L11. Laborator recapitulativ

11.1. Fie $ L$ un limbaj descris de o expresie regulata ce nu contine operatorul Kleene Star. Care afirmatie este adevarata?

1. $ L$ este regulat
2. $ L$ nu este regulat
3. $ L$ este independent de context
4. $ L$ este infinit
5. $ \overline{L}$ este infinit.

11.2. Dati un exemplu de AFN pentru care algoritmul Subset Construction ruleaza in timp exponential in raport cu numarul de stari ale AFN-ului.

11.3. Fie $ \mathcal{L}$ multimea limbajelor acceptate de AFN-uri fara $ \epsilon$ -tranzitii. Este afirmatia $ \mathcal{L}\subsetneq LR$ adevarata, unde $ LR$ reprezinta multimea limbajelor regulate? Justificati.

11.4. Fie $ A$ un AFD, $ E_1$ o ER care genereaza $ \overline{L(A)}$ si $ E_2$ o ER care genereaza $ L(A)$ . Care afirmatie este adevarata?

• $ L(E_1E_2) = \emptyset$
• daca $ E_1$ genereaza doar siruri de lungime para, atunci $ E_2$ genereaza doar siruri de lungime impara.
• $ L(E_1 \cup E_2) = \Sigma^*$
• $ L(E_1) \subsetneq L(E_2)$

11.5. Fie $ w = c_1c_2\ldots c_n$ un cuvant. Notam cu $ rep(w)$ cuvantul $ c_1c_1c_2c_2\ldots c_n$ si cu $ Rep(L)$ , limbajul $ \{rep(w) \in \Sigma^* \mid w \in L\}$ . Daca limbajul $ L$ este regulat atunci $ Rep(L)$ este regulat sau nu? Justificati.

11.6. Care din urmatoarele limbaje sunt: (i) regulate, (ii) independente de context, (iii) nici unul din cele anterioare. Justificati raspunsul. Pentru fiecare limbaj independent de context, definiti atat un APD cat si o gramatica IC.

1. $ L_1 = \{xyx \mid x,y\in\{0,1\}^* \}$
2. $ L_2$ , unde $ L_k = \{x^nyx^n, \mid x \mid = k, n>0\}$ .
3. $ L_3 = \{w \in \{0,1,*,\cup,(,)\}^* \mid \text{w reprezinta o expresie regulata} \} $
4. $ L_4 = \{w \in \{0,1\}^* \mid \text{w reprezinta codificarea binara unui numar de forma $ 2^k$ sau $ 2^k+1$ } \}$
5. $ L_5 = \{0^n1^m2^k \mid n \geq m \geq k\}$

11.7. Scrieti o gramatica in Forma Normala Chomsky pentru limbajul $ L(a^*b^+)$ .

11.8. Dati un exemplu de limbaje $ L_1$ si $ L_2$ , infinite, independente de context, astfel intersectia lor $ L_1$ si $ L_2$ sa fie un limbaj infinit:

• independent de context
• care nu este independent de context.

11.9. Fie $ L$ un limbaj generat de o gramatica ce contine un singur non-terminal, peste alfabetul {0,1}. Fara a avea alte informatii despre gramatica, ce putem spune despre limbajul $ L$ ? Mai exact:

• este $ L$ finit/infinit?
• este $ L$ regulat?
• este $ L$ independent de context
• cate limbaje diferite pot fi generate cu astfel de gramatici?

Justificati fiecare raspuns.

11.10 Dati exemplu de 2 limbaje independente de context astfel incat sa aratati ca operatiile de intersectie, complement si diferenta nu sunt proprietati de inchidere(nu pastreaza proprietatea limbajelor de a fi independente de context).

11.11 Sunt urmatoarele limbaje independente de context? De ce?
$ L = \{ a^nb^mc^nd^m | n, m \gt 0 \} $
$ L = \{ a^n | $ n este numar prim $ \} $
$ L = \{ ww | w \in \{ 0, 1 \}^* \} $

11.12 Este limbajul generat de urmatoarea gramatica vid? Justificati.

S <- ABA
A <- ASB | BSA | C
B <- A | BS | epsilon
C <- AS | BS

11.13. Este limbajul $ L = \{ww \mid w \in L(ab^*a)\}$ independent de context, regulat, sau nici unul din cele anterioare? Justificati.

11.14. Este complementul limbajului $ L = \{ww^R \mid w \in \{0,1\}^* \}$ independent de context? Justificati.