Examen optional

Intrebarea 1:

• Probleme si Masini Turing
• Clase de probleme

1.1. Fie $ M_1$ si $ M_2$ doua Masini Turing care accepta Halting Problem ($ f_h$ ). Care afirmatie este adevarata?

• exista un cuvant $ w$ pentru care $ M_1$ sau $ M_2$ cicleaza
• daca $ M_1$ cicleaza pt un cuvant $ w$ atunci $ M_2$ cicleaza pentru acel $ w$
• $ f_h \in R$
• $ M_1$ si $ M_2$ au acelasi numar de tranzitii.

1.2. Fie $ M$ o masina Turing si $ F = \{f \in \mathbb{H}om(\Sigma^*,\{0,1\}) \mid M \text{ accepta } f\}$ . Care afirmatie este adevarata?

• $ F \subseteq R$
• $ F \cap RE = \emptyset$
• $ F$ este numarabila.
• $ F$ este finita.

1.3. Care din urmatoarele multimi nu este numarabila: $ \Sigma^*, \mathcal{M} = \{ M \mid M \text{ este o MT }\}, R, RE$ ?

1.4. Fie $ f$ si $ g$ doua probleme acceptate de aceeasi masina Turing. Care afirmatie este adevarata?

• $ f \leq_T g$
• $ g \leq_T f$
• $ \exists w. f(w) = 0 \implies g(w) = 1$
• $ \forall w. f(w) = 0 \iff g(w) = 1$

Intrebarea 2:

• Probleme nedecidabile si reduceri

2.1. O problema de decizie poate fi redusa la ea insasi ($ f\leq_T f$ )? Justificati.

2.2. Fie doua probleme de decizie $ f,g$ reductibile-Turing una la cealalta. Care afirmatie este adevarata?

• $ f \in RE$
• $ g \in RE$
• $ f \in RE \implies g \in RE$
• $ g \in RE \implies f \in RE$

2.3. Fie $ f \leq_T g$ si $ h \leq_T g$ . Daca $ f$ este NP-completa, ce se poate spune despre $ h$ ?

2.4. Dati un exemplu de doua probleme de decizie $ f$ si $ g$ astfel incat $ f\leq_T g$ si $ g \leq_T f$

Intrebarea 3:

• Notatii asimptotice

3.1. Descrieti timpul de executie al algoritmului A folosind notatii asimptotice, asa cum reiese din graficul de mai jos:

3.2. Folositi notatii asimptotice pentru a descrie relatia intre functiile $ f$ si $ g$ .

3.3. Folositi notatii asimptotice pentru a descrie relatia functiei $ g$ cu functiile $ f$ si $ h$ . Daca cele trei functii ar reprezenta timpi de executie, care ar apartine algoritmului cel mai rapid, dpdv asimptotic ?

3.4. Folositi notatii asimptotice pentru a descrie relatia functiei $ f$ cu functiile $ g$ si $ h$ . Care dintre cele trei functii pot descrie timpul de executie al unui algoritm?

Intrebarea 4:

• Quicksort si alti alg. de sortare
• Analiza Amortizata
• Recurente
• Complexitatea unor proceduri simple

4.1. Fie $ S$ o secventa de $ n$ operatii de trei tipuri pe care le numim in continuare $ \alpha$ , $ \beta$ si $ \gamma$ . Daca stim ca $ cost(\alpha) = O(1)$ , $ cost(\beta) = O(log(n))$ si $ \gamma$ are cost amortizat constant, care este costul mediu per operatie al secventei $ S$ ?

4.2. Care este complexitatea recurentei $ T(n) = T(13n/19) + T(6n/19) + \Theta(n)$ ?

4.3. Dati un exemplu de vector pentru care algoritmul Mergesort realizeaza mai putini pasi de partitionare decat Quicksort.

4.4. Dati un exemplu de recurenta care se afla in cazul 1 al aplicarii T. Master.

Intrebarea 5:

• Nedeterminism
• SAT
• Probleme NP-dure si NP-complete

5.1. Dati un exemplu de formula $ SAT$ care este satisfacuta de exact 2 interpretari.

5.2. Exista posibilitatea ca un algoritm nedeterminist sa aibe o complexitate exponentiala? Justificati.

5.3. Exista posibilitatea ca o problema NP-completa sa nu fie decidabila? Justificati.

5.4. Presupunem ca $ P = NP$ . Este posibil ca o problema NP-dura sa nu apartina $ NP$ ? Justificati.

Intrebarea 6:

• TDA-uri
• Axiome pt TDA-uri

6.1. Definiti un operator si axiome care specifica faptul ca o lista este sortata crescator.

6.2. Definiti un operator si axiome care specifica faptul ca un arbore binar este complet.

6.3. Definiti constructori de baza pentru arbori ce pot contine doi sau trei copii.

6.4. Definiti constructori de baza pentru tipul de date numar intreg.