This is an old revision of the document!
Examene LFA
Examen restanta LFA 9 sept 2021
Fie $ L_1 = \{0^n1^m \mid n > m > 0\}$
Examen LFA 01.2021
Intrebarea 1:
- AFD
- AFN
- Expresii regulate
1.1. Fie urmatoarea expresie regulata $ E = 0\cup(101\cup 010)\cup 00(01 \cup 10 \cup \epsilon)11$ . Care afirmatie este adevarata privitor la limbajul $ L(E)$ ?
- $ L(E) = \emptyset$
- $ L(E)$ este finit.
- $ L(E)$ este regulat.
- $ L(E)$ contine sirul vid.
1.2. Este posibil ca un AFD $ A_1$ sa aibe mai putine stari decat un AFN $ A_2$ , daca stim ca $ L(A_1) = L(A_2)$ ? Dar daca ambele sunt rezultatul algoritmilor de conversie de la expresii regulate prezentati la curs?
1.3. Identificati doua AFD-uri $ A_1$ si $ A_2$ cu o singura stare, astfel incat: $ L(A_1) = \overline{L(A_2)}$ .
Intrebarea 2:
- Conversii
- Lema de Pompare
- Proprietati de inchidere are LR
2.1. Fie $ E$ o ER. Sa presupunem ca $ A_1$ este rezultatul aplicarii algoritmului de transformare al ER in APD si ca $ A_2$ este un automat cu numar dublu de stari fata de $ A_1$ , astfel incat $ L(A_2) = L(E)$ . Comentati fiecare afirmatie de mai jos (adevarat, fals, de ce?)
- automatul $ A_2$ nu poate exista.
- daca exista un cuvant $ w \in L(A_1)$ astfel incat $ w \not\in L(A_2)$ atunci algoritmul de transformare a fost aplicat gresit.
- daca pt toate cuvintele $ w \in L(A_1)$ , avem $ w \in L(A_2)$ atunci algoritmul de transformare a fost aplicat corect.
2.2. Fie $ A$ un AFD, $ E_1$ o ER care genereaza $ \overline{L(A)}$ si $ E_2$ o ER care genereaza $ L(A)$ . Care afirmatie este adevarata?
- $ L(E_1E_2) = \emptyset$
- daca $ E_1$ genereaza doar siruri de lungime para, atunci $ E_2$ genereaza doar siruri de lungime impara.
- $ L(E_1 \cup E_2) = \Sigma^*$
- $ L(E_1) \subsetneq L(E_2)$
2.3. Fie limbajul $ L= L(01^*)\cdot\{1^n0^m\mid n\geq m\}$ . Care afirmatie este adevarata (justificati):
- $ L$ este regulat.
- $ w_n=01^{2n}0^n$ este o alegere corecta pentru a demonstra ca $ L$ nu este regulat. Daca da, cine este $ i$ ?
- $ L$ este independent de context.
Intrebarea 3:
- APD
- Gramatici IC
3.1. Fie urmatoarea gramatica IC $ G$ : $ S \leftarrow 0S0 \mid 1S0 \mid A, A \leftarrow BS \mid 0B, B \leftarrow 1A $ . Cate stari ar contine un APD care accepta $ L(G)$ ?
3.2. Fie $ \Sigma = \{0,1\}$ si $ G$ o gramatica cu o singura regula. Care afirmatie este adevarata?
- $ L(G)$ este infinit.
- $ L(G)$ este un limbaj regulat.
- $ L(G)$ poate fi scris ca reuniunea dintre un limbaj regulat si unul independent de context (dar neregulat).
3.3. Ce limbaj genereaza urmatoarea gramatica: $ S \leftarrow 0SA \mid ASB, A \leftarrow 0BA \mid 1S \mid 0A, B \leftarrow B1 \mid 0B \mid 1 \mid 0 $
Intrebarea 4:
- Ambiguitate
- Forma N. Cholmsky
4.1. De ce este urmatoarea gramatica ambigua? $ S \leftarrow 0S1\mid 1S0\mid 1S\mid S0\mid \epsilon$
4.2. O gramatica in Forma Normala Cholmsky poate fi ambigua? Justificati.
4.3. Scrieti o gramatica in Forma Normala Cholmsky pentru limbajul $ \{0^n1^n \mid n > 0\}$ .
Intrebarea 5:
- Conversie GIC-APD
- Gramatici Regulate
5.1. Fie $ L$ un limbaj acceptat de urmatoarea gramatica: $ S \leftarrow 0S \mid 1S \mid A, A \leftarrow 1 \mid 0B, B \leftarrow 0 \mid 1A $ . Comentati fiecare afirmatie de mai jos: (adevarat/fals, si de ce?)
- Limbajul $ L$ este un limbaj independent de context
- Limbajul $ L$ este un limbaj regulat
- Limbajul $ L$ este un limbaj regulat dar nu independent de context
5.2. Este urmatoarea gramatica $ S\leftarrow 0S \mid A \mid B, A \leftarrow S1 \mid \epsilon, B \leftarrow 0S \mid \epsilon$ regulata? Justificati.
5.3. Fie $ A$ un APD care foloseste doar primele 5 pozitii de pe stiva. Care afirmatie este adevarata?
- $ L(A)$ este finit.
- $ L(A)$ este regulat.
- $ L(A)$ este independent de context.
- $ L(A)$ este infinit.
Intrebarea 6:
- Prop. de inchidere ale LIC
- Masini Turing
6.1. Dati un exemplu de limbaj regulat a carui intersectie cu un limbaj independent de context produce un limbaj regulat.
6.2. Explicati de ce operatia complement nu este o proprietate de inchidere pentru limbaje independente de context.
6.3. Ce fel de automat poate accepta limbajul $ \{ww^Rw \mid w \in \{0,1\}^*\}$ ?
Examen LFA scris 02.2021
Timp total: 66 min - 1:15h Nr intrebari: 15 (intrebarea 6.1. are trei subpuncte)
Intrebarea 1:
- AFD
- AFN
- Expresii regulate
1.1. [Easy] Convertiti urmatorul AFN intr-o expresie regulata:
Solutie: $ (10^+ \cup 1^+ \cup 10^+1^*)^*$ care este echivalent cu $ 1(0\cup 1)^*$
Timp: 4min
1.2. [Easy] Scrieti o expresie regulata pentru limbajul: $ \{ w \in \{0,1\}^* \mid \text{ fiecare secventa de unul sau mai multi simboli 1 este urmata de un zero} \} $
Solutie: $ 1)
1)
1^*0)\cup 0)^*$
Timp: 3min
1.3. [Easy] Cate stari accesibile contine AFD-ul rezultat din aplicarea algoritmului subset construction asupra AFN-ului de la exercitiul de mai sus? (Raspunsul vostru trebuie sa contina o cifra)
Solutie: $ 5$ stari
Timp: 5min
1.4. [Medium] Fie $ L$ un limbaj descris de o expresie regulata ce nu contine operatorul Kleene Star. Care afirmatie este adevarata?
- $ L$ este regulat
- $ L$ nu este regulat
- $ L$ este independent de context
- $ L$ este infinit
- $ \overline{L}$ este infinit
Solutie: regulat, independent de context, $ \overline{L}$ infinit.
Timp: 4min
Intrebarea 2:
* Conversii
* Lema de Pompare
* Proprietati de inchidere are LR
2.1. [Medium] Alegeti un cuvant $ w_n$ si o constanta de pompare $ i$ cu care putem arata, folosind Lema de pompare, ca limbajul $ \{ww^Rw \mid w \in\{0,1\}^*\}$ nu e regulat.
Solutie: $ w_n = 0^n110^n0^n1$ si $ i=0$ . Cuvantul $ 0^k110^{2n}1$ nu poate fi impartit in trei componente de forma $ ww^Rw$ .
Timp: 6min
2.2. [Hard] Ce puteti spune despre limbajul $ \{a^nb^n \mid n \geq 0\}\cdot\{b^na^n \mid n \geq 0\}$ ? (Atentie: pentru a fi punctat, raspunsul trebuie sa contina o justificare, e.g. L este independent de context deoarece … dar nu este regulat deoarece…)
Solutie: Limbajul rezultat este $ \{a^nb^{n+k}a^k \mid n,k\geq 0\}$ care este independent de context deoarece este concatenarea a doua limbaje IC. Alternativ, putem scrie o gramatica $ S\leftarrow AA, A\leftarrow aAb \mid \epsilon$ . Limbajul nu este regulat. Daca ar fi, atunci intersectia lui cu $ L(a^*b^*)$ , adica limbajul $ \{a^nb^n \mid n\geq 0\}$ ar fi regulat ceea ce e imposibil. Alternativ, putem folosi lema de pompare cu $ w_n=a^nb^n$ si $ i=0$ .
Timp: 5min
2.3. [Medium] Scrieti o expresie regulata pentru $ \overline{L( (0\cup 11)^* )}$ .
Solutie: Construirea DFA-ului echivalent, aplicarea operatiei complement, apoi generarea expresiei regulate. Rezultat: $ 0^*1(\epsilon \cup 0(0 \cup 1)^*)$
Timp: 10min
Intrebarea 3:
* APD
* Gramatici IC
3.1. [Easy] Explicati de ce este urmatoarea gramatica ambigua: $ S \leftarrow 0A1 \mid \epsilon, A \leftarrow 0A \mid A1 \mid S$
Solutie: $ S\Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 00S11 \Rightarrow 0011$ . $ S \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 00S11 \Rightarrow 0011$
Timp: 6 min
3.2. [Medium] Fie urmatorul APD ilustrat mai jos. Ce limbaj accepta?
Solutie: $ \{a^n(b \cup c)^n \mid n \geq 1\}$
Timp: 5 min
3.3. [Medium] Scrieti o gramatica IC peste alfabetul $ \{0,1,*,(,),+\}$ care genereaza limbajul expresiilor regulate sintactic valide peste $ \{0,1\}$ exceptand $ \epsilon$ si $ \emptyset$ .
Solutie: $ S\leftarrow SS \mid S* \mid (S) \mid S+S \mid 0 \mid 1$
Timp: 4 min
Intrebarea 4:
* Ambiguitate
* Forma N. Cholmsky
4.1. [Easy] Scrieti o gramatica in Forma Normala Cholmsky pentru limbajul $ L(a^*b^+)$ . Considerati regulile $ A\leftarrow a$ si $ B \leftarrow b$ definite deja. Nu mai este nevoie sa le adaugati.
Solutie: $ S\leftarrow AS \mid BX \mid b, X\leftarrow BX \mid b$
Timp: 4min
Intrebarea 5:
* Conversie GIC-APD
* Gramatici Regulate
5.1. [Hard]
Fie $ L_1$ si $ L_2$ doua limbaje a caror reuniune este un limbaj regulat. Ce proprietati ale celor doua limbaje sunt in mod necesar adevarate (indiferent de cum am alege $ L_1$ si $ L_2$ )? (Alegeti exact doua variante, una pentru fiecare limbaj).
- $ L_1$ este generat de o gramatica independenta de context
- $ L_1$ este generat de o gramatica regulata
- $ \overline{L_1}$ este infinit
- $ L_2$ este generat de un APD
- $ L_2$ este generat de o gramatica in Forma Normala Cholmsky
- $ \overline{L_2}$ este finit
Solutie: b - $ L_1$ regulat si f - $ \overline{L_2}$ finit (deci $ L_2$ regulat).
Timp: 5min
Intrebarea 6:
* Prop. de inchidere ale LIC
* Masini Turing
6.1. [Hard] Alegeti cea mai simpla masina (AFD, APD, MT) care accepta fiecare din urmatoarele limbaje:
- L1 este $ \overline{L}$ unde $ L= \{0^n1^n2^n \mid n \geq 0\}$
- L2 este $ LL$ unde $ L=\{ ww^R \mid w\in\{0,1\}^*\}$
- L3 este $ L \cup \overline{L}$ , unde $ L$ este un limbaj Turing-acceptat.
Solutie: a - APD, b - APD, c - AFD
Timp: 5min
===== Examen LFA 02.2021 =====
Intrebarea 1:
* AFD
* AFN
* Expresii regulate
1.1. [Easy] Fie $ L=\{w\in \{0\}^* \cdot \mid w\mid \text{ este un numar prim }\}$ . Ce puteti spune despre limbajul $ L^*$ ?
Solutie: Limbaj regulat
1.2. Construiti un AFD echivalent cu urmatorul AFN: $ A=(\{q_0,q_1,q_2\},\{0,1\},\delta,q_0,\emptyset)$ unde $ \Delta = \{(q_0,0,q_1), (q_0,\epsilon,q_2), (q_0,1,q_0), (q_1,0,q_2), (q_2,0,q_2), (q_1,0,q_1)\}$ .
1.3. [Easy] Ce limbaj accepta urmatorul AFN: $ A=(\{q_0,q_1,q_2\},\{0,1\},\delta,q_0,\emptyset)$ unde $ \Delta = \{(q_0,0,q_1), (q_0,\epsilon,q_2), (q_0,1,q_0), (q_1,0,q_2), (q_2,0,q_2), (q_1,0,q_1)\}$ ?
Solutie: $ \emptyset$
1.4. Scrieti doua expresii regulate $ e_1$ si $ e_2$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e_1) = \overline{L(e_2)}$ si $ L(e_1), L(e_2)$ sa fie ambele infinite.
Solutie: $ e_1 = 0^*$ si $ e_2 = 0^*1(1\cup 0)^*$
INFO: Urmatoarele 3 exercitii ar trebui folosite MAXIM de doua ori
1.5. Scrieti doua expresii regulate $ e_1$ si $ e_2$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e_1)L(e_2)=\Sigma^*$ si $ L(e_1), L(e_2)$ sa fie ambele infinite.
Solutie: $ e_1,e_2 = (0\cup 1)^*$
1.6. Scrieti o expresie regulata $ e$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e)^*=\Sigma^*$ si $ L(e)$ sa fie infinit si diferit de $ \Sigma^*$ .
Solutie: $ (0\cup 1)(0 \cup 1)^*$
1.7. Scrieti doua expresii regulate $ e_1$ si $ e_2$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e_1)\cap L(e_2)$ sa fie un limbaj finit iar si $ L(e_1)$ si $ L(e_2)$ sa fie infinite si diferite de $ \Sigma^*$ .
1.8. Scrieti o expresie regulata pentru limbajul secventelor binare care nu contin nici o aparitie a secventei $ 00$ .
1.9. Scrieti o expresie regulata pentru limbajul secventelor binare care nu contin nici o aparitie a secventei $ 10$ .
1.10. Scrieti o expresie regulata pentru limbajul format din cuvinte binare in care fiecare 1 este urmat de un 0 si fiecare 0 este urmat de un 1.
Solutie: $ ( (01) \cup (10) )^*$
1.11. Definiti, folosind expresii regulate, un limbaj infinit peste $ \{0,1\}$ al caror cuvinte sunt palindroame.
Solutie: $ 0*$
1.12. Definiti, folosind expresii regulate, limbajul tuturor cuvintelor peste $ \{0,1\}$ a caror lungime este un numar par.
Solutie: $ (00 \cup 01 \cup 10 \cup 11)^*$
1.13. Definiti, folosind expresii regulate, limbajul cuvintelor care codifica in binar numere de forma $ 3^k$ .
Intrebarea 2:
* Conversii
* Lema de Pompare
* Proprietati de inchidere are LR
2.1. [Hard] Fie $ w = c_1c_2\ldots c_n$ un cuvant. Notam cu $ half(w)$ cuvantul $ c_1c_2\ldots c_{n/2}$ , daca $ n$ este par, respectiv cuvantul $ c_1c_2\ldots c_{(n-1)/2}$ daca $ n$ e impar. De asemenea, $ half(\epsilon)=\epsilon$ . Daca $ L$ este un limbaj regulat, limbajul $ \{half(w) \in \Sigma^* \mid w \in L\}$ este regulat sau nu? (Justificati).
Solutie: Da. Vezi solutie pt exercitiul 1 din Exercise Sheet 2
2.2. [Medium] Fie $ w = c_1c_2\ldots c_n$ un cuvant. Notam cu $ rep(w)$ cuvantul $ c_1c_1c_2c_2\ldots c_n$ si cu $ Rep(L)$ , limbajul $ \{rep(w) \in \Sigma^* \mid w \in L\}$ . Daca limbajul $ L$ este regulat atunci $ Rep(L)$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Putem construi un AFD care accepta $ Rep(L)$ , 'repetand' fiecare tranzitie
2.3. [Medium] Diferenta simetrica intre doua limbaje regulate este un limbaj regulat? Justificati? (Hint: Diferenta simetrica)
Solutie: Da, pentru ca poate fi exprimata ca reuniunea limbajelor din care eliminam intersectia lor. Fiecare operatie este de inchidere.
2.4. [Easy] Limbajul $ \{(0110)^n \mid n \geq 2\}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Limbajul este regulat deoarece poate fi generat de expresia regulata $ 01100110(0110)^*$ .
2.5. [Easy] Limbajul $ \{0^n(010)^m \mid m \geq n \geq 2\}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Nu - Cuvantul $ w_n=0^n(010)^n$ si $ i=2$ poate fi folosit pentru a arata ca limbajul nu e regulat.
2.6. [Easy] Limbajul $ \{0^n(010)^m \mid n,m \geq 2\}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Da
2.7. [Medium] Limbajul $ \{0^n \mid n \text{ este divizibil cu 6} \}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Da. El poate fi descris ca intersectia intre limbajul avand cuvinte de lungime divizibila cu 2 si cu 3, ambele pot fi descrise prin expresii regulate. Se poate puncta cu 2p si in cazul in care studentul nu stie sa scrie expresia regulata pt divizibil cu 3, dar restul rationamentului e ok.
2.8. [Hard] Limbajul $ \{w \in \{0,1\}^* \mid \#_0(w) \text{ este divizibil cu 2} si \#_1(w) \text{ este divizibil cu 3} \}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Da, El poate fi scris ca intersectia a doua limbaje ce pot fi definite prin expresii regulate.
2.9. Limbajul $ L(0^*)\{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ este regulat? Justificati.
Solutie: Nu. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie contina aplicarea corecta a lemei de pompare
2.10. Clasificati limbajul $ \{0^n \mid n \text{ este nr. prim }\}\{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ . Justificati raspunsul.
Solutie: IC dar nu R. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie contina aplicarea corecta a lemei de pompare, dar si o justificare ca limbajul e IC
2.11. Clasificati limbajul $ \{0^n1^n \mid n \geq 0\}\{0^n \mid n\text{ este nr. prim }\}$ . Justificati raspunsul.
Solutie: nu este IC. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie sa faca referire la lema de pompare, iar cuvantul trebuie ales corespunzator ($ w_n=0^n$ cu n prim.
2.12. Clasificati limbajul $ \{0^n1^n2^m \mid m \geq n \geq 0\} \cap \{0^n1^{m}2^{m+n} \mid n,m \geq 0\}$ . Justificati raspunsul.
Solutie: Limbajul este $ \{0^n1^n2^{2n} \mid m \geq n \geq 0\}$ care nu este IC. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie sa faca referire la lema de pompare, iar cuvantul trebuie ales corespunzator
Intrebarea 3:
* APD
* Gramatici IC
3.1. Fie $ (q_1,001010,010Z_0)$ o configuratie a unui APD. Ce tranzitii sunt necesare pentru ca APD-ul sa ajunga in configuratia $ (q_x,1010,110Z_0)$ ?
Solutie: $ (q_1,0,0,q_2,\epsilon)$ si $ (q_2,0,1,q_x,11)$ .
3.2. Fie $ (q_1,010,1110Z_0)$ o configuratie a unui APD. Ce tranzitii sunt necesare pentru ca APD-ul sa ajunga in configuratia $ (q_x,10,00Z_0)$ ?
Solutie: $ (q_1,0,111,q_x,0)$ .
3.3. Fie $ (q_1,1010,0010Z_0)$ o configuratie a unui APD. Ce tranzitii sunt necesare pentru ca APD-ul sa ajunga in configuratia $ (q_x,10,0010Z_0)$ ?
Solutie: $ (q_1,1,\epsilon,q_2,\epsilon)$ si $ (q_2,0,\epsilon,q_3,\epsilon)$ .
Urmatoarele exercitii ar trebui folosite la maxim 2 studenti consecutivi
3.4. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 0S \mid S1 \mid 1S0 \mid 1$ ?
Solutie: Da $ S \Rightarrow 1S0 \Rightarrow 10S0 \Rightarrow 10S10 \Rightarrow^* 101110$
3.5. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 0S \mid S1 \mid 1S0 \mid 0$ ?
Solutie: Da $ S \Rightarrow 1S0 \Rightarrow 1S10 \Rightarrow 1S110 \Rightarrow 1S110 \Rightarrow 1S1110 \Rightarrow 101110$
3.6. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 01S \mid S01 \mid 1S0 \mid 11$ ?
Solutie: Da $ S \Rightarrow 10S \Rightarrow 101S0 \Rightarrow 101110 $
3.7. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 01S \mid S01 \mid 1S0 \mid 1$ ?
Solutie: Nu
3.8. Scrieti o gramatica care genereaza $ L(0(10)^*1)^*$
Solutie: $ S \leftarrow 0S1 \mid A, A \mid 10A \mid \epsilon$
3.9. Scrieti o gramatica care genereaza $ L(10^*10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow 1A1AS \mid \epsilon, A \leftarrow 0A \mid \epsilon$
3.10. Scrieti o gramatica care genereaza $ L(0^*10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow A1AS \mid \epsilon, A \leftarrow 0A \mid \epsilon$
3.11. Scrieti o gramatica care genereaza $ L((0^*1)^*(10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow AB, A \leftarrow C1A \mid \epsilon, B \leftarrow 1CB \mid epsilon, C \leftarrow 0C \mid \epsilon$
3.12. Scrieti o gramatica care genereaza $ L((10^*)^*(10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow 1AS \mid epsilon, A \leftarrow 0A \mid \epsilon$
3.13. O gramatica cu doar doua reguli poate genera un limbaj independent de context dar nu regulat?
Solutie: Da $ S\leftarrow 0S1 \mid \epsilon$
3.14. O gramatica cu doar o regula poate genera un limbaj independent de context dar nu regulat?
Solutie: Nu, deoarece cu o singura regula putem genera doar un limbaj finit, deci regulat
3.15. O gramatica cu doua reguli poate genera un limbaj regulat infinit?
Solutie: Da, $ S\leftarrow 0S \mid S1 \mid \epsilon$ genereaza $ L(0*1^*)$ .
3.16. O gramatica cu un singur non-terminal poate genera un limbaj independent de context dar nu regulat?
Solutie: Da…
3.17. O gramatica cu un singur non-terminal poate genera un limbaj regulat?
Solutie: Da…
3.18. Ce putem spune despre limbajul generat de o gramatica ce nu contine non-terminali?
Solutie: Limbajul respectiv este finit deci regulat
Intrebarea 4:
Solutie: $ \{a^n(b \cup c)^n \mid n \geq 1\}$
Timp: 5 min
3.3. [Medium] Scrieti o gramatica IC peste alfabetul $ \{0,1,*,(,),+\}$ care genereaza limbajul expresiilor regulate sintactic valide peste $ \{0,1\}$ exceptand $ \epsilon$ si $ \emptyset$ .
Solutie: $ S\leftarrow SS \mid S* \mid (S) \mid S+S \mid 0 \mid 1$
Timp: 4 min
Intrebarea 4:
* Ambiguitate
* Forma N. Cholmsky
4.1. [Easy] Scrieti o gramatica in Forma Normala Cholmsky pentru limbajul $ L(a^*b^+)$ . Considerati regulile $ A\leftarrow a$ si $ B \leftarrow b$ definite deja. Nu mai este nevoie sa le adaugati.
Solutie: $ S\leftarrow AS \mid BX \mid b, X\leftarrow BX \mid b$
Timp: 4min
Intrebarea 5:
* Conversie GIC-APD
* Gramatici Regulate
5.1. [Hard]
Fie $ L_1$ si $ L_2$ doua limbaje a caror reuniune este un limbaj regulat. Ce proprietati ale celor doua limbaje sunt in mod necesar adevarate (indiferent de cum am alege $ L_1$ si $ L_2$ )? (Alegeti exact doua variante, una pentru fiecare limbaj).
- $ L_1$ este generat de o gramatica independenta de context
- $ L_1$ este generat de o gramatica regulata
- $ \overline{L_1}$ este infinit
- $ L_2$ este generat de un APD
- $ L_2$ este generat de o gramatica in Forma Normala Cholmsky
- $ \overline{L_2}$ este finit
Solutie: b - $ L_1$ regulat si f - $ \overline{L_2}$ finit (deci $ L_2$ regulat).
Timp: 5min
Intrebarea 6:
* Prop. de inchidere ale LIC
* Masini Turing
6.1. [Hard] Alegeti cea mai simpla masina (AFD, APD, MT) care accepta fiecare din urmatoarele limbaje:
- L1 este $ \overline{L}$ unde $ L= \{0^n1^n2^n \mid n \geq 0\}$
- L2 este $ LL$ unde $ L=\{ ww^R \mid w\in\{0,1\}^*\}$
- L3 este $ L \cup \overline{L}$ , unde $ L$ este un limbaj Turing-acceptat.
Solutie: a - APD, b - APD, c - AFD
Timp: 5min
===== Examen LFA 02.2021 =====
Intrebarea 1:
* AFD
* AFN
* Expresii regulate
1.1. [Easy] Fie $ L=\{w\in \{0\}^* \cdot \mid w\mid \text{ este un numar prim }\}$ . Ce puteti spune despre limbajul $ L^*$ ?
Solutie: Limbaj regulat
1.2. Construiti un AFD echivalent cu urmatorul AFN: $ A=(\{q_0,q_1,q_2\},\{0,1\},\delta,q_0,\emptyset)$ unde $ \Delta = \{(q_0,0,q_1), (q_0,\epsilon,q_2), (q_0,1,q_0), (q_1,0,q_2), (q_2,0,q_2), (q_1,0,q_1)\}$ .
1.3. [Easy] Ce limbaj accepta urmatorul AFN: $ A=(\{q_0,q_1,q_2\},\{0,1\},\delta,q_0,\emptyset)$ unde $ \Delta = \{(q_0,0,q_1), (q_0,\epsilon,q_2), (q_0,1,q_0), (q_1,0,q_2), (q_2,0,q_2), (q_1,0,q_1)\}$ ?
Solutie: $ \emptyset$
1.4. Scrieti doua expresii regulate $ e_1$ si $ e_2$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e_1) = \overline{L(e_2)}$ si $ L(e_1), L(e_2)$ sa fie ambele infinite.
Solutie: $ e_1 = 0^*$ si $ e_2 = 0^*1(1\cup 0)^*$
INFO: Urmatoarele 3 exercitii ar trebui folosite MAXIM de doua ori
1.5. Scrieti doua expresii regulate $ e_1$ si $ e_2$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e_1)L(e_2)=\Sigma^*$ si $ L(e_1), L(e_2)$ sa fie ambele infinite.
Solutie: $ e_1,e_2 = (0\cup 1)^*$
1.6. Scrieti o expresie regulata $ e$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e)^*=\Sigma^*$ si $ L(e)$ sa fie infinit si diferit de $ \Sigma^*$ .
Solutie: $ (0\cup 1)(0 \cup 1)^*$
1.7. Scrieti doua expresii regulate $ e_1$ si $ e_2$ peste alfabetul $ \Sigma=\{0,1\}$ astfel incat $ L(e_1)\cap L(e_2)$ sa fie un limbaj finit iar si $ L(e_1)$ si $ L(e_2)$ sa fie infinite si diferite de $ \Sigma^*$ .
1.8. Scrieti o expresie regulata pentru limbajul secventelor binare care nu contin nici o aparitie a secventei $ 00$ .
1.9. Scrieti o expresie regulata pentru limbajul secventelor binare care nu contin nici o aparitie a secventei $ 10$ .
1.10. Scrieti o expresie regulata pentru limbajul format din cuvinte binare in care fiecare 1 este urmat de un 0 si fiecare 0 este urmat de un 1.
Solutie: $ ( (01) \cup (10) )^*$
1.11. Definiti, folosind expresii regulate, un limbaj infinit peste $ \{0,1\}$ al caror cuvinte sunt palindroame.
Solutie: $ 0*$
1.12. Definiti, folosind expresii regulate, limbajul tuturor cuvintelor peste $ \{0,1\}$ a caror lungime este un numar par.
Solutie: $ (00 \cup 01 \cup 10 \cup 11)^*$
1.13. Definiti, folosind expresii regulate, limbajul cuvintelor care codifica in binar numere de forma $ 3^k$ .
Intrebarea 2:
* Conversii
* Lema de Pompare
* Proprietati de inchidere are LR
2.1. [Hard] Fie $ w = c_1c_2\ldots c_n$ un cuvant. Notam cu $ half(w)$ cuvantul $ c_1c_2\ldots c_{n/2}$ , daca $ n$ este par, respectiv cuvantul $ c_1c_2\ldots c_{(n-1)/2}$ daca $ n$ e impar. De asemenea, $ half(\epsilon)=\epsilon$ . Daca $ L$ este un limbaj regulat, limbajul $ \{half(w) \in \Sigma^* \mid w \in L\}$ este regulat sau nu? (Justificati).
Solutie: Da. Vezi solutie pt exercitiul 1 din Exercise Sheet 2
2.2. [Medium] Fie $ w = c_1c_2\ldots c_n$ un cuvant. Notam cu $ rep(w)$ cuvantul $ c_1c_1c_2c_2\ldots c_n$ si cu $ Rep(L)$ , limbajul $ \{rep(w) \in \Sigma^* \mid w \in L\}$ . Daca limbajul $ L$ este regulat atunci $ Rep(L)$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Putem construi un AFD care accepta $ Rep(L)$ , 'repetand' fiecare tranzitie
2.3. [Medium] Diferenta simetrica intre doua limbaje regulate este un limbaj regulat? Justificati? (Hint: Diferenta simetrica)
Solutie: Da, pentru ca poate fi exprimata ca reuniunea limbajelor din care eliminam intersectia lor. Fiecare operatie este de inchidere.
2.4. [Easy] Limbajul $ \{(0110)^n \mid n \geq 2\}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Limbajul este regulat deoarece poate fi generat de expresia regulata $ 01100110(0110)^*$ .
2.5. [Easy] Limbajul $ \{0^n(010)^m \mid m \geq n \geq 2\}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Nu - Cuvantul $ w_n=0^n(010)^n$ si $ i=2$ poate fi folosit pentru a arata ca limbajul nu e regulat.
2.6. [Easy] Limbajul $ \{0^n(010)^m \mid n,m \geq 2\}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Da
2.7. [Medium] Limbajul $ \{0^n \mid n \text{ este divizibil cu 6} \}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Da. El poate fi descris ca intersectia intre limbajul avand cuvinte de lungime divizibila cu 2 si cu 3, ambele pot fi descrise prin expresii regulate. Se poate puncta cu 2p si in cazul in care studentul nu stie sa scrie expresia regulata pt divizibil cu 3, dar restul rationamentului e ok.
2.8. [Hard] Limbajul $ \{w \in \{0,1\}^* \mid \#_0(w) \text{ este divizibil cu 2} si \#_1(w) \text{ este divizibil cu 3} \}$ este regulat sau nu? Justificati.
Solutie: Da, El poate fi scris ca intersectia a doua limbaje ce pot fi definite prin expresii regulate.
2.9. Limbajul $ L(0^*)\{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ este regulat? Justificati.
Solutie: Nu. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie contina aplicarea corecta a lemei de pompare
2.10. Clasificati limbajul $ \{0^n \mid n \text{ este nr. prim }\}\{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ . Justificati raspunsul.
Solutie: IC dar nu R. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie contina aplicarea corecta a lemei de pompare, dar si o justificare ca limbajul e IC
2.11. Clasificati limbajul $ \{0^n1^n \mid n \geq 0\}\{0^n \mid n\text{ este nr. prim }\}$ . Justificati raspunsul.
Solutie: nu este IC. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie sa faca referire la lema de pompare, iar cuvantul trebuie ales corespunzator ($ w_n=0^n$ cu n prim.
2.12. Clasificati limbajul $ \{0^n1^n2^m \mid m \geq n \geq 0\} \cap \{0^n1^{m}2^{m+n} \mid n,m \geq 0\}$ . Justificati raspunsul.
Solutie: Limbajul este $ \{0^n1^n2^{2n} \mid m \geq n \geq 0\}$ care nu este IC. Pentru a fi punctat, raspunsul trebuie sa faca referire la lema de pompare, iar cuvantul trebuie ales corespunzator
Intrebarea 3:
* APD
* Gramatici IC
3.1. Fie $ (q_1,001010,010Z_0)$ o configuratie a unui APD. Ce tranzitii sunt necesare pentru ca APD-ul sa ajunga in configuratia $ (q_x,1010,110Z_0)$ ?
Solutie: $ (q_1,0,0,q_2,\epsilon)$ si $ (q_2,0,1,q_x,11)$ .
3.2. Fie $ (q_1,010,1110Z_0)$ o configuratie a unui APD. Ce tranzitii sunt necesare pentru ca APD-ul sa ajunga in configuratia $ (q_x,10,00Z_0)$ ?
Solutie: $ (q_1,0,111,q_x,0)$ .
3.3. Fie $ (q_1,1010,0010Z_0)$ o configuratie a unui APD. Ce tranzitii sunt necesare pentru ca APD-ul sa ajunga in configuratia $ (q_x,10,0010Z_0)$ ?
Solutie: $ (q_1,1,\epsilon,q_2,\epsilon)$ si $ (q_2,0,\epsilon,q_3,\epsilon)$ .
Urmatoarele exercitii ar trebui folosite la maxim 2 studenti consecutivi
3.4. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 0S \mid S1 \mid 1S0 \mid 1$ ?
Solutie: Da $ S \Rightarrow 1S0 \Rightarrow 10S0 \Rightarrow 10S10 \Rightarrow^* 101110$
3.5. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 0S \mid S1 \mid 1S0 \mid 0$ ?
Solutie: Da $ S \Rightarrow 1S0 \Rightarrow 1S10 \Rightarrow 1S110 \Rightarrow 1S110 \Rightarrow 1S1110 \Rightarrow 101110$
3.6. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 01S \mid S01 \mid 1S0 \mid 11$ ?
Solutie: Da $ S \Rightarrow 10S \Rightarrow 101S0 \Rightarrow 101110 $
3.7. Cuvantul $ 101110$ apartine limbajului generat de gramatica $ S \leftarrow 01S \mid S01 \mid 1S0 \mid 1$ ?
Solutie: Nu
3.8. Scrieti o gramatica care genereaza $ L(0(10)^*1)^*$
Solutie: $ S \leftarrow 0S1 \mid A, A \mid 10A \mid \epsilon$
3.9. Scrieti o gramatica care genereaza $ L(10^*10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow 1A1AS \mid \epsilon, A \leftarrow 0A \mid \epsilon$
3.10. Scrieti o gramatica care genereaza $ L(0^*10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow A1AS \mid \epsilon, A \leftarrow 0A \mid \epsilon$
3.11. Scrieti o gramatica care genereaza $ L((0^*1)^*(10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow AB, A \leftarrow C1A \mid \epsilon, B \leftarrow 1CB \mid epsilon, C \leftarrow 0C \mid \epsilon$
3.12. Scrieti o gramatica care genereaza $ L((10^*)^*(10^*)^*$
Solutie: $ S \leftarrow 1AS \mid epsilon, A \leftarrow 0A \mid \epsilon$
3.13. O gramatica cu doar doua reguli poate genera un limbaj independent de context dar nu regulat?
Solutie: Da $ S\leftarrow 0S1 \mid \epsilon$
3.14. O gramatica cu doar o regula poate genera un limbaj independent de context dar nu regulat?
Solutie: Nu, deoarece cu o singura regula putem genera doar un limbaj finit, deci regulat
3.15. O gramatica cu doua reguli poate genera un limbaj regulat infinit?
Solutie: Da, $ S\leftarrow 0S \mid S1 \mid \epsilon$ genereaza $ L(0*1^*)$ .
3.16. O gramatica cu un singur non-terminal poate genera un limbaj independent de context dar nu regulat?
Solutie: Da…
3.17. O gramatica cu un singur non-terminal poate genera un limbaj regulat?
Solutie: Da…
3.18. Ce putem spune despre limbajul generat de o gramatica ce nu contine non-terminali?
Solutie: Limbajul respectiv este finit deci regulat
Intrebarea 4:#/media/File:Venn0110.svg){kind=link}
- Ambiguitate
- Forma N. Cholmsky
- Conversie GIC-APD
- Gramatici Regulate
- Prop. de inchidere ale LIC
- Masini Turing