https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/ 2026-05-22T01:35:03+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/ https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/lib/tpl/bootstrap3/images/favicon.ico text/html 2024-10-16T23:18:14+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:1&rev=1729109894&do=diff Solutii Mașina Turing 1. // Scrieți o Mașină Turing care primește un șir binar și verifică dacă începe // și se termină cu simboluri distincte (e.g. 100110110). //-------CONFIGURATION name: l1e1 init: q1 accept: Y, H q1, 0 mem0, 0, > q1, 1 mem1, 0, > q1, _ N, _, - mem0, 0 mem0, 0, > mem0, 1 mem0, 1, > mem0, _ expect1, _, < mem1, 0 mem1, 0, > mem1, 1 mem1, 1, > mem1, _ expect0, _, < expect0, 0 Y, 0, - expect0, 1 N, 1, - expect1, 0 N, 0, - expect1, 1 Y, 1, - text/html 2025-10-12T18:49:36+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:2&rev=1760284176&do=diff Soluții notații asimptotice și analiză amortizată Notații asimptotice 1. Dați exemple de câte o funcție din următoarele clase de complexitate: $ O(n)$ $Ω(log(n))$ $θ(n^2)$ $ɷ(1/n)$ $ o(3^n)$ 2. Verificați valoarea de adevăr a următoarelor propoziții: $ √n∈O(logn)$ =>Fals$ logn∈O(log(log n))$$ n∈O(√n logn)$$ n+logn∈θ(n)$$ log(nlogn)∈θ(logn)$$ √n∈ɷ(log n)$ text/html 2025-10-19T21:59:40+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:3&rev=1760900380&do=diff Exercitiul 1 Metoda Agregatelor ArrayList - inserare Raspuns: ĉi = 3 Explicatie: Incepem cu un array cu capacitate 1 si 0 elemente (vom nota cost insert = ci, copiere n elemente = cpyn. * insert1: c = ci = 1 * insert2: c = cpy1 + ci = 2 * text/html 2025-10-27T23:23:56+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:4&rev=1761600236&do=diff Soluții Laboratorul 4 Enunțuri Demonstrați următoarele proprietăți folosind inducție structurală: * 1. ∀l∈List.reverse(reverse(l))=l * 2. ∀r∈Ring,size(move(r))=size(r) * 3. ∀i∈N,∀r∈Ring,element(i,move(r))=element(i+1,r)\[ \mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Void})) \overset{(\text{REV1})}{=} \mathsf{reverse}(\mathsf{Void}) \overset{(\text{REV1})}{=} \mathsf{Void} \]\[ \mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(l)) = l \]\[ \mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, l))) = \ma… text/html 2025-11-01T11:55:08+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:5&rev=1761990908&do=diff Soluții Laborator 5: Analiza probabilistă în Hashing Această pagină conține explicații și răspunsuri pentru întrebările din laboratorul 5. ---------- Exemplul 1: Paradoxul zilelor de naștere Întrebare 1: Pentru ce valoare a lui n probabilitatea ca două persoane să aibă aceeași zi de naștere depășește 0.5?$$ P(\text{distincte}) = \frac{k!}{(k-n)! k^n} $$$ → P(\text{coliziune}) \approx 0.41$$ → P(\text{coliziune}) \approx 0.507$$ → P(\text{coliziune}) \approx 0.706$$$ E[T] = n H_n = n (1 + \tf… text/html 2025-11-11T12:10:50+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:6&rev=1762855850&do=diff Soluții Laboratorul 6 1. a. binary_search: După verificările realizate în timp constant, problema este împărțită în două subprobleme de dimensiune înjumătățită, din care doar una este aleasă. (Pentru simplitate, putem considera termenul constant = 1) $ T(n) = T(n/2) + 1, T(1) = 1 $$ T\left(\frac n{2^h}\right) + 1 $$ h $$ T(1) $$ \log n $$$ \left(\sum_{i=0}^{\log n - 1} 1\right) + T(1) = \log n + 1 = \Theta(\log n) $$$ T(n) = \Theta(\log n) $$ \exists(c_1, c_2 > 0)(N \geq 0): \forall(n\geq N):… text/html 2025-11-16T23:00:31+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:7&rev=1763326831&do=diff + 1. * $ T_a(n) = 2T_a(n-1) + 1$ nu se poate aplica master * $ T_b(n) = T_b(n-1) + 1$ nu se poate aplica master Prin metoda arborelui obtinem n niveluri continand cate o constanta si un nod, deci $ T_b(n) = n * \Theta(1) = \Theta(n) $. * $ T_c(n) = 2T_c(n/2) + \log(n)$ Metoda substitutiei Vrem sa demonstram ca $ T_c(n) = \Theta(n), \ presupunem \ T_c(1) = 1$ $ \Leftrightarrow \exists c_1, c_2 > 0 $ a.i. $ c_1 n \le T_c(n) \le c_2 n$ $ Ca \ sa \ demonstram \ ca \ T_c(n) … text/html 2025-12-04T12:08:55+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:8&rev=1764842935&do=diff Soluții Laboratorul 8 Soluții 1. Definiții și axiome \( \mathrm{insert} : \mathbb{E} \times \mathrm{BTree} \to \mathrm{BTree} \) \( \mathrm{insert}(x, \mathrm{Nil}) \overset{(\text{INS1})}{=} \mathrm{Node}(x, \mathrm{{Nil}}, \mathrm{Nil}) \) \( \mathrm{insert}(x, \mathrm{Node}(y,l,r)) \overset{(\text{INS2})}{=} \mathrm{Node}(y, \mathrm{insert}(x,l), r), x \le y \ \) \( \mathrm{insert}(x, \mathrm{Node}(y,l,r)) \overset{(\text{INS3})}{=} \mathrm{Node}(y, l, \mathrm{insert}(x,r)), x > y \) -… text/html 2025-12-08T22:35:50+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:9&rev=1765226150&do=diff Exerciții 1. \( \mathrm{height}(\mathrm{Nil}) = 0 \\ \mathrm{height}(\mathrm{Node(x, l, r)}) = 1 + \mathrm{max}(\mathrm{height}(l), \mathrm{height}(r)) \) \( \mathrm{depth}(y, \mathrm{Nil}) = \mathrm{ABSENT} \\ \mathrm{depth}(y, \mathrm{Node(x, l, r)}) = \begin{cases} 0, & \text{dacă } x = y \ \\ 1 + \mathrm{depth}(y, l), & \text{dacă } \mathrm{depth}(y, l) \ne \mathrm{ABSENT} \ \\ 1 + \mathrm{depth}(y, r), & \text{dacă } \mathrm{depth}(y, r… text/html 2025-12-15T15:04:16+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:10&rev=1765803856&do=diff text/html 2024-01-08T23:55:27+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:11&rev=1704750927&do=diff Analiza amortizata 1. Stack Naiv: La un momnt dat pot fi k elemente in stack, deci cea mai costisitoare operatie va fi mpop cu complexitate temporala O(k). Daca avem n operatii in secventa (avem deci $ n \leq k $ ), vom avea maxim $ n * O(k) = O(n^2) $ . Dar totusi nu putem face atatea $ mpop(k) $$ pop $$ S $$ mpop(k) $$ S $$ k $$ (k-1) $$ mpop(k-1) $$ pop $$ push $$ 1 $$ mpop $$ k $$ cost(S) = (k-1) * 1 + (k - 1) = 2k - 2 $$ cost(op) = cost(S) / k = (2k - 2) / k \leq 2 \Rightarrow cost(o… text/html 2026-01-19T13:01:34+03:00 https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:12&rev=1768820494&do=diff Abordări practice pentru probleme NP-Complete