Abordări practice pentru probleme NP-Complete

Problemele NP-Complete despre care am discutat până acum la curs și la laborator au două trăsături principale:

  • nu au soluții eficiente cunoscute
  • sunt relevante practic

Trebuie deci să avem o strategie de a le aborda, nu putem să le evităm. În acest laborator vom studia o strategie puternică numită “kernelizare”. Kernelizarea are la bază ideea că backtrackingul este inevitabil; dar în loc să aplicăm backtracking pe întreaga instanță a problemei, putem încerca a priori să extragem miezul dificil al problemei. Această extragere constă în aplicarea unui algoritm determinist polinomial (deci eficient) care să reducă drastic dimensiunea problemei. Este similar cu o reducere polinomială; dar în loc să transformăm inputul unei probleme A într-un input pentru o altă problemă B, îl vom transofrma într-un input mai mic pentru aceeași problemă A.

Vertex Cover

Vom implementa un algoritm simplu de kernelizare pentru problema Vertex Cover pe graful $ G = (V, E)$ și dimensiunea căutată $ K$, care constă în următorii pași:

  • căutăm toate nodurile $ v \in V$ cu $ grad(v) > K$ (gradul unui nod este numărul de muchii adiacente nodului). Dacă există un cover de dimensiune $ K$ aceste noduri trebuie să facă parte din el. Putem să le reținem separat, apoi să le ștergem din graf și să decrementăm $ K$ pentru fiecare din ele. Căutăm în continuare un cover mai mic într-un graf mai mic. Atenție! După aplicarea acestei reguli, este posibil să o putem aplica din nou pe noul graf și noul $ K$.
  • Căutăm toate nodurile $ v \in V$ cu $ grad(v) = 0$; acestea pot fi eliminate
  • Dacă graful obținut are mai mult de $ K^2$ (aici e vorba de $ K$-ul obținut prin transformări, nu neapărat $ K$ inițial) muchii, atunci graful nu poate conține un cover de dimensiune $ K$ (pentru că acum fiecare nod are grad maxim $ K$, deci $ K$ noduri pot acoperi maxim $ K \times K$ muchii); putem întoarce direct răspunsul negativ. Altfel, invocăm algoritmul de backtracking naiv pe noua instanță.
Pentru completitudine, trebuie să considerăm și situația $ K = 0$; în acest caz răspunsul e pozitiv dacă și numai dacă nu există muchii în graf.
Ca să păstrăm analogia cu reduceri polinomiale (în care transformarea trebuie neapărat să producă o instanță a problemei și nu direct un răspuns) putem la ultimul pas, în caz că sunt mai mult de $ K^2$ muchii, să aplicăm backtracking naiv pe orice instanță despre care știm că răspunsul e negativ: e.g. întoarcem un graf cu două noduri, muchie între ele și $ K = 0$.

Exerciții

1. Implementați o soluție prin backtracking naiv pentru problema $ \texttt{VERTEX COVER}$; trebuie ca punctul de intrare să fie o funcție solve_vertex_cover(<graph>, <k>).

2. Implementați pașii de preprocesare discutați mai sus. La final, aplicați funcția solve_vetex_cover pe graful și numărul obținut.

3. Implementați reducerea $ \texttt{CLIQUE} \le_P \texttt{VERTEX COVER}$; trebuie ca punctul de intrare să fie o funcție solve_clique(<graph>, <k>). După reducerea grafului, aplicați preprocesarea prin kernelizare descrisă la punctul 2.

Găsiți aici un exemplu de graf în următorul format:

  • pe prima linie, o literă U sau D indică dacă graful este neorientat (Undirected) sau orientat (Directed).
  • tot pe prima linie, seaparate cu un spațiu sunt numărul de noduri $ N$ și numărul de muchii $ M$
  • pe următoarele $ M$ linii sunt triplete: ID nod sursă, ID nod destinație, cost muchie (pentru grafuri neorientate, muchiile apar o singură dată, listate la nodul cu ID mai mic)
  • nodurile sunt indexate de la 0.

Este un graf complet cu 29 de noduri; are acoperiri doar de 28 și de 29 de noduri.