Folosiți lema de pompare pentru a arăta că următoarele limbaje nu sunt independente de context:

1. $ L_1 = \{ 0^{2^n} \mid n \ge 0 \}$

**Solutie:**

Alegem (tentativ) $math[w_n = 0^{2^n}]. Conform lemei de pompare pentru LIC, cuvantul $math[w_n] este de forma $math[xyzuv], unde $math[\mid yzu \mid \leq n] si $math[yu \neq \epsilon]. Cautam o valoare pentru $math[i] astfel incat $math[xy^izu^iv \not\in L_1]. Folosim notatia $math[\#\alpha] pentru a ne referi la lungimea sirului $math[\alpha]. Astfel, conditia anterioara devine $math[\#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v \neq 2^k], pentru un $math[k] natural. Vom incerca sa alegem un $math[i>0] dar suficient de mic astfel incat $math[\#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v < 2^{n+1}]. Prelucram conditia in $math[2^n + (i-1)\#y + (i-1)\#u < 2^{n+1}] si observam ca pentru $math[i=2] obtinem inegalitatile: $math[2^n + \#y + \#u \leq 2^n + n < 2^{n+1}], pt orice $math[n\geq 0]. 

2. $ L_2 = \{ a^nb^mc^nd^m \mid n, m \ge 0 \}$

**Solutie:**
Alegem $math[w_n = a^nb^nc^nd^n]. Conform lemei de pompare pentru LIC, fragmentul $math[yzu] are lungime mai mica sau egala cu $math[n] si, indiferent cum ar fi pozitionat, el nu va putea contine toti simbolii din alfabet ($math[\{a,b,c,d\}]). Asadar, pt $math[i=0], este garantat ca $math[xy^izu^iv] nu va contine un numar egal de $math[a]-uri, $math[b]-uri, $math[c]-uri si $math[d]-uri.