Folosiți lema de pompare pentru a arăta că următoarele limbaje nu sunt independente de context:

1. $ L_1 = \{ 0^{2^n} \mid n \ge 0 \}$

Solutie:

Alegem (tentativ) $ w_n = 0^{2^n}$ . Conform lemei de pompare pentru LIC, cuvantul $ w_n$ este de forma $ xyzuv$ , unde $ \mid yzu \mid \leq n$ si $ yu \neq \epsilon$ . Cautam o valoare pentru $ i$ astfel incat $ xy^izu^iv \not\in L_1$ . Folosim notatia $ \#\alpha$ pentru a ne referi la lungimea sirului $ \alpha$ . Astfel, conditia anterioara devine $ \#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v \neq 2^k$ , pentru un $ k$ natural. Vom incerca sa alegem un $ i>0$ dar suficient de mic astfel incat $ \#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v < 2^{n+1}$ . Prelucram conditia in $ 2^n + (i-1)\#y + (i-1)\#u < 2^{n+1}$ si observam ca pentru $ i=2$ obtinem inegalitatile: $ 2^n + \#y + \#u \leq 2^n + n < 2^{n+1}$ , pt orice $ n\geq 0$ .

2. $ L_2 = \{ a^nb^mc^nd^m \mid n, m \ge 0 \}$

Solutie: Alegem $ w_n = a^nb^nc^nd^n$ . Conform lemei de pompare pentru LIC, fragmentul $ yzu$ are lungime mai mica sau egala cu $ n$ si, indiferent cum ar fi pozitionat, el nu va putea contine toti simbolii din alfabet ($ \{a,b,c,d\}$ ). Asadar, pt $ i=0$ , este garantat ca $ xy^izu^iv$ nu va contine un numar egal de $ a$ -uri, $ b$ -uri, $ c$ -uri si $ d$ -uri.