Soluții inducție structurală

This is an old revision of the document!

1.

Cazul de bază

reverse(reverse(Void)) =(REV1) reverse(Void) =(REV1) Void

Pas de inducție

Presupunem:

reverse(reverse(l)) = l

Arătăm:

reverse(reverse(Cons(x, l)) =( Cons(x, l)

reverse(reverse(Cons(x, l)) =(REV2) reverse(append(reverse(l), Cons(x, Void)) =(L1) append(reverse(Cons(x, Void)), reverse(reverse(l))) =(II) append(reverse(Cons(x, Void)), l) =(REV2) append(Cons(x, reverse(Void)), l) =(REV1) append(Cons(x, Void), l) =(APP2) Cons(x, append(Void, l)) =(APP1) Cons(x, l)

Unde L1 este lemma: $ \forall l1, l2 \in List, reverse(append(l1, l2)) = append(reverse(l2), reverse(l1))$, care necesită o demonstrație separată, tot prin inducție structurală după l1.

Caz de bază:

reverse(append(Void, l2)) =(APP1) = reverse(l2) =(L3) reverse(append(l2, Void))

(L3 este propoziția $ \forall l \in List, append(l, Void) = l$, cu o demonstrație ușoară, omisă aici; vă recomandăm să explicitați voi demonstrația, prin inducție structurală după $ l$).

Pas de inducție:

Presupunem:

reverse(append(l, l2)) = append(reverse(l2), reverse(l))

Arătăm:

reverse(append(Cons(x, l), l2)) = append(reverse(l2), reverse(Cons(x, l)))

reverse(append(Cons(x, l), l2)) =(APP2) reverse(Cons(x, append(l, l2)) =(REV2) append(reverse(append(l, l2)), Cons(x, Void))) =(II) append(append(reverse(l2), reverse(l)), Cons(x, Void)) =(Asocativitate append) append(reverse(l2), append(reverse(l), Cons(x, Void)) =(REV2) append(reverse(l2), reverse(Cons(x, l)))

Asociativitatea operației append (i.e. $ \forall l1, l2, l3, append(append(l1, l2), l3) = append(l1, append(l2, l3))$) este tot o teoremă care trebuie demonstrată prin inducție structurală; deși laborioasă, este în esență simplă. Vă recomandăm să o redactați explicit.

Notă*: Într-un sens computațional, axiomele noastre reprezintă *reguli de derivare* care ne spun că putem înlocui expresia din stânga cu cea din dreapta. Astfel, un simbol simetric ca = nu pare foarte potrivit, iar expresii de forma 1 + size(l) =(SZ2) size(Cons(e, l)) sunt abuzuri de notație, deoarece folosim derivarea “în sens invers”. Totuși, chiar și cu această interpretare, în afară de abuzul notațional, demonstrațiile noastre sunt corecte și riguroase: putem să le rescriem pentru a arăta separat că, din egalitatea ce trebuie demonstrată, și partea stângă și partea dreapta, pot fi derivate separat în aceași expresie. </note> 2. Cazuri de bază: <code> size(move(Empty)) =(MOV1) size(Empty) ∀x, size(move(Push(x, Empty)) = size(Push(x, Empty)) Rezultă direct din axioma MOV2. </code> <notes> Considerând și Push(x, Empty) un caz de bază ne permite ca în demonstrația următoare să folosim doar Push(e, r) ca inel. </code> Pas de inducție**:

Presupunem:

∀e, size(move(Push(e, r))) = size(Push(e, r))

Arătăm:

∀x, ∀e, size(move(Push(x, Push(e, r))))) = size(Push(x, Push(e, r)))

size(move(Push(x, Push(e, r)))) =(MOV3) size(Push(e, move(Push(x, r)))) =(SZ2) 1 + size(move(Push(x, r))) =(II) 1 + size(Push(x, r)) =(SZ2) 2 + size(r) =(SZ2) 1 + size(Push(e, r)) = size(Push(x, Push(e, r))