====== Computing ====== ===== Mașina Turing ===== După definiția de la curs, o mașină Turing poate fi caracterizată printr-un 6-tuplu: $ (Q, \Sigma, \Gamma, B, q_1, \delta)$, unde: * $ Q $ e mulțimea stărilor interne * $ \Sigma $ e alfabetul de intrare (simboluri aflate pe bandă la începutul rulării) * $ \Gamma $ e alfabetul benzii (simboluri pe care le putem folosi în timpul rulării mașinii) * $ B $ e starea default a unei celule nescrise (**blank symbol**) * $ q_1 $ e starea inițială * $ \delta $ e funcția de tranziție, definită astfel: $ \delta: Q \times \Gamma \rightarrow (Q \cup \{Y, N, H\}) \times \Gamma \times \{\leftarrow, -,\rightarrow\}$ * $ Y $ e starea de acceptare, când mașina ajunge în această stare, se oprește cu răspunsul „da” * $ N $ e starea de rejectare, când mașina ajunge în această stare, se oprește cu răspunsul „nu” * $ H $ e starea de terminare, când mașina ajunge în această stare, se oprește cu răspunsul format din conținutul benzii ===== Exerciții ===== 1. Amintiți-vă mașina ''isEven'' de la curs, care determină dacă un număr în baza 2 este par. * scrieți care sunt configurațiile prin care trece mașina pentru inputul: 100 * scrieți care sunt configurațiile prin care trece mașina pentru inputul: 1011 ^ ^ 0 ^ 1 ^ $\square$ ^ | $ q_1$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_2, \square, \leftarrow$ | | $ q_2$ | $ Y, 0, -$ | $ N, 1, -$ | $ N, \square, -$ | ---- 2. Scrieți primele 15 configurații prin care trece mașina de mai jos pentru inputul 1011. Ce observați? ^ ^ 0 ^ 1 ^ $\square$ ^ | $ q_1$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_2, \square, \leftarrow$ | | $ q_2$ | $ q_2, 1, \rightarrow$ | $ q_2, 0, \rightarrow$ | $ q_1, \square, \rightarrow$ | ---- 3. Scrieți primele 15 configurații prin care trece mașina de mai jos pentru inputul 01. ^ ^ 0 ^ 1 ^ $\square$ ^ | $ q_1$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_2, 1, \leftarrow$ | | $ q_2$ | $ q_2, 0, \leftarrow$ | $ q_2, 1, \leftarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | ---- 4. Considerăm mașinile Turing cu următorii membrii fixați: * $ \Sigma = \{X\}$ * $ \Gamma = \{X, \square\}$ * $ B = \square$ Știind că mașina trebuie să se oprească în starea $ H $ și are un numar **k** de stări ( $ |Q| = k $ ), aflați numărul **maxim** de tranziții ce pot fi efectuate de această mașină atunci când banda de intrare este goală și definiți funcția de tranziție $ \delta $ pentru: * o stare ( $ k = 1 $ ) * două stări ( $ k = 2 $ ) * trei stări ( $ k = 3 $ ) **Hint:** soluția optimă pentru $ k = 1 $ este 2 tranziții, pentru $ k = 2 $ este 6 tranziții, iar pentru $ k = 3 $ este 21 tranziții. ---- 5. Arătați că, dacă $ f $ și $ g $ sunt două funcții //computabile//, atunci și compunerea lor $ f \circ g$ e computabilă. ---- 6. Fie o definiție mai restrictivă de mașină Turing, unde singura diferență apare la: $ \delta: Q \times \Gamma \rightarrow (Q \cup \{Y, N, H\}) \times \Gamma \times \{\leftarrow,\rightarrow\} $ Cu alte cuvinte, la fiecare tranziție, capul mașinii **trebuie** să se mute pe celula din stânga sau din dreapta, nu poate rămâne pe loc. Arătați că, oricare ar fi o mașină $ M $ conform definiției de la curs, există o mașină $ M' $ conform acestei definiții, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$ (cele două mașini dau același răspuns indiferent de input). ---- 7. Fie o mașină Turing a cărei bandă constă în $ k $ //piste//. Fiecare celulă e împărțită pe orizontală în $ k$ porțiuni ce conțin fiecare câte un simbol. La începutul computației, simbolurile din input se află pe prima pistă (în fiecare celulă, pe prima porțiune), restul simbolurilor fiind $ B $. Capul de citire se află pe celula ce conține primul simbol din input. $ M = (Q, \Sigma, \Gamma, B, q_1, \delta)$, unde fiecare element al tuplului are aceeași semnificație ca până acum, în afară de: $ \delta: Q \times \Gamma^k \rightarrow (Q \cup \{Y, N, H\}) \times \Gamma^k \times \{\leftarrow,-,\rightarrow\} $ Cu alte cuvinte, la fiecare tranziție, capul mașinii citește simultan $ k $ simboluri și scrie $ k $ simboluri (în rest, ca și în definiția din curs, capul se mută apoi o celulă la stânga/dreapta sau rămâne pe loc **pe toate pistele simultan**, iar mașina trece într-o nouă stare). Arătați că oricare ar fi o masină $ M'$ conform acestei definiții, există o mașină $ M$ conform definiției de la curs, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$. ---- 8. Fie o versiune de mașină Turing a cărei bandă se extinde arbitrar doar în partea dreaptă, //nu și în stânga//. La începutul computației, inputul e scris pe bandă, cu primul simbol pe prima celulă, unde se află și capul de citire. La orice moment de timp, dacă capul de citire se află pe prima celulă și mașina face o tranziție care îl mută la stânga, acesta rămâne pe loc. Arătați că oricare ar fi o masină $ M$ conform definiției de la curs, există o mașină $ M'$ conform acestei definiții, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$. ---- 9. Fie o versiune de mașină Turing cu singura diferență că, la orice tranziție, capul de citire poate sta pe loc, sau se poate mișca la stânga/dreapta cu orice număr $ n \in \mathbb{N}$ de poziții. Arătați că oricare ar fi o mașină $ M'$ conform acestei definiții, există o mașină $ M$ conform definiției de la curs, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$. ---- 10. Fie o mașină Turing cu o bandă bidimensională infinită a cărei cap de citire poate fi deplasat în orice direcție (sus, jos, stânga, dreapta) sau poate rămâne pe loc. Arătați că oricare ar fi o mașină $ M'$ conform acestei definiții, există o mașină $ M$ conform definiției de la curs, astfel încât $ \forall w \in \Sigma^*, M[w] \equiv M'[w]$. Soluțiile pentru exercițiile din laborator se pot găsi [[aa:lab:sol:2|aici]].