TDA-uri și inducție structurală

1. Definiți axiome pentru următorii operatori pe tipul List:

• append (concatenarea unei liste la o alta; append(Cons(8, Cons(12, Empty)), Cons(3, Cons(6, Empty))) = Cons(8, Cons(12, Cons(3, Cons(6, Empty)))))
• reverse (inversează elementele dintr-o listă)

2. Definiți axiome pentru următorii operatori pe tipul BTree:

• mirror : BTree → BTree (arborele oglindit pe verticală, i.e. pentru orice nod, copilul stâng devine copilul drept și vice-versa)
• flatten : BTree → List (lista cu toate elementele din arbore; observați că există mai multe ordini posibile)

3. Definiți axiome pentru următorii operatori pe tipul Map:

• update : Map × K × V → Map (un Map cu o nouă asociere cheie:element)
• delete : Map × K → Map (șterge cheia și valoarea asociată)

4. Demonstrați următoarele propoziții, folosind inducție structurală:

• $ \forall t \in \texttt{BTree}. size(t) = size(mirror(t))$
• $ \forall t \in \texttt{BTree}. size(t) = length(flatten(t))$
• $ \forall l \in \texttt{List}. append(l, Empty) = l$
• $ \forall l_1, l_2, l_3 \in \texttt{List}. append(l_1, append(l_2, l_3)) = append(append(l_1, l_2), l_3))$
• $ \forall l_1, l_2 \in \texttt{List}. length(append(l_1, l_2)) = length(append(l_2, l_1))$
• $ \forall l_1, l_2 \in \texttt{List}. reverse(append(l_1, l_2)) = append(reverse(l_2), reverse(l_1))$ .