Soluții Laboratorul 6

1. a. binary_search:

După verificările realizate în timp constant, problema este împărțită în două subprobleme de dimensiune înjumătățită, din care doar una este aleasă.
$ T(n) = T(n/2) + 1, T(1) = 1 $

Metoda arborilor: WIP

Metoda substituției:
Vrem sa demonstrăm că $ T(n) = \Theta(n) $, adică
$ \exists(c_1, c_2 > 0)(N \geq 0): \forall(n\geq N): c_1 \log n \leq T(n) \leq c_2 \log n $

Cazul de bază:
$ N = 2 $
$ c_1 \log 2 = c_1 \leq T(2) = 1 + 1 = 2 \leq c_2 \log 2 = c_2 \Rightarrow $
$ c_1 \leq 2 $
$ c_2 \geq 2 $

Pasul inducției:
pp. că $ c_1 \log(n/2) \leq T(n/2) \leq c_2 \log(n/2) $
$ \Rightarrow c_1 \log(n/2) + 1 \leq T(n/2) + 1 \leq c_2 \log(n/2) + 1 $
$ \Rightarrow c_1 \log n - \log 2 + 1 \leq T(n) \leq c_2 \log n - \log 2 + 1 $
$ \Rightarrow c_1 \log n \leq T(n) \leq c_2 \log n $