===== Exercițiul 1 =====
* $ f_{111}(M) = TRUE \iff M[111] \rightarrow TRUE$
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{111}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{111}$:
$ M, w \to t \to M^*$
După ce am găsit asta, mai ramane de demonstrat doar: $ f_{h}(M, w) = TRUE \iff f_{111}(M^*) = TRUE$
$ M^*(x):$
run M[w]
return x == 111
Demonstraţii:
- $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $\Rightarrow $ vom returna x == 111 $\Rightarrow $ când x este 111, $ M^* $ va tranziţiona în Y $\Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$
- $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow $ am ajuns la return $\Rightarrow $ run M[w] nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $\Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$.
------
* $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{p}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{p}$:
$ M, w \to t \to M^*$
$ M^*(x):$
run M[w]
check if x is palindrome
Demonstraţii:
- $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $\Rightarrow $ o sa verificăm dacă x este palindrom $\Rightarrow $ când x este palindrom, $ M^* $ va tranziţiona în Y $ \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$
- $ f_{p} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ decide daca x este palindrom $ \forall x \Rightarrow $ am ajuns la return $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$.
------
* $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{rev}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{rev}$:
$ M, w \to t \to M^*$
$ M^*(x):$
run M[w]
return rev(x)
Demonstraţii:
- $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return $ \Rightarrow f_{rev} (M^*) = TRUE$
- $ f_{rev} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ calculeaza rev(x) $ \forall x \forall x \Rightarrow $ am ajuns la return $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$.
------
* $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{own}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{own}$:
$ M, w \to t \to M^*$
$ M^*(x):$
if x == enc(M*):
run M[w]
else:
nu se termină
Demonstraţii:
- $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow M^*[enc(M^*)] $ se termina $ \Rightarrow f_{own} (M^*) = TRUE$
- $ f_{own} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] $ se termina $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$.
------
* $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{finite}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{finite}$:
$ M, w \to t \to M^*$
$ M^*(x):$
run M[w] pentru maxim |x| paşi
dacă M[w] s-a oprit:
nu se termina
else:
se termina
Demonstraţii:
- $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină in n paşi $ \Rightarrow M^*[w] $ se opreşte $ \forall x $ , |x| < n $ , $ ciclează $ \forall x $ , |x| >= n $ \Rightarrow f_{finite} (M^*) = TRUE$
- $ f_{finite} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ se opreşte după un număr finit de cuvinte $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$.
------
* $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{set}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{set}$:
$ M, w \to t \to A, M^*$
A = {101}
$ M^*(x):$
if x is in A:
run M[w]
else:
nu se termină
Demonstraţii:
- $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ cum $ M^* $ se poate opri doar pentru x = 101 $ \Rightarrow \forall w f_{set} (A, M^*) = TRUE$
- $ f_{set} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ o să se oprească pentru orice x din A $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$.
------
* $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{x}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{x}$:
$ M, w \to t \to M^*$
$ M^*(x):$
run M[w]
print x
Demonstraţii:
- $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ cum $ M^* $ printează x la final $ \Rightarrow f_{x} (M^*) = TRUE$
- $ f_{x} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ ajunge să printeze x pe bandă $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$.
------
* $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt.
O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{eq}$.
Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{eq}$:
$ M, w \to t \to M_{1}, M_{2}$
$ M_{1}[x]: $
acceptă
$ M_{2}[x]: $
run M[w]
acceptă
Demonstraţii:
- $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} [x] $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE$
- $ f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow $ stim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[w] $ se opreşte $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$
Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$.
===== Exercițiul 2 =====
* $ f_{all} \le_m f_{eq}$
$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
Trebuie să construim o transformare t, astfel încât să obţinem 2 maşini cu acelaşi comportament doar dacă M[w] se opreşte **pentru orice** w
$ M_{1}[x]: $
acceptă
$ M_{2}[x]: $
run M[x]
acceptă
**Atenţie** acest exercitiu are transformarea diferită faţă de exerciţiul 1, subpunctul 8.
Demonstraţii:
- $ f_{all} (M) = TRUE \Rightarrow \forall x, M[x] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE$
- $ f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[x] $ se opreşte pentru orice x $ \Rightarrow f_{all} (M, w) = TRUE$
------
* $ f_{any} \le_m f_{eq}$
$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
$ M_{1}[x]: $
acceptă
$ M_{2}[x]: $
k = 1
inputs = [0]
while true {
for w in inputs:
step(M[w]) // rulam o singura tranzitie
if(M[w] s-a oprit)
accepta
k++
inputs.append(k)
}
Demonstraţii:
- $ f_{any}(M) = M \Rightarrow \exists w, M[w] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
- $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow \exists w $ astfel încât $ M[w] $ se opreşte $ \Rightarrow f_{any}(M, w) = TRUE$
------
* $ f_{p} \le_m f_{eq}$
$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
$ M_{1}[x]: $
acceptă
$ M_{2}[x]: $
run M[x]
if M decide corect daca x este palindrom:
accepta
else:
nu accepta
Demonstraţii:
- $ f_{p} = TRUE \Rightarrow \forall x M $ decide daca e palindrom $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
- $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M $ decide corect dacă x este palindrom $ \Rightarrow f_{p} = TRUE$
--------
* $ f_{own} \le_m f_{eq}$
$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
$ M_{1}[x]: $
acceptă
$ M_{2}[x]: $
if x == enc(M):
run M[x]
accepta
Demonstraţii:
- $ f_{own} = TRUE \Rightarrow M[enc(M)] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
- $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[enc(M)] $ se termină $ \Rightarrow f_{own} = TRUE$
===== Exercițiul 3 =====
Demonstrăm că $ \le_m$ e reflexivă
Fie o problemă $ f$ şi o transformare $ t: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*, t(w) = w$
$ f(w) = True \iff f(t(w)) = TRUE$ deci $ f \le_m f$
Demonstrăm că $ \le_m$ e tranzitivă
Fie probleme de decizie f, g, h astfel încât:
$ f \le_m g$ (deci există o transformare $ t_{1}$ a.î. $ f(w) = TRUE \iff g(t_{1}(w)) = TRUE$)
$ g \le_m h$ (deci există o transformare $ t_{2}$ a.î. $ g(w) = TRUE \iff h(t_{2}(w)) = TRUE$)
Luăm transformarea $ t = t_{1} \circ t_{2}$:
$ f(w) = TRUE \iff h(t_{2}(t_{1}(w))) = TRUE$
$ f(w) = TRUE \iff h(t(w))) = TRUE \Rightarrow f \le_m h$