să înţelegeţi mai bine cum se lucrează cu aceste tipuri de date şi să evitaţi atât erorile comune, cât şi pe cele mai subtile. Aşa cum se ştie, fiecare variabilă are asociata o anumită adresă în memorie şi ocupă o anumită lungime, măsurată în octeţi. Standardul C impune ca un tablou să fie memorat într-o zonă continuă de memorie, astfel ca pentru un tabloul de forma: ''T tab[dim1][dim2]...[dimn];''
-dimensiunea ocupată în memorie va fi ''sizeof(T)*dim1*dim2*...*dimn''. Vom considera în continuare cazul particular al unui vector vect de lungime n, şi al unui element oarecare al acestuia, de pe pozitia i.
-Atunci când întalneşte numele vect, compilatorul va intelege ''"adresa în memorie de la care începe vectorul vect"''. Operatorul de indexare [] aplicat numelui vect instruieşte compilatorul să ''"evalueze acel element de tipul T, care se află pe pozitia i în vectorul care începe de la adresa vect"''. Acest lucru se poate exprima direct: ''"evaluarea variabilei de tip T de la adresa vect + i * sizeof(T)"''.
-În ultima formulare observaţi ca nu mai intervine sub nici o formă dimensiunea vectorului dată la declarare. Aceea a fost necesară doar compilatorului, ca sa ştie câtă memorie să aloce pentru reprezentarea acestuia. De asemenea, observaţi că sunt permise indexari în afara spaţiului de memorie alocat, şi astfel programul va putea, din greşeala, accesa alte zone de memorie, lucru care poate avea repercursiuni grave. În cel mai bun caz programul nostru se va comporta foarte ciudat (erori în locuri total imprevizibile), şi în cel mai rău caz întreg sistemul va fi blocat (în cazul sistemelor care nu au implementate spaţii virtuale de memorie proprii fiecărei aplicaţii - platformele Windows NT si Linux).
-Faptul că graniţa dintre vectori şi adrese de memorie este atât de fină în limbajul C, sintaxa acestuia permite expresii ciudate, de forma:
-<code c>
-char a[100];
-a[0] = 1;
-[a] = 5;
-</code>
-Instrucţiunea din urmă înseamna pur şi simplu "asignează 5 variabilei de tip char de la adresa 3 + a * sizeof(char) = 3 + a". Observaţi că aceasta este echivalentă cu a[3] = 5;
-De asemenea, un alt avantaj apare la definirea unui parametru al unei funcţii, de tip vector, caz în care nu este necesară precizarea dimensiunii acestuia:
-void sort(int[] vect, n);
-Este de remarcat faptul că pentru tablouri de dimensiuni m > 1, este necesară precizarea lungimilor primelor m - 1 dimensiuni, pentru ca compilatorul să poată calcula adresa fiecărui element atunci când acesta este referit în program.
-Mai multe detalii legate de reprezentarea tablourilor şi, în general, a datelor în memorie, vor fi date în laboratorul urmator.
-=== Exemple de programe ===
-  * Declararea unei matrici unitate:
-<code c>
-#define M 20 /* nr maxim de linii si de coloane */
-int main() {
-  float unit[M][M];
-  int i,j,n;
-  printf("nr.linii/coloane: ");
-  scanf("%d", &n);
-  if (n > M) {
-    return;
-  }
-  for (i = 0; i < n; i++) {
-    for (j = 0; j < n; j++) {
-      if (i != j) {
-        unit[i][j]=0;
-      } else {
-        unit[i][j]=1;
-      }
-    }
-  }
-  return 0;
-}
-</code>
-  * Citire/scriere de matrice de reali:
-<code c>
-int main() {
-  int nl, nc, i, j;
-  float a[20][20];
-  /* Citire de matrice */
-  printf("nr.linii: ");
-  scanf("%d", &nl);
-  printf("nr.coloane: ");
-  scanf("%d", &nc);
-  if (nl > 20 || nc > 20) {
-    printf("Eroare: dimensiuni > 20 \n");
-    return ;
-  }
-  for (i = 0; i < nl; i++) {
-    for (j = 0; j < nc; j++) {
-      scanf("%f", &a[i][j]);
-    }
-  }
-  /* Afisare matrice */
-  for (i = 0; i < nl; i++) {
-    for (j = 0; j < nc; j++) {
-      printf("%f ",a[i][j]);
-    }
-    printf ("\n");
-  }
-  return 0;
-}
-</code>
-==== Erori comune ====
-  * Inversarea indicilor pentru elementele unei matrice sau tablou. E usor sa-l inversezi pe i cu j in expresia A[i][j] astfel ca trebuie sa fiti atenti cand scrieti astfel de cod. Luati in considerare si folosirea de nume mai sugestive pentru variabile.
-===== Referinţe =====
-[[http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication | Wikipedia - Matrix Multiplication]]
-===== Exerciţii de Laborator =====
-  - Scrieţi un program pentru înmulţirea a două matrice, dacă aceasta este posibilă. Va trebui să implementaţi două funcţii:\\
-    * [1p] una pentru citirea unei matrice într-un tablou bidimensional, dat ca parametru.
-    * [2.5p] una care să realizeze efectiv înmulţirea a două matrice.
-  - [1p] Scrieţi un program care ridică o matrice patratică cu n linii şi n coloane la puterea p, cu p număr întreg pozitiv.
-  - [2p] Scrieți un program care să testeze dacă o matrice apare ca o submatrice într-o altă matrice.\\ Exemplu: <code>
-2 3 4
-4 5 6
-7 8 9
-5
-8 // DA
-6
-8 // NU
-</code>
-  - [3p] Scrieți un program care să afișeze elementele unei matrice pătratice în ordinea diagonalelor pe care se află, de sus în jos.\\ Exemplu: <code>
-   2  3  4
-   6  7  8
-  10 11 12
-14 15 16
-// Rezultat
-2 5 3 6 9 4 7 10 13 8 11 14 12 15 16
-</code>
-BONUS:
-  - [2.5p] Fie un sistem de ecuaţii superior triunghiular. Coeficienţii din sistem se dau sub forma unei matrice superior triunghiulare (toţi termenii de sub diagonala principală egali cu 0 şi toţi cei de pe diagonala principală diferiţi de 0). Termenii liberi se dau sub forma unui vector. Să se rezolve sistemul de ecuaţii.\\ Puteţi folosi pentru testare: <latex>
-  \begin{bmatrix}
-& 4 & 2 \\
-& 3 & 4 \\
-& 0 & 1 \\
-  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-  x1 \\
-  x2 \\
-  x3 \\
-  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-\\
-\\
-\\
-  \end{bmatrix} => x1 = 29;\ x2 = -11;\ x3 = 9;
-</latex>

programare-ca/laboratoare/lab06.1352534307.txt.gz · Last modified: 2012/11/10 09:58 by andrei.parvu

Show page Old revisions

Media Manager Back to top