Solutii pentru exercise sheet 2

1. Fie $ fst(L) = \{ w \in \Sigma^\star \mid \exists x \in \Sigma^\star, a.î. wx \in L\ și\ |x| = |w| \}$. Arătați că $ fst$ este o proprietate de închidere pentru limbajele regulate.

Solutie:

Pentru a intelege mai bine $ fst(L)$ , il putem aplica pe un limbaj finit, dar si pe unul infinit:

• $ fst(\{A,BAAB,AB\}$ = \{BA,A\}]
• $ fst(L(A^*B^+)) = \{B,A,AA,BB,AB, \ldots \}$

Conditia $ \mid x\mid = \mid w\mid$ ne obliga sa identificam mijlocul cuvintelor din $ L$ . In figura de mai jos, pe primul rand, sunt prezentate doua AFN-uri: unul pentru limbajul $ L(A^*B^+)$ si cel pentru $ L(B^+A^*) = reverse(L(A^*B^+))$

2. Fie $ L_3 = \{ w \in \{0, 1\}^* \mid \#_{01}(w) = \#_{10}(w) \}$ (i.e. cuvintele conțin același număr de secvențe “01” și “10”). Demonstrați că $ L_3$ este regulat.

3. Demonstrați că $ L = \{ a^nb^mc^{n-m} \mid n \ge m \ge 0 \}$ nu este un limbaj regulat, fără a folosi izomorfisme.

4. Demonstrați că, pentru orice limbaj $ L$ regulat și infinit, există două limbaje $ L_1$, $ L_2$ regulate și infinite, astfel încât $ L_1 \cap L_2 = \emptyset$ și $ L_1 \cup L_2 = L$.