====== Reduceri polinomiale ======

În acest laborator veți explora un graf realist cu date despre toate aeroporturile din lume și rutele dintre ele și veți aplica diverși algoritmi *eficienți* pe acesta.
Momentan, puteți considera termenul "eficient" să însemne "fără backtracking" (mai precis, ne referim la conceptul de polinomial, i.e. cu o complexitate descrisă de $ O(n^k)$, pentru un $ k$ natural; vom relua conceptul la curs).

Descărcați de aici arhiva cu datele de intrare: {{:aa:lab:lab.zip|}}

Aceasta conține în directorul ''res/'' trei fișiere cu date despre aeroporturi și rute:

 - ''airroutes.in'' - din lume  \\
 - ''eu-airroutes.in'' - din Europa  \\
 - ''ro-airroutes.in'' - din România

Fișierele descriu grafuri orientate, ale căror noduri au ID-uri întregi începând de la 0; respectă următorul format:

 - pe prima linia, numărul de noduri ''N'' și numărul de muchii din graf, separate de un spațiu. \\
 - pe următoarele ''N'' linii, informații despre un nod  \\
 - pe linia ''i'' (probabil indexată de la 1 în editorul de text), găsiți informații despre nodul cu ID ''i - 2'': \\
    - [[https://www.iata.org/en/publications/directories/code-search/|codul IATA]] al aeroporturlui \\
    - toate rutele de la acel aeroport exprimate folosind trei numere: ID-ul aeroportului destinație, distanța zborului în kilometri, durata zborului în minute.

<note>
Fișierele sunt doar o versiune parser-friendly a datelor din acest JSON: https://github.com/Jonty/airline-route-data/blob/main/airline_routes.json

În ''tools/extract_c_friendly.py'' găsiți scriptul care a realizat extragerea.
</note>

==== Exerciții ====

BONUS: Aplicați backtracking naiv pentru a rezolva problema $ \texttt{MINIMAL COLORING}$ pe un graf primit ca input; i.e. găsiți numărul minim de culori distincte cu care putem colora nodurile din graf astfel încât să nu existe muchie între două noduri de aceeași culoare.

1. Aplicați backtracking naiv pentru a rezolva problema $ \texttt{COLORING}$ pe graful respectiv; va trebui să mai primiți un argument numeric $ k$ și să determinați dacă graful poate fi colorat cu $ k$ culori.

BONUS: implementați o soluție pentru $ \texttt{MINIMAL COLORING}$ care să folosească soluția pentru $ \texttt{COLORING}$ cu o cantitate minimală de cod adițional.

BONUS: implementați o soluție pentru $ \texttt{COLORING}$ care să folosească soluția pentru $ \texttt{MINIMAL COLORING}$ cu o cantitate minimală de cod adițional.


2. Implementați transformarea necesară pentru reducerea $ \texttt{COLORING} \le_P \texttt{CNF SAT}$:

 - creați câte o variabilă $ x_{v, c}$ pentru fiecare pereche de nod și culoare $ (v, c)$ \\
 - fiecare nod trebuie să aibă cel puțin o culoare; adăugați pentru fiecare nod $ v$ clauza: $ (x_{v, 0} \lor x_{v, 1} \lor \ldots \lor x_{v, k - 1})$ \\
 - fiecare nod trebuie să aibă maxim o culoare; pentru fiecare nod $ v$ și pentru fiecare pereche de culori $ c1 < c2$ adăugați clauza: $ (\overline{x_{v, c1}} \lor \overline{x_{v, c2}})$ \\
 - două noduri adiacente nu pot avea aceeași culoare; pentru fiecare pereche de noduri $ (u, v)$ și pentru fiecare culoare $ c$ adăugați clauza: $ (\overline{x_{v, c}} \lor \overline{x_{u, c}})$

3. Implementați o soluție pentru a rezolva $ \texttt{CNF SAT}$ prin backtracking naiv.

4. Convertiți formula voastră in formatul [[https://jix.github.io/varisat/manual/0.2.0/formats/dimacs.html|DIMACS]] și rezolvați-o cu un SAT solver.

<note>
Ca SAT solver, vă recomandăm [[https://github.com/Z3Prover/z3|Z3]] de la Microsoft Research.
Acesta este de fapt un solver de $ \texttt{SMT}$ (//Satisfiability Modulo Theories//), o problemă mai generală, dar poate rezolva și $ \texttt{SAT}$.
Cel mai probabil, distribuția voastră are Z3 disponibil ca pachet în repositories default.
Dacă nu, instalați [[https://github.com/Z3Prover/z3/releases|ultimul release]].
</note>

<note>
Formatul DIMACS este un format standard pentru a descrie instanțe de probleme $ \texttt{CNF SAT}$.

În fiecare an are loc o [[https://satisfiability.org/SAT26/|conferință faimoasă]] pe tema problemelor de satisfiabilitate.
Conferința are și o competiție de SAT solving asociată; puteți găsi [[https://satcompetition.github.io/2025/downloads.html|aici]] submisiile pentru anul acesta; vă recomandăm să încercați să rulați și unul din aceste solvere, pe lângă Z3 (Z3 este un produs finisat și robust, pe o problemă mai generală; aceste solvere doar rezolvă instanțe de SAT; e posibil să fie mai rapide).
</note>