====== Examen optional ======

**Intrebarea 1:**
  * //Probleme si Masini Turing//
  * //Clase de probleme//

1.1. Fie $math[M_1] si $math[M_2] doua Masini Turing care accepta Halting Problem ($math[f_h]). Care afirmatie este adevarata?
  * exista un cuvant $math[w] pentru care $math[M_1] sau $math[M_2] **cicleaza**
  * daca $math[M_1] cicleaza pt un cuvant $math[w] atunci $math[M_2] cicleaza pentru acel $math[w]
  * $math[f_h \in R]
  * $math[M_1] si $math[M_2] au acelasi numar de tranzitii.

1.2. Fie $math[M] o masina Turing si $math[F = \{f \in \mathbb{H}om(\Sigma^*,\{0,1\}) \mid M \text{ accepta } f\}]. Care afirmatie este adevarata?
  * $math[F \subseteq R]
  * $math[F \cap RE = \emptyset]
  * $math[F] este numarabila.
  * $math[F] este finita.

1.3. Care din urmatoarele multimi **nu** este numarabila: $math[\Sigma^*, \mathcal{M} = \{ M \mid M \text{ este o MT }\}, R, RE] ?

1.4. Fie $math[f] si $math[g] doua probleme **acceptate** de aceeasi masina Turing. Care afirmatie este adevarata?
  * $math[f \leq_T g]
  * $math[g \leq_T f]
  * $math[\exists w. f(w) = 0 \implies g(w) = 1]
  * $math[\forall w. f(w) = 0 \iff g(w) = 1]

**Intrebarea 2:**
  * //Probleme nedecidabile si reduceri//

2.1. O problema de decizie poate fi redusa la ea insasi ($math[f\leq_T f])? Justificati.

2.2. Fie doua probleme de decizie $math[f,g] reductibile-Turing una la cealalta. Care afirmatie este adevarata?
  * $math[f \in RE]
  * $math[g \in RE]
  * $math[f \in RE \implies g \in RE]
  * $math[g \in RE \implies f \in RE]

2.3. Fie $math[f \leq_T g] si $math[h \leq_T g]. Daca $math[f] este NP-completa, ce se poate spune despre $math[h]?

2.4. Dati un exemplu de doua probleme de decizie $math[f] si $math[g] astfel incat $math[f\leq_T g] si $math[g \leq_T f]
  
**Intrebarea 3:**
  * //Notatii asimptotice//
3.1. Descrieti timpul de executie al algoritmului ''A'' folosind notatii asimptotice, asa cum reiese din graficul de mai jos:
{{ :aa:exam:29ian:examopt_3.1.png?600 |}}


3.2. Folositi notatii asimptotice pentru a descrie relatia intre functiile $math[f] si $math[g].
{{ :aa:exam:29ian:examopt_3.2.png?600 |}}

3.3. Folositi notatii asimptotice pentru a descrie relatia functiei $math[g] cu functiile $math[f] si $math[h]. Daca cele trei functii ar reprezenta timpi de executie, care ar apartine algoritmului cel mai rapid, **dpdv asimptotic** ?
{{ :aa:exam:29ian:examopt_3.3.png?600 |}}

3.4. Folositi notatii asimptotice pentru a descrie relatia functiei $math[f] cu functiile $math[g] si $math[h]. Care dintre cele trei functii pot descrie timpul de executie al unui algoritm?
{{ :aa:exam:29ian:examopt_3.4.png?600 |}}

**Intrebarea 4:** 
  * //Quicksort si alti alg. de sortare//
  * //Analiza Amortizata//
  * //Recurente//
  * //Complexitatea unor proceduri simple//

4.1. Fie $math[S] o secventa de $math[n] operatii de trei tipuri pe care le numim in continuare $math[\alpha], $math[\beta] si $math[\gamma]. Daca stim ca $math[cost(\alpha) = O(1)], $math[cost(\beta) = O(log(n))] si $math[\gamma] are **cost amortizat constant**, care este costul mediu per operatie **al secventei** $math[S]? 

4.2. Care este complexitatea recurentei $math[T(n) = T(13n/19) + T(6n/19) + \Theta(n)] ?

4.3. Dati un exemplu de vector pentru care algoritmul **Mergesort** realizeaza mai **putini** pasi de partitionare decat **Quicksort**.

4.4. Dati un exemplu de recurenta care se afla in cazul 1 al aplicarii T. Master.

**Intrebarea 5:**
  * //Nedeterminism//
  * //SAT//
  * //Probleme NP-dure si NP-complete//

5.1. Dati un exemplu de formula $math[SAT] care este satisfacuta de **exact 2** interpretari.

5.2. Exista posibilitatea ca un algoritm nedeterminist sa aibe o complexitate **exponentiala**? Justificati.

5.3. Exista posibilitatea ca o problema NP-completa sa nu fie decidabila? Justificati.

5.4. Presupunem ca $math[P = NP]. Este posibil ca o problema NP-dura sa nu apartina $math[NP]? Justificati.

**Intrebarea 6:**
  * //TDA-uri//
  * //Axiome pt TDA-uri//

6.1. Definiti un operator si axiome care specifica faptul ca o lista este **sortata** crescator.

6.2. Definiti un operator si axiome care specifica faptul ca un arbore binar este **complet**.

6.3. Definiti constructori de baza pentru arbori ce pot contine **doi** sau **trei** copii.

6.4. Definiti constructori de baza pentru tipul de date //numar intreg//.