Reduceri

Reducerile sunt o unealtă folositoare pentru a demonstra (ne)decidabilitatea/acceptabilitatea unor probleme. Vom folosi în mod predominant reducerile pentru a demonstra prin absurd că o problemă nouă $ f$ nu este decidabilă, atfel:

presupunem că $ f$ e decidabilă, deci există o mașină $ M_f$ care o decide
alegem o problemă cunoscută $ g$ despre care știm deja (dintr-o demonstrație anterioară de la curs/laborator) că este nedecidabilă. Un exemplu bun este problema terminării.
găsim o transformare computabilă $ T: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*$ pentru care propoziția $ \forall w \in \Sigma^*, g(w) = TRUE \iff f(T(w)) = TRUE$ este adevărată
putem deci să construim mașina $ M_g$ care pentru orice input $ w$ simulează $ M_T$, apoi $ M_f$; rezultatul fiind că $ g$ e decidabilă
în urma contradicției, concluzionăm că presupunerea e greșită, deci $ f$ nu e decidabilă.

Exerciții

În continuare, aveti un cheatsheet.pdf pentru a va ajuta la rezolvări.

1. Demonstrați, folosind reduceri, că următoarele probleme sunt nedecidabile:

$ f_{111}(M) = TRUE \iff M[111] \rightarrow TRUE$

$ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $

$ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$

$ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$

$ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$

$ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$

$ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$

$ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt.

În continuare, problemele $ f_{all}$ și $ f_{any}$ sunt cunoscute ca nedecidabile:

$ f_{all}(M) = 1 \iff \forall w, M[w] \rightarrow TRUE$
$ f_{any}(M) = 1 \iff \exists w, M[w] \rightarrow TRUE$

2. Construiți următoarele reduceri:

$ f_{all} \le_m f_{eq}$

$ f_{any} \le_m f_{eq}$

$ f_{p} \le_m f_{eq}$

$ f_{own} \le_m f_{eq}$

Dacă $ t_{1}$ şi $ t_{2}$ sunt două funcţii computabile $ \Rightarrow t = t_{1} \circ t_{2} $ este computabilă.

3. Demonstrați că relația $ \le_m$ e reflexivă și tranzitivă.

Soluțiile acestui laborator se găsesc aici