Mai multe reduceri Turing

1. Pentru fiecare dintre problemele următoare, determinați dacă sunt decidabile sau nu (demonstrația nedecidablității poate fi realizată printr-o reducere Turing, cea a decidabilității prin schițarea unui algoritm):

• $ f_{1010}(M) = {\rm TRUE} \iff M[1010] \text{ nu mută niciodată capul de citire la stânga}$
• $ f_{s}(M) = {\rm TRUE} \iff \forall w, M[w] \text{ nu mută niciodată capul de citire la stânga}$
• $ f_{50a}(M) = {\rm TRUE} \iff M[1010] \text{ nu trece prin mai mult de 50 de tranziții}$
• $ f_{50b}(M) = {\rm TRUE} \iff \forall w, M[w] \text{ nu trece prin mai mult de 50 de tranziții}$

2. Determinați exact unde se află următoarele probleme ($ {\rm R}$, $ {\rm RE} \setminus {\rm R}$, $ \mathbb{D} \setminus {\rm RE}$):

• $ f_{or}(M_1, M_2) = {\rm TRUE} \iff M_1[111] \rightarrow {\rm TRUE} \lor M_2[111] \rightarrow {\rm TRUE}$
• $ f_{and}(M_1, M_2) = {\rm TRUE} \iff M_1[111] \rightarrow {\rm TRUE} \land M_2[111] \rightarrow {\rm TRUE}$
• $ f_{diff}(M_1, M_2) = {\rm TRUE} \iff M_1[111] \rightarrow {\rm TRUE} \land M_2[111] \not\rightarrow {\rm TRUE}$

3. Dați exemplu de o Mașină Turing pentru care putem determina algoritmic, pentru orice input, dacă se termină sau nu.

4. Dați exemplu de o Mașină Turing pentru care nu putem determina algoritmic dacă se termină sau nu.

Amintiți-vă exercițiul 4 din laboratorul 2. În ce mulțime putem clasifica problema dacă o mașină Turing face numărul maxim de tranziții dintre toate mașinile care se termină, cu același număr de stări și același număr de simboluri? ($ {\rm R}, {\rm RE} \setminus {\rm R}, {\rm coRE} \setminus {\rm R}, \mathbb{D} \setminus ({\rm RE} \cup {\rm coRE}) $)