1. Amintiți-vă mașina isEven de la curs, care determină dacă un număr în baza 2 este par.
| | 0 | 1 | $\square$ |
| $ q_1$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_2, \square, \leftarrow$ |
| $ q_2$ | $ Y, 0, -$ | $ N, 1, -$ | $ N, \square, -$ |
a) scrieți care sunt configurațiile prin care trece mașina pentru inputul: 100
Soluție:
(ꞓ, q1, 100) ⊢ (1, q1, 00) ⊢ (10, q1, 0) ⊢ (100, q1, □) ⊢ (10, q2, 0) ⊢ (10, Y, 0)
b) scrieți care sunt configurațiile prin care trece mașina pentru inputul: 1011
Soluție:
(ꞓ, q1, 1011) ⊢ (1, q1, 011) ⊢ (10, q1, 11) ⊢
(101, q1, 1) ⊢ (1011, q1, □) ⊢ (101, q2, 1) ⊢ (101, N, 1)
2. Fie mașina:
| | 0 | 1 | $\square$ |
| $ q_1$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_2, \square, \leftarrow$ |
| $ q_2$ | $ q_2, 1, \rightarrow$ | $ q_2, 0, \rightarrow$ | $ q_1, \square, \rightarrow$ |
Scrieți primele 15 configurații prin care trece, pentru inputul 1011.
Soluție:
(ꞓ, q1, 1011) ⊢ (0, q1, 011) ⊢ (01, q1, 11) ⊢ (010, q1, 1) ⊢ (0100, q1, □) ⊢
(010, q2, 0) ⊢ (0101, q2, □) ⊢ (0101□, q1, □) ⊢
(0101, q2, □) ⊢ (0101□, q1, □) ⊢ (0101, q2, □) ⊢ …
Se observă că mașina ciclează pentru acest input.
3. Fie mașina:
| | 0 | 1 | $\square$ |
| $ q_1$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_2, 1, \leftarrow$ |
| $ q_2$ | $ q_2, 0, \leftarrow$ | $ q_2, 1, \leftarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ |
Scrieți primele 15 configurații prin care trece, pentru inputul 01.
Soluție:
(ꞓ, q1, 01) ⊢ (0, q1, 1) ⊢ (01, q1, □) ⊢ (0, q2, 11) ⊢ (□, q2, 011) ⊢ (□, q2, □011) ⊢
(1, q1, 011) ⊢ (10, q1, 11) ⊢
⊢ (101, q1, 1) ⊢ (1011, q1, □) ⊢ (101, q2, 11) ⊢
(10, q2, 111) ⊢ (1, q2, 0111) ⊢ (□, q2, 10111) ⊢ (□, q2, □10111) ⊢ …
Se observă că mașina ciclează pentru acest input. Ea va continua să scrie 1 la stânga și la dreapta pe bandă.
4. Fie următoarea definiție, mai restrictivă, de mașină Turing:
$ M = (Q, \Sigma, \Gamma, B, q_1, Y, N, H, \delta)$, unde fiecare element al tuplului are aceeași semnificație ca până acum, in afară de $ \delta: Q \times \Gamma \rightarrow Q' \times \Gamma \times \{\leftarrow, \rightarrow\}$.
Cu alte cuvinte, la fiecare tranziție, capul mașinii se poate muta pe celula din stânga sau din dreapta, dar nu poate rămâne pe loc.
Arătați că, oricare ar fi o mașină $ M$ conform definiției de la curs, există o mașină $ M'$ conform acestei definiții, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$.
Trebuie să demonstrăm că putem echivala orice tranziție a mașinii $ M$ cu o tranziție sau un set de tranziții în cadrul mașinii $ M'$.
Dacă mașina $ M$ are o tranziție care mută capul de citire la stânga sau la dreapta, atunci acea tranziție va arăta identic pentru mașina $ M'$, pentru că, în acest caz, nu există nici un fel de restricție.
Pentru $ \delta M(q,c) = (q',c',dir), dir \in \{\leftarrow, \rightarrow\}$, construim $ \delta M'(q,c) = (q',c',dir)$.
Dacă mașina $ M$ are o tranziție care nu modifică poziția capului de citire, putem simula acest comportament în cadrul mașinii $ M'$, mutând capul de citire la dreapta după care înapoi la stânga, trecând printr-o stare auxiliară.
Pentru $ \delta M(q,c) = (q',c',-)$ construim $ \delta M'(q,c) = (q_{aux},c',\rightarrow)$ și $ \delta M'(q_{aux},x) = (q',x,\leftarrow)$, $ \forall x \in \Gamma$.
5. Considerăm mașinile Turing cu următorii membrii fixați:
Știind că mașina trebuie să se oprească în starea $ H$, aflați numărul maxim de tranziții ce pot fi efectuatea de această mașină atunci când banda de intrare este goală și definiți funcția de tranziție $ \delta$ pentru o mașină cu:
a) o stare
b) două stări
c) trei stări
Acest exercițiu face referire la conceptul de Busy Beaver, mai precis cazurile cu 2 simboluri și 1,2 sau 3 stări. Aceasta este o problemă interesantă și deschisă din perspectiva teoriei calculabilității și a complexității algoritmice. Pentru a găsi numărul maxim de tranziții și funcția de tranziție $ \delta$, este nevoie de o abordare exploratorie și de un efort considerabil de analiză pentru fiecare configurație specifică a mașinii.
6. Arătați că, dacă $ f$ și $ g$ sunt două funcții computabile, atunci și compunerea lor $ f \circ g$ e computabilă.
Fie $ M_f$ o Mașină Turing care “computează” $ f \Rightarrow \forall w, M_f[w] \rightarrow f(w)$
Similar, fie $ M_g$ o Mașină Turing care “computează” $ g \Rightarrow \forall w, M_g[w] \rightarrow g(w)$
Pentru a nu apărea probleme, este important ca $ M_f$ și $ M_g$ să nu aibă stări cu aceeași denumire. Construim $ M_{fg}$ care începe prin a rula tranzițiile din $ M_f$ pe inputul $ w \Rightarrow$ obținem pe bandă $ f(w)$. Folosind stări auxiliare, mutăm cursorul până la începutul rezultatului aflat pe bandă, lăsând mașina $ M_{fg}$ în configurația: $ (□, Stare-Inițială-M_g, f(w))$, care rulează apoi tranzițiile din $ M_g$ pe noul input, $ f(w)$. În final se obține $ g(f(w))$, adică $ (g \circ f)(w)$.
7. Fie o mașină Turing a cărei bandă constă în $ k$ piste. Fiecare celulă e împărțită pe orizontală în $ k$ porțiuni ce conțin fiecare câte un simbol. La începutul computației, simbolurile din input se află pe prima pistă (în fiecare celulă, pe prima porțiune), restul simbolurilor fiind $ B$. Capul de citire se află pe celula ce conține primul simbol din input.
$ M = (Q, \Sigma, \Gamma, B, q_1, Y, N, H, \delta)$, unde fiecare element al tuplului are aceeași semnificație ca până acum, în afară de $ \delta: Q \times \Gamma^k \rightarrow Q' \times \Gamma^k \times \{\leftarrow, -, \rightarrow\}$.
Cu alte cuvinte, la fiecare tranziție, capul mașinii citește simultan $ k$ simboluri și scrie $ k$ simboluri (în rest, ca și în definiția din curs, capul se mută apoi o celulă la stânga/dreapta sau rămâne pe loc, iar mașina trece într-o nouă stare).
Arătați că oricare ar fi o masină $ M$ conform acestei definiții, există o mașină $ M'$ conform definiției de la curs, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$.
Soluția constă în a mapa fiecare tuplu $ t \in \Gamma ^k$ la un simbol din $ \Gamma'$. Pentru a putea face acest lucru, $ \vert \Gamma ' \vert = \vert \Gamma \vert ^k$.
Fie a și b simbolurile din $ \Gamma '$ la care se mapează tuplurile: $ (t_1,t_2 \ldots t_k)$, respectiv $ (t_1', t_2' \ldots t_k')$ din $ \Gamma ^k$.
Construim $ \delta M'$ în felul următor:
Pentru $ \delta M(q, (t_1,t_2 \ldots t_k)) = (q', (t_1', t_2' \ldots t_k'), dir) \Rightarrow \delta M'(q, a) = (q', b, dir), dir \in (\leftarrow, -, \rightarrow)$.
8. Fie o versiune de mașină Turing a cărei bandă se extinde arbitrar doar în partea dreaptă, nu și în stânga. La începutul computației, inputul e scris pe bandă, cu primul simbol pe prima celulă, unde se află și capul de citire. La orice moment de timp, dacă capul de citire se află pe prima celulă și mașina face o tranziție care îl mută la stânga, acesta rămâne pe loc.
Arătați că oricare ar fi o masină $ M$ conform definiției de la curs, există o mașină $ M'$ conform acestei definiții, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$.
Vom simula comportamentul mașinii $ M$ utilizând un caracter unic, care nu exista în $ \Gamma _M$, spre exemplu: $ ' \vert '$. Așadar, fie $ M'$ construită în următorul fel:
$ \delta M'(q,c) = \delta M(q,c), \forall q \in Q_M, c \in \Gamma _M$
$ \Gamma _{M'} = \Gamma _M \cup \{ ' \vert ' \} , \{ ' \vert ' \} \notin \Gamma _M$
$ Q_{M'} = Q_M \cup \{ q_1', q_{1aux}' \}$
Pentru fiecare stare, vom insera tranziția care nu ne va permite depașirea acestui caracter spre stânga.
$ \delta M'(q, ' \vert ') = (q, ' \vert ', \rightarrow ), \forall q \in Q$
În plus, în $ M'$ trebuie să schimbăm starea inițială pentru a scrie $ ' \vert '$ în stânga inputului.
$ \delta M'(q_1', c) = \delta M'(q_{1aux}', c, \leftarrow ), \forall c \in \Gamma _M$
$ \delta M'(q_{1aux}', □) = (q_1, ' \vert ', \rightarrow ), q_1 -$ starea inițială a mașinii $ M$
9. Fie o versiune de mașină Turing cu singura diferență că, la orice tranziție, capul de citire poate sta pe loc, sau se poate mișca la stânga/dreapta cu orice număr $ n \in \mathbb{N}$ de poziții.
Arătați că oricare ar fi o masină $ M$ conform acestei definiții, există o mașină $ M'$ conform definiției de la curs, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$.